【学习笔记】珂朵莉树/颜色段均摊

# 壹：【知识点】

一：【定义】

珂朵莉树（Chtholly Tree）也叫老司机树（ODT），是一种基于平衡树（一般用 set 或 map 实现）的维护颜色段均摊的暴力技巧，而非一种数据结构。

其核心思想是将值相同的一段区间合并成一个结点处理．相较于传统的线段树等数据结构，对于含有区间覆盖的操作的问题，珂朵莉树可以更加方便地维护每个被覆盖区间的值．可用于解决区间修改、区间加法、区间查询以及其他区间操作，在处理区间修改效率最高，适用于随机数据。

二：【节点类型】

struct node{
	int l,r,v;//左边界，右边界，颜色 
	const bool operator<(const node b)const{
		return l<b.l;
	}
}; 

三：【节点存储】

我们希望维护所有结点，使得这些结点所代表的区间左端点单调增加且两两不交，最好可以保证所有区间的并是一个极大的连续范围，此处用set维护区间

初始化时，向珂朵莉树中插入一个极长区间

四：【split操作】

split操作是ODT的核心，它接受一个 \(x\) ，把一个包含 \(x\) 的区间 \([l,r]\) 切分为 \([l,x)\) 和 \([x,r]\) ，并返回后者的迭代器

auto split(int x) {
  auto it=odt.lower_bound(Node(x, 0, 0));
  if (it!=odt.end()&&it->l==x) return it;//x=l不需要切分 
  --it;//此处it是[l,r]的迭代器 
  int l=it->l,r=it->r,v=it->v;
  odt.erase(it);
  odt.insert(node(l,x-1,v));
  return odt.insert(node(x,r,v)).first;//insert的返回值是{插入元素的迭代器，插入是否成功} 
}
//返回值也可以是set<node>::iterator

五：【assign操作】

另外一个重要的操作：assign 表示对区间 \([l,r]\) 赋值为 \(v\)

void assign(int l,int r,int v) {
  auto itr=split(r + 1),itl= split(l);
  odt.erase(itl,itr);
  odt.insert(node(l, r, v));
}

六：【perform操作】

将珂朵莉树上的一段区间提取出来并进行操作．与 assign 操作类似，只不过是将删除区间改为遍历区间．

void perform(int l, int r) {
  auto itr=split(r+1),itl=split(l);
  for(;itl!= itr;++itl){
    //...
  }
}

七：【EX】

map维护ODT懒得学，听说更简单？？

# 贰：【例题】

一：【P3740 [HAOI2014] 贴海报】

除了ODT，离散化+线段树，并查集模拟链表也可以水过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
struct node{
	int l,r,v;
	node(int a,int b,int c){
		l=a;r=b;v=c;
	}
	const bool operator<(const node b)const{
		return l<b.l;
	}
};
set<node> odt;
auto sprit(int x){
	auto it=odt.lower_bound(node(x,0,0));
	if(it!=odt.end()&&it->l==x) return it;
	it--;
	int l=it->l,r=it->r,v=it->v;
	odt.erase(it);
	odt.insert(node(l,x-1,v));
	return odt.insert(node(x,r,v)).first;
}
void assign(int l,int r,int v){
	auto itr=sprit(r+1),itl=sprit(l);
	odt.erase(itl,itr);
	odt.insert(node(l,r,v));
}
int main(){
	int n,m;cin>>n>>m;
	odt.insert({1,n,0});
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r;cin>>l>>r;
		assign(l,r,i);
	}
	
	set<int> ans;
	for(auto it:odt) ans.insert(it.v);
	cout<<ans.size()-ans.count(0)<<"\n";
	return 0;
}

二：【P1840 Color the Axis】

线段树，分块也可以AC

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
struct node{
	int l,r,v;
	node(int a,int b,int c){
		l=a;r=b;v=c;
	}
	const bool operator<(const node b)const{
		return l<b.l;
	}
};
set<node> odt;
auto sprit(int x){
	auto it=odt.lower_bound(node(x,0,0));
	if(it!=odt.end()&&it->l==x) return it;
	it--;
	int l=it->l,r=it->r,v=it->v;
	odt.erase(it);
	odt.insert(node(l,x-1,v));
	return odt.insert(node(x,r,v)).first;
}
void assign(int l,int r,int v){
	auto itr=sprit(r+1),itl=sprit(l);
	odt.erase(itl,itr);
	odt.insert(node(l,r,v));
}
int perform(int l,int r){
	auto itr=sprit(r+1),itl=sprit(l);
	int res=0;
	while(itl!=itr){
		res+=(itl->r-itl->l+1)*(!itl->v);
		itl++;
	}
	return res;
}
int main(){
	int n,m;cin>>n>>m;
	odt.insert(node(1,n,0));
	int ans=n;
	while(m--){
		int l,r;cin>>l>>r;
		ans-=perform(l,r);
		assign(l,r,1);
		cout<<ans<<"\n"; 
	}
	return 0;
}