【学习笔记】WQS二分

2.5.1【定义】

通过二分附加权值，将恰好选 k 个的限制优化问题转化为不限制个数的简单 DP，省掉一维状态。

2.5.2【适用条件】

• 设 \(f(k)\) 为恰好选 \(k\) 个的最优值

• \(f(k)\) 必须是凸函数（上凸求最大，下凸求最小）

2.5.3【算法流程】

1. 二分附加权值 \(mid\)：每选一个物品额外增加代价 \(mid\)

2. 运行无限制 DP：记录最优值 \(val\) 和对应的选择个数 \(cnt\)

3. 调整边界：

   • \(cnt >= k\) → 选多了，增大代价（\(l = mid + 1\)），记录 \(ans = val - mid * k\)

   • \(cnt < k\) → 选少了，减小代价（\(r = mid - 1\)）

4. 输出 \(ans\)

2.5.4【复杂度】

\(O(n \log V)\)，\(V\) 为权值范围，$\log V \approx 30 \sim 60$

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2.5.5【例题】

• P2619 Tree I — wqs二分 + 最小生成树

• P4983 忘情 — wqs二分 + 斜率优化DP

• P6246 [IOI 2000] 邮局 加强版 加强版