【题解】P3515 [POI 2011] Lightning Conductor

【P3515】题解

一：【题意】

略

二：【解法】

dp[i]=max(h[j]+sqrt(|i-j|)-h[i]
dp[i]=max( max(h[j]+sqrt(i-j)) 1<=j<=i
max(h[j]+sqrt(j-i)) i<j<=n )-h[i]
定义w(i,j)=sqrt(i-j)
取a,a+1,b,b+1
交叉w(a,b)+w(a+1,b+1)=sqrt(a-b)+sqrt(a-b)
包含w(a,b+1)+w(a+1,b)=sqrt(a-b-1)+sqrt(a-b+1)
定义k=a-b
则交叉2*sqrt(k)
包含sqrt(k-1)+sqrt(k+1)
包含-交叉=sqrt(k+1)-sqrt(k)-(sqrt(k)-sqrt(k-1))<=0
所以包含<=交叉，与四边形不等式刚好相反
但是本题求max，所以满足单调性
也可以打表观察最优决策点

三：【代码】

分治

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+10;
int h[N];
double dp[N];
double w(int i,int j){
	return sqrt(i*1.0-j);
}
void solve(int L,int R,int l,int r){
	if(l>r) return ;
	int mid=l+r>>1;
	int p=0;
    double mx=0;
	for(int i=L;i<=R&&i<=mid;i++){
        double k=h[i]+w(mid,i);
		if(k>mx){
			mx=k;
			p=i;
		}
	}
    dp[mid]=max(dp[mid],mx);
	solve(L,p,l,mid-1);
	solve(p,R,mid+1,r);
}
int main(){
	int n;cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>h[i];
	solve(1,n,1,n);
	for(int i=1,j=n;i<j;i++,j--){
        swap(h[i],h[j]);
        swap(dp[i],dp[j]);
    }
	solve(1,n,1,n);
	for(int i=n;i>=1;i--) cout<<(int)ceil(dp[i])-h[i]<<"\n";
	return 0;
}

二分队列

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+10;int n;
int h[N];
double dp[N];
double Y(int i,int j){
	return h[j]+sqrt(i*1.0-j);
}
int ent[N];
int Q[N];
int get_end(int a,int b){
	int l=b-1,r=n;
	while(l<r){
		int mid=l+r+1>>1;
		if(Y(mid,a)>=Y(mid,b)) l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	return l;
}
void solve(){
	int hh=1,tt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(hh<tt&&ent[tt-1]>=get_end(Q[tt],i)) tt--;
		ent[tt]=get_end(Q[tt],i);Q[++tt]=i;
		while(hh<tt&&ent[hh]<i) hh++;
		dp[i]=max(dp[i],Y(i,Q[hh]));
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>h[i];
	solve();
	for(int i=1,j=n;i<j;i++,j--){
        swap(h[i],h[j]);
        swap(dp[i],dp[j]);
    }
	solve();
	for(int i=n;i>=1;i--) cout<<(int)ceil(dp[i])-h[i]<<"\n";
	return 0;
}