【学习笔记】DP思想

1：递增转差分，费用提前计算

P7519 [省选联考 2021 A/B 卷] 滚榜

2：小规模暴力，大规模打表找规律

CF794E Choosing Carrot

3：状态机dp分段区间转移

C. 树 (tree)

题目描述

B - 树

题目描述

给出一棵有 \(N\) 个点的树，编号 \(1\) 到 \(N\)，第 \(i\) 条边连接点 \(A_i\) 和 \(B_i\)。

初始时有一个空序列，树上 \(N\) 个点均为白色。

现在按边的编号从小到大考虑每一条边。

• 如果这条边连接的两个点都为白色，则选择其中一个点涂成黑色，将编号放入序列末端。
• 否则不进行操作。

求完成上述操作后可能得到的不同的序列数量，答案对 \(998244353\) 取模。

输入格式

第一行一个正整数 \(N\) 表示树的点数，接下来 \(N-1\) 行每行两个正整数表示第 \(i\) 条边连接的两个点。

输出格式

一行一个整数表示答案。

样例1

输入

5
1 2
1 3
1 4
1 5

输出

5

样例 1 解释

不同的序列分别是 \((1),(2,1),(2,3,1),(2,3,4,1),(2,3,4,5)\)。

样例2

输入

7
7 2
7 6
1 2
7 5
4 7
3 5

输出

10

样例 2 解释

不同的序列分别是
\((2,6,7,3),(2,6,5,7),(2,6,5,4),(2,6,7,5),(2,7,3),(2,7,5),(7,1,3),(7,1,5),(7,2,3),(7,2,5)\)。

数据规模与提示

对于所有测试点，保证 \(2 \le N \le 10^6\)，\(1 \le A_i, B_i \le N\)。每个子任务的具体限制见下表：

子任务编号	\(N \le\)	特殊限制	分数
1	\(10\)	无	12
2	\(100\)	无	12
3	\(1000\)	无	16
4	\(10^6\)	保证 \(\forall i \in [1, N) \cap \mathbb{Z}, A_i = 1, B_i = i+1\)	12
5	\(10^6\)	保证 \(\forall i \in [1, N) \cap \mathbb{Z}, A_i = i, B_i = i+1\)	16
6	\(10^6\)	无	32

解法

按照时间轴划分状态，分别是父边前，父边，父边后，状态转移也要按照时间独立开来

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define Pair pair<int,int>
#define to first
#define id second
using namespace std;
const int N=1e6+10,mod=998244353;
vector<Pair> mp[N],son[N];
int pe[N];
int fa[N];
void dfs(int u,int pa){
	fa[u]=pa;
	for(auto e:mp[u]){
		int v=e.to,id=e.id;
		if(v==pa){
			pe[u]=id;
			continue;
		}
		dfs(v,u);
		son[u].push_back({v,id});
	}
}
int suf[N];
int dp[N][3];
void Dp(int u){
	for(auto e:son[u]) Dp(e.to);
	int m=son[u].size();
	suf[m]=1;
	for(int i=m-1;i>=0;i--){
		int v=son[u][i].to;
		suf[i]=suf[i+1]*(dp[v][0]+dp[v][1])%mod;
	}
	int pre=1;
	bool bo=0;
	for(int i=0;i<m;i++){
		int v=son[u][i].to,id=son[u][i].id;
		int t=pre*dp[v][1]%mod*suf[i+1]%mod;
		if(id<pe[u]) dp[u][0]+=t;
		else dp[u][1]+=t;
		if(id>pe[u]&&!bo){
			dp[u][2]+=pre*suf[i]%mod;
			bo=1;
		}
		dp[u][0]%=mod;
		dp[u][1]%=mod;
		dp[u][2]%=mod;
		pre*=(dp[v][0]+dp[v][2])%mod;
		pre%=mod;
	}
	if(!bo) dp[u][2]+=pre;dp[u][2]%=mod;
	dp[u][1]+=pre;dp[u][1]%=mod;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	int n;cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int a,b;cin>>a>>b;
		mp[a].push_back({b,i});
		mp[b].push_back({a,i});
	}
	dfs(1,0);
	Dp(1);
	cout<<dp[1][1]%mod<<"\n";
	return 0;
}