25.5.12 闲话 2：EGF 操作

对 \(n\) 次 EGF 求逆、求 exp、求 ln、求 \(k\) 次幂。模数不一定是质数。

可以发现对于一个 EGF \(F(x)\)，\([\frac{x^n}{n!}]F'(x)=[\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}]F'(x)\)。

求逆

设 \(G(x)=F^{-1}(x)\)，那么 \(F(x)G(x)=1\)。考察 \(\frac{x^n}{n!}\) 这项（\(n\ge 1\)）：

\[n!\sum_{i=0}^{n}\frac{f_{i}}{i!}\frac{g_{n-i}}{(n-i)!}=0 \]

\[\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}f_{i}g_{n-i}=0 \]

\[g_{i}=-\frac{1}{f_0}\sum_{j=1}^{i}\binom{i}{j}f_{j}g_{i-j} \]

如果 \(f_0\) 有逆则可以求。

求 exp

设 \(G(x)=\exp F(x)\)，那么 \(G'(x)=G(x)F'(x)\)。考察 \(\frac{x^n}{n!}\) 这项：

\[\frac{g_{n+1}}{n!}=\sum_{i=0}^{n}\frac{f_{i+1}}{i!}\frac{g_{n-i}}{(n-i)!} \]

\[g_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}f_{i+1}g_{n-i} \]

\[g_{i}=\sum_{j=1}^{i}\binom{i-1}{j-1}f_{j}g_{i-j} \]

求 ln

设 \(G(x)=\ln F(x)\)，那么 \(G'(x)F(x)=F'(x)\)。考察 \(\frac{x^n}{n!}\) 这项：

\[\frac{f_{n+1}}{n!}=\sum_{i=0}^{n}\frac{g_{i+1}}{i!}\frac{f_{n-i}}{(n-i)!} \]

\[g_{n+1}f_{0}=f_{n+1}-\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n}{i}g_{i+1}f_{n-i} \]

\[g_{i}=f_i-\sum_{j=1}^{i-1}\binom{i-1}{j-1}g_{j}f_{i-j} \]

最后一步 \(f_0\) 消失是因为求 ln 要保证 \(f_0=1\)。

求 \(k\) 次幂

设 \(G(x)=F^k(x)\)，那么 \(G'(x)F(x)=kF'(x)G(x)\)。考察 \(\frac{x^n}{n!}\) 这项：

\[n!\sum_{i=0}^{n}\frac{g_{i+1}}{i!}\frac{f_{n-i}}{(n-i)!}=n!k\sum_{i=0}^{n}\frac{f_{i+1}}{i!}\frac{g_{n-i}}{(n-i)!} \]

\[\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}g_{i+1}f_{n-i}=k\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}f_{i+1}g_{n-i} \]

\[\binom{n}{n}f_0g_{n+1}=k\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}f_{i+1}g_{n-i}-\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n}{i}g_{i+1}f_{n-i} \]

\[g_{i}=\frac{1}{f_0}\left(k\sum_{j=1}^{i}\binom{i-1}{j-1}f_{j}g_{i-j}-\sum_{j=1}^{i-1}\binom{i-1}{j-1}g_{j}f_{i-j}\right) \]

如果 \(f_0\) 有逆则可以求。