【学习笔记】微积分初步

1 导数（微分）

1.1 定义

导数是描述函数在某一点处瞬时变化率的极限，也可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。

设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域内有定义，当自变量 \(x\) 在 \(x_0\) 处产生增量 \(\Delta x\) 时，函数对应的增量为

\[\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) \]

如果比值 \(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}\) 在 \(\Delta x \to 0\) 时的极限存在，则称函数在 \(x_0\) 处可导，该极限值记作 \(f'(x_0)\)

\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]

这个极限也称为差商的极限，它反映了函数在该点的瞬时变化率或切线斜率。

1.2 n阶导数

一阶导数 \(f'(x)\) 或 \(f^1(x)\)

二阶导数 \(f''(x)\) 或 \(f^2(x)\)

\(n\) 阶导数：对 \(f(x)\) 连续求导 \(n\) 次，记作 \(f^n(x)\)

规定：零阶导数 \(f^0(x)=f(x)\)

1.3 洛必达法则(L'Hôpital's Rule)

1.3.1 适用条件

求极限 \(\lim\limits_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}\) 需同时满足：

极限为 \(\boldsymbol{\dfrac{0}{0}}\) 型 或 \(\boldsymbol{\dfrac{\infty}{\infty}}\) 型

\[\lim_{x \to a}f(x)=0,\ \lim_{x \to a}g(x)=0 \]

\[\text{或}\quad\lim_{x \to a}f(x)=\infty,\ \lim_{x \to a}g(x)=\infty \]

1.3.2 核心公式

\[\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \]

重点：分子分母分别求导，非分式整体求导

1.3.3 多次使用规则

求导后依旧是 \(\dfrac{0}{0}\)、\(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型，可连续使用：

\[\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f''(x)}{g''(x)} \]

1.4 常用导数公式表

1.4.1 基本初等函数导数

1. \((C)'=0\) （\(C\)为常数）

2. \((x^n)'=n \times x^{n-1}\)

3. \((e^x)'=e^x\)

4. \((a^x)'=a^x\ln a\)

5. \((\ln x)'=\dfrac{1}{x}\)

6. \((\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}\)

1.4.2 三角函数导数

1. \((\sin x)'=\cos x\)

2. \((\cos x)'=-\sin x\)

1.4.3 四则运算法则

1. 和差：\((u\pm v)'=u'\pm v'\)

2. 乘积：\((uv)'=u'v+uv'\)

3. 商：\(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\ (v\neq0)\)

1.4.4 复合函数求导

\(h(x)=f(g(x))\)

\(h'(x)=f'(x)g'(x)\)

2 积分

积分（常用公式与法则）

2.1 不定积分基本定义

\[\int f(x)\,dx = F(x)+C \quad \Longleftrightarrow \quad F'(x)=f(x) \]

\(C\) 为任意常数。

2.2 基本积分公式

2.2.1 幂函数与常数

\[\begin{aligned} \int 0\,dx &= C \\ \int dx &= x+C \\ \int x^{\mu}dx &= \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C \quad (\mu\neq -1) \\ \int \frac{1}{x}dx &= \ln|x|+C \end{aligned} \]

2.2.2 指数函数

\[\begin{aligned} \int e^x dx &= e^x+C \\ \int a^x dx &= \frac{a^x}{\ln a}+C \quad (a>0,\,a\neq1) \end{aligned} \]

2.2.3 三角函数

\[\begin{aligned} \int \sin x\,dx &= -\cos x+C \\ \int \cos x\,dx &= \sin x+C \\ \end{aligned} \]

2.3 定积分（牛顿–莱布尼茨公式）

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a),\quad F'(x)=f(x) \]

性质

\[\begin{aligned} \int_{a}^{a} f(x)dx &= 0 \\ \int_{a}^{b} f(x)dx &= -\int_{b}^{a} f(x)dx \\ \int_{a}^{b} [f\pm g]dx &= \int_{a}^{b}f\,dx \pm \int_{a}^{b}g\,dx \\ \int_{a}^{b} kf\,dx &= k\int_{a}^{b}f\,dx \end{aligned} \]

3 泰勒展开

即做拟合

3.1 基本形式（麦克劳林展开）

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]

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3.2 一些麦克劳林展开

1. \(e^x\)

\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n) \]

2. \(\sin x\)

\[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1}) \]

3. \(\cos x\)

\[\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n}) \]

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3.3 麦克劳林展开证明

3.3.1 设多项式近似

设函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处 \(n\) 阶可导，设：

\[f(x)\approx a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n \]

3.3.2 逐阶求导代入 \(x=0\)

• 原式：\(f(0)=a_0 \implies \boldsymbol{a_0=f(0)}\)

• 一阶导：\(f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\dots\)
  \(f'(0)=a_1 \implies \boldsymbol{a_1=f'(0)}\)

• 二阶导：\(f''(x)=2!a_2+3\cdot2 a_3 x+\dots\)
  \(f''(0)=2!a_2 \implies \boldsymbol{a_2=\dfrac{f''(0)}{2!}}\)

• 三阶导：\(f'''(0)=3!a_3 \implies \boldsymbol{a_3=\dfrac{f'''(0)}{3!}}\)

3.3.3 通项结论

\[\boldsymbol{a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}} \]

3.3.4. 代入多项式

\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2 +\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]