【题解】P7831 [CCO 2021] Travelling Merchant

一：【题意】

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二：【解法】

拓扑删点，删掉的点 \(ans=-1\)
剩下的点一定有解
\(dp_u=min(max(r_i,dp_v-p_i))\)
但是给定的是一张有向图，存在环，如何在环上 \(dp\) 呢
我们注意到转移方程中的 \(max(r_i,dp_v-p_i)\) ，如果 \(r_i>=dp_v-p_i\) 则取值为 \(r_i\) 为一个定值
所以我们先找出最大的 \(r\) ，更新入点，删边
当一个点 \(x\) 出度为 \(0\) ，那么决策完毕，就可以用 \(x\) 更新其他点了
如果图上又全是环，重新找最大的 \(r\) ，然后更新，对于这个我们可以提前对边排序

三：【代码】

#include<bits/stdc++.h>
#define Pair pair<int,int>
#define v first
#define id second
#define inf 2e9
using namespace std;
const int N=2e5+10;
struct node{
	int v,r,p,id;
};
vector<node> mp[N];
struct Edge{
	int u,v,r,p,id;
	bool operator<(Edge b){
		return r>b.r;
	}
}edg[N];
int ind[N];
int dp[N];
int vis[N];
int main(){
	int n,m;cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[i]=inf;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v,r,p;cin>>u>>v>>r>>p;
		edg[i]={u,v,r,p,i};
		mp[v].push_back({u,r,p,i});
		ind[u]++;
	}
	sort(edg+1,edg+1+m);
	queue<int> q;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!ind[i]) q.push(i);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		while(q.size()){
			int u=q.front();q.pop();
			for(auto e:mp[u]){
				int v=e.v,r=e.r,p=e.p,id=e.id;
				if(vis[id]) continue;
				vis[id]=1;
				if(dp[u]!=inf) dp[v]=min(dp[v],max(r,dp[u]-p));
				ind[v]--;
				if(ind[v]==0) q.push(v);
			}
		}
		if(!vis[edg[i].id]){
			vis[edg[i].id]=1;
			int u=edg[i].u,r=edg[i].r;
			dp[u]=min(dp[u],r);
			ind[u]--;
			if(ind[u]==0) q.push(u);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(dp[i]==inf) cout<<-1<<" ";
		else cout<<dp[i]<<" ";
	}
	return 0;
}