【未完工题解】P3345 [ZJOI2015] 幻想乡战略游戏

【P3345】题解

一：【题目描述】

• 给定一个带点权和边权的树
• 每次修改一个点的点权
• 定义F[u]：dis(u,i)*nw[i]
• 求F[u]最小值

二：【求解】

1.【暴力解法】

定义d[u]为u子树内点权和
钦定root暂时最优解，每次枚举其子节点v，每次变化量为(d[u]-2d[v])dis(u,v)

接下来证明如果d[u]-2d[v]<0，则带权重心一定在v子树中
我们考虑反证，如果d[u]-2d[v]>0，则带权重心一定不在v子树中
引入v子树中节点w,满足d[w]<d[v]
因为d[u]>2d[v]，则d[u]>2d[w]，所以一定不在v子树中
那么如果d[u]-2*d[v]<0，则带权重心一定在v子树中

所以我们一直递归，直到所有v满足d[u]-2*d[v]>0，此时u为带权重心
但是如果树退化成一条链，则单次询问复杂度为O(n)，显然TLE

2.【点分树解法】

考虑查询操作
如果树高度是logn的话，那么单次询问复杂度就是O(logn)的，可以通过此题
我们重构成点分树，在点分树上采取暴力解法
具体来说，钦定点分树root为最优解，每次枚举其在原树上的邻接点v，如果d[u]-2*d[v]<0，则跳到v所在的连通块的重心t上，这样可以保证复杂度正确（类似二分）
然后用类似换根的思路，修改t->u方向上t的邻接点w的d[w]，离开的时候再复原

最后得到带权重心r，然后按照点分树容斥的套路f-g计算答案即可
修改操作的话，向上跳，修改祖宗节点的f,g就可以了
复杂度O(20qlog^2n)

不过对于查找重心，还有一种更简单但是常熟略大的思路，可以避免复杂的换根操作
钦定root为最优解，每次枚举其在原树上的邻接点v，直接点分树上查询计算F[v]，在所有子节点的F[v]中取最小值，如果F[v]<F[w]，跳到v所在连通块的重心
递归下去，就可以找到带权重心
复杂度O(20qlog^2n)

三：【代码】

（施工中...）