「BZOJ4001 TJOI2015」概率论题解

「BZOJ4001 TJOI2015」概率论题解

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首先我们获得一个式子，令 \(f_n\) 表示所有结点个数为 \(n\) 的树的个数，那么很显然 \(f_n\) 就等于 \(C_n\) 又令 \(g_n\) 表示所有结点个数为 \(n\) 的叶子结点之和，那么我们可以得到状态转移式：

\[g_n=2\sum\limits_{i = 1}^{n-1}g_iC_{n-i-1} \]

我们可以尝试生成函数，因为卡特兰的通项公式可以使用生成函数推导，我们稍加变形：

\[\begin{aligned} g_{n+1}&=2\sum\limits_{i = 1}^{n}g_iC_{n-i} \\ g_{n+1}x^n&=2\sum\limits_{i = 0}^{n-1}g_{i+1}x^{i+1} \cdot C_{n-i-1}x^{n-i-1} \end{aligned} \]

我们惊奇地发现这就是个卷积的形式，我们把两个的生成函数弄出来：

\[\begin{aligned} G(x) &=\sum\limits_{i=0}^{\infty}g_{i +1}x^i \\ C(x) &= \sum\limits_{i=0}^{\infty}C_ix^i \end{aligned} \]

那么我们可以得到

\[G(x)-1=2G(x)C(x)x \]

然后可以得到

\[G(x)=\frac{1}{1-2C(x)x}=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}=(1-4x)^{-\frac{1}{2}} \]

利用广义二项式定理：

\[G(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{i}(-4x)^i \]

然后

\[\binom{-\frac{1}{2}}{i}(-4)^i=\frac{(2n)!}{(n!)^2}=\binom{2n}{n} \]

我们惊奇地发现, \([x^n]G(x)=\binom{2n}{n}=(n+1)C_n=g_{n+1} \implies g_{n}=nC_{n-1}\) 。

然后就可以答案就是

\[\frac{g_n}{f_n}=\frac{\binom{2n-2}{n-1}}{\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}}=\frac{(n+1)n}{2(2n-1)} \]