25.5.26 闲话：解一个多项式方程

已知 \((1-x)F(x)=F(\frac{x^2}{1-x})\) 且 \([x^0]F(x)=1\)，求 \(F\bmod x^n\)。

source：A092684

\(\frac{x^2}{1-x}=\sum_{n\ge 2}x^n\)，因此算出 \(F(x)\bmod x^n\) 后，用这些项算 \(\frac{1}{1-x}F(\frac{x^2}{1-x})\)，就可以算出前 \(2n\) 项。问题变为如何算 \(\frac{1}{1-x}F(\frac{x^2}{1-x})\)。

设 \(F_R(x)\) 为 \(F(x)\) 前 \(n\) 项系数翻转后的多项式，即 \(f'_i=f_{n-i-1}\)。

\[F\left(\frac{x^2}{1-x}\right)=\left(\frac{x^2}{1-x}\right)^{n-1}F_R\left(\frac{1-x}{x^2}\right) \]

令 \(y=\frac{1}{x}\)，推导后面部分：

\[F_R\left(\frac{1-x}{x^2}\right)=F_R\left(y^2-y\right)=F_R\left((y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\right) \]

因此：

\[F_R\left(\frac{1-x}{x^2}\right)=F_R\circ(x-\frac{1}{4})\circ(x^2)\circ(x-\frac{1}{2})\circ(\frac{1}{x}) \]

复合 \(x+k\) 和 \(x^k\) 都是容易的，复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\)。

具体怎么算？求出 \(F_R(x)\)，用连续点值平移可以算出 \(G=F_R\circ(x-\frac{1}{4})\circ(x^2)\circ(x-\frac{1}{2})\)。

\[F(x)=\frac{1}{1-x}F\left(\frac{x^2}{1-x}\right)=\left(\frac{1}{1-x}\right)^nx^{2n-2}G\left(\frac{1}{x}\right) \]

\(G\) 是最高次是 \(x^{2n-2}\)，因此 \(x^{2n-2}G\left(\frac{1}{x}\right)\) 相当于 \(G(x)\) 前 \(2n-1\) 项系数翻转。\(\left(\frac{1}{1-x}\right)^n\) 可以线性算出来，乘上去然后模 \(x^{2n}\) 就算完了。

总复杂度 \(T(n)=T(n/2)+\mathcal O(n\log n)=\mathcal O(n\log n)\)。参考代码。