【学习笔记】势能分析法

势能分析通过定义一个势能函数，度量数据结构的潜在能量，这些资源可以用来支付未来的高成本操作。势能的变化用于平衡操作序列的总成本，从而确保整个算法的均摊成本在合理范围内。
定义状态 \(S\) 为数据结构某个时间的状态，可以是大小、容量等，定义初态为 \(S_0\)
定义 \(\Phi{(S)}\) 为 \(S\) 的势能函数，其需满足两个性质

• \(\Phi{(S_0)}=0\)
• \(\Phi{(S)}>=0\)

对于一个操作，其摊还成本 \(p=c+\Phi{(S')}-\Phi{(S)}\)
其中 \(S\) 为操作前状态， \(S'\) 是操作后状态， \(c\) 为实际操作成本，即表明摊还成本 = 实际成本 + 势能变化

设 \(S_i\) 是第 \(i\) 次操作后数据结构的状态，第 \(i\) 次摊还成本为 \(p_i=c_i+\Phi{(S_i)}-\Phi{(S_{i-1})}\)
则总摊还成本为 \(\sum_{i=1}^{m} p_i=\sum_{i=1}^{m} c_i+\Phi{(S_m)}-\Phi{(S_0)}\)
由于势能函数性质， \(\Phi{(S_m)}-\Phi{(S_0)}>=0\) ，所以 \(\sum_{i=1}^{m} p_i>=\sum_{i=1}^{m} c_i\)
所以 \(\sum_{i=1}^{m} p_i\) 为复杂度上界，即摊还成本是实际总成本的上界
这样我们就通过好算的摊还成本界住了实际成本，如果势能函数设计的好，即\(\Phi{(S_m)}-\Phi{(S_0)}\)很小，得到的上界会很紧，复杂度会越准确

特殊的，当 \(\Phi\) 恒为 \(0\) ，势能分析变为了聚合分析，即聚合分析是势能分析的特殊情况
既然聚合分析得到的\(\Phi{(S_m)}-\Phi{(S_0)}=0\)，为什么我们不全部用聚合分析呢
是因为有的数据结构，我们很难得到其真实操作成本，而其摊还成本很好算
我们往往宁愿要一个 “稍微松一点但能算出来” 的上界，也不要一个 “最精确但根本算不出来” 的真实值。