雪莉杂俎

雪莉杂俎

1. 杂谈

1.1 猜结论

只要考场上发现一个问题十分难解决，可以破除该限制，来解决问题，然后试图证明在有限制的情况下这个方案仍然正确。

例题：[G2029 届训练 11：模拟赛] T1 插入统计水桶

这道题看到一个和0取max的操作非常的烦人，我们可以尝试不要它，并且可以将 \(v\) 和 \(l\) 给拆开，尝试让尽可能多的前若干大的 \(v\) 和前若干小的 \(l\) 来匹配，直接贪心即可。至于该如何证明，笔者其实并不会。

1.2 凸包

如果问题的答案由若干一次函数相加得到，如果要求求最值，那么答案是一个凸包。

例题：[G2029 届训练 23：定时练习] T2 Minimum Spanning Tree

这道题每条边的边权都是一次函数，那么最小生成树的大小也必然是一次函数，本题要求 \(x\) 属于一段区间的最小生成树中的最小值，那么答案关于 \(x\) 肯定会形成上凸包，直接取 \(l\) 和 \(r\) 的值即可。

1.3 博弈论

在博弈的过程中可以试图发现有什么东西是不变量，导致最终的胜负。

例题：Nim游戏

Nim游戏肯定是人尽皆知的，我们可以用打表的方式得出先手必胜和后手必胜的状态，然后可以从小数据看起，发现只要各堆石子数异或和为零先手必输(可以看出来吗？)，然后直接做就可以了。

1.4 Baka's Trick

在维护一些需要滑动窗口的问题时，如果删除操作难以进行，但是容易维护撤销操作，那么可以维护一个对顶栈，当左边的栈为空时，可以将右边的栈的元素全部重构到左边，最后求答案只需要合并两侧答案。

例题：[G2029 届训练 36：DP 转移优化（一）] T3 Knapsack and Queries

这道题首先观察数据范围，发现有个加入的重量是逐渐变大的性质，而删除物品是删除最小的，于是这就是一个滑动窗口，而最值的背包问题撤销是非常难以执行的，就可以应用 Baka‘s trick.

1.5 最值问题的0-1化处理

对于某些与第 \(k\) 大相关的问题，我们可以枚举或二分 \(x\) 为答案，将大于等于它的值变为 \(1\) ，小于的变为 \(0\)，再进一步处理。

例题1：[G2028级训练251（NOIP2026水平能力测试 Round12）] 第二个宝石装置

对于求解这个区间的子区间第 \(c\) 大之和的问题，我们可以从高到低逐渐加数，并且使用 std::set 来维护新增的相邻的长度为 \(c\) 的 \(1\) 子序列，加入为一个矩形，使用历史区间和线段树维护即可。

例题2：[G2028级训练244（NOIP2026水平能力测试 Round8）] T3 逐层评审

这道题可以先二分一个最后答案，然后0-1化处理，剩下只需要处理01串的增长就可以了，读者不难自行解决，笔者不进行解释。

2.决策单调性

2.1 决策单调性的判断

已知转移式:

\[dp_i = \min\limits_{j = 0}^{i-1}\left\{dp_j+W(j+1,i)\right\} \]

如果能够证明对于任意 \(W(a,i)-W(b,i)\) 随着 \(i\) 单调变化，那么就具有决策单调性。如果对于最小值的话只要证明 \(W(a,i)-W(b,i)\) 是单调不降的，那么最优决策点会向右移动，反之，对于最大值，如果证明 \(W(a,i)-W(b,i)\) 单调不升，那么最优决策点也会向右平移。应用此结论，我们也可以推导出四边形不等式，也就是如果我们证明了 \(\forall a \leq b < c \leq d，W(a,d)+W(b,c) \leq W(a,c)+W(b,d)\) 可以得到最小值的结论，反之就是最大值。

2.2 决策单调性的栈的处理

当目前为 \(i\) 时，可以对于每个决策点 \(j\) 维护一个三元组 \((j,l,r)\) 表示转移到这些位置最优，然后遇到新决策点的时候，从栈顶开始，如果在 \(l\) 位置 \(j\) 都不如 \(i\) 优，那么就弹掉栈顶，如果 \(i\) 刚好卡到中间，那么可以二分断点。

例题：[G2029 届训练 36：DP 转移优化（一）] T1 诗人小G

这道题可以得出 \(W(j,i)=|pre[i] + i - (pre[j] + j) - 1 - L|^P\) ，这个函数不难证明四边形不等式，那么我们就可以应用栈处理，就可以快速解决了，详细过程参考上文。

2.3 决策单调性分治处理

对于状态有两维的，例如：

\[dp_{i,j}=\min\limits_{k=0}^{j-1}\left\{ dp_{i - 1, k} + W(k + 1, j)\right\} \]

可以进行分治，令当前可用决策点为 \([L,R]\) 待转移的点为 \([l, r]\) 可以暴力求出 \(mid\) 的最优决策点 \(opt\)

，然后再递归到 \(\{[L,opt],[l, mid - 1]\}\) 和 \(\{[opt, R],[mid + 1, r]\}\) 进一步转移。

例题：[G2029 届训练 36：DP 转移优化（一）] T5 Partition Game

这道题虽说有线段树的做法，但是其实也是可以决策单调性的，写出转移后直接应用即可。

2.4 反向决策单调性的Baka's Trick模拟单调队列处理

如果对于任意 \(W(a,i)-W(b,i)\) 随着 \(i\) 单调变化的方式与 2.1 中提到的方式相反，那么决策点会向左移动，但通常情况下，我们选取的 \([j+ 1,i]\) 区间会受到限制，可能会使最小合法转移点向右滑动，导致原先的决策点不合法。如果没有删除的操作，那么可以直接维护单调栈，移除的决策点一定不优。但增添了删除操作，我们难以知晓一些被移除的决策点回来后是什么情况，就可以应用 Baka's Trick，就可以比较好的维护删去元素后回来的元素是什么，因为单调栈是可以撤销的，能够知道回来的元素是什么。

例题 [G2029 届训练 37：DP 转移优化（二）] T5 Bookshelf G

这个神题要求了区间宽度之和不能超过 \(L\)，并且区间的最大值明显是满足反向四边形不等式的（不用解释吧？），那么就可以应用反向决策单调性的处理了。

3. 随机化

3.1 随机序列下前缀最大值个数为 \(O(\log n)\)

对于某些答案需要在不同决策点决定最值的问题，并且存在一种较快方式判断当前答案是否在该决策点更优秀的方式，可以将决策点随机打乱，每次取最大值，就可以将时间复杂度降低到 \(O(\log n)\).

例题：[G2028级训练251（NOIP2026水平能力测试 Round12）] T2 宝石装置

这个题暴力的 \(O(n^2\log n\log V)\) 做法就是外层枚举起点，然后二分答案。而我们获得一个答案，是可以使用二分中的 check 函数来快速判定，而不同的起点就是不同的决策点，于是时间复杂度变为 \(O(n\log^2 n\log V)\)

4. 志怪

4.1 线性RMQ

考虑将序列分为长度为 \(64\) 的小块，块之间可以使用经典 st表，这部分时间复杂度为 \(O(\frac{n}{64}\log \frac{n}{64})\) 的，其实也就是 \(O(n)\) 的，然后块内使用 long long 类型存储那些值是后缀的前缀最大值，使用单调栈就可以实现，整块使用 st表，散块的话，就可以直接在单调栈上查询，总时间复杂度就是线性的，本质上是使用位运算来节省部分时间。

4.2 超级内存优化矩阵乘法

可以在枚举的时候将 \(k\) 放在中间，因为这样可以使内存更加连续，并且可以将 \(a[i][k]\) 给提前存一下。更进一步地优化，可以将矩阵的行和列都按照 \(32\) 分为很多块，每一块内部做矩阵乘法，最后再一起做矩阵乘法，\(2000\) 的矩阵乘法可以只跑 8s，但其实没有必要。