【学习笔记】概率论

1.样本空间、事件域、概率

• 样本空间 \(\Omega\)：随机试验所有可能结果的集合。

• 随机事件 \(A\)：样本空间的子集。

• 事件域 \(\mathcal{F}\)：满足一定条件的事件集合

• 概率 \(P(A)\)：定义在事件域上的集合函数。

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2.事件的运算与关系

• 和事件 \(A\cup B\)（或 \(A+B\)）：事件 \(A\) 或 \(B\) 至少有一个发生。

• 积事件 \(A\cap B\)（或 \(AB\)）：事件 \(A\) 和 \(B\) 同时发生。

• 差事件 \(A-B\)：事件 \(A\) 发生且 \(B\) 不发生，即 \(A\overline{B}\)。

• 互斥事件：\(AB=\varnothing\)，表示 \(A,B\) 不能同时发生。

• 对立事件：\(A\cup B=\Omega\) 且 \(AB=\varnothing\)，记 \(B=\overline{A}\)。

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3.概率的定义

3.1 古典概型

条件：

1. 样本空间中样本点有限；

2. 每个样本点发生的可能性相同。

公式：

\[P(A)=\frac{A\text{包含的基本事件数}}{\text{样本空间中基本事件总数}} \]

3.2 几何概型（无限样本）

条件：

1. 样本空间为几何区域（长度/面积/体积）；

2. 样本点均匀分布。

公式：

\[P(A)=\frac{\text{区域}A\text{的测度}}{\text{样本空间}\Omega\text{的测度}} \]

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4.概率的性质与运算公式

性质

• 单调性：若 \(A\subset B\)，则 \(P(A)\le P(B)\)。

• 有界性：\(0\le P(A)\le 1\)，\(P(\Omega)=1\)，\(P(\varnothing)=0\)。

运算公式

• 加法公式(容斥)：

  \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) \]

  推广到 \(n\) 个事件：

  \[P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)=\sum P(A_i)-\sum P(A_iA_j)+\sum P(A_iA_jA_k)-\dots+(-1)^{n+1}P(A_1A_2\cdots A_n) \]

• 减法公式：

  \[P(A-B)=P(A)-P(AB) \]

  若 \(B\subset A\)，则 \(P(A-B)=P(A)-P(B)\)。

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5.条件概率

条件概率

定义：

\[P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)},\quad P(A)>0 \]

含义：在事件 \(A\) 发生的条件下，事件 \(B\) 发生的概率。

乘法公式

\[P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) \]

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6.全概率公式与贝叶斯公式

6.1 完备事件组

\(A_1,A_2,\dots,A_n\) 满足：

1. 两两互斥：\(A_iA_j=\varnothing\)

2. 并为全集：\(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n=\Omega\)

称 \(\{A_i\}\) 为完备事件组

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6.2 全概率公式

6.2.1. 公式

\[P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B\mid A_i) \]

6.2.2. 白话理解

由因求果

已知各个原因 \(A_1,A_2\cdots\) 发生概率，

求最终结果 \(B\) 发生的总概率。

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6.3 贝叶斯公式

6.3.1 公式

\[P(A_j\mid B) =\frac{P(A_j)P(B\mid A_j)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B\mid A_i)} \]

6.3.2 白话理解

由果溯因

已经知道结果B发生了，

反推是由某个原因 \(A_j\) 造成的概率。

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6.4 名词区分

• \(P(A_i)\)：先验概率（事先已知原因概率）

• \(P(B|A_i)\)：条件概率，原因推结果

• \(P(A_j|B)\)：后验概率（知道结果反推原因）

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7.事件的独立性

定义：若 \(P(AB)=P(A)P(B)\)，则称事件 \(A,B\) 相互独立。

性质：

• 若 \(A,B\) 独立，则 \(A\) 与 \(\overline{B}\)、\(\overline{A}\) 与 \(B\)、\(\overline{A}\) 与 \(\overline{B}\) 均独立。
• 多个事件独立：任意 \(k\) 个事件的交事件的概率，等于各事件概率的乘积。需要注意的是，对于多个事件，一般不能从两两独立推出这些事件独立

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8.随机变量及其数字特征

8.1 随机变量的分类

• 离散型随机变量：取值为有限或可列无限个点。

• 连续型随机变量：取值充满某个区间，由概率密度函数 \(f(x)\) 描述。

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8.2 期望

定义

• 离散型：\(EX=\sum x_iP(X=x_i)\)

• 连续型：\(EX=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)

性质

1. 线性性质：\(E(aX+b)=aEX+b\)

2. 可加性：\(E(X+Y)=EX+EY\)

3. 若 \(X,Y\) 独立，则 \(E(XY)=EX\cdot EY\)（笔记中写的 \(E(XY)=EX+EY\) 是笔误）

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9.方差

定义：描述随机变量偏离均值的程度

\[DX=E(X-EX)^2=E(X^2)-(EX)^2 \]

性质：

• \(D(aX+b)=a^2DX\)

• 若 \(X,Y\) 独立，则 \(D(X\pm Y)=DX+DY\)

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