解析几何重点笔记

向量基础

向量空间里的向量满足阿贝尔群的性质，包括交换律、结合律。
其满足八条基本公理：

1. \(\forall \boldsymbol{a,b,c} \in \mathscr{V}, \boldsymbol{a+(b+c) = (a+b)+c}\)
2. \(\forall \boldsymbol{a,b} \in \mathscr{V},\boldsymbol{a+b=b+a}\)
3. \(\exists \boldsymbol{0} \in \mathscr{V}, \forall \boldsymbol{a} \in \mathscr{V}, \boldsymbol{0 + a = a}\)
4. \(\forall \boldsymbol{a} \in \mathscr{V}, \exists \boldsymbol{-a} \in \mathscr{V}, \boldsymbol{a + (-a) = 0}\)
5. \(\forall k,l \in K, \boldsymbol{a} \in \mathscr{V}, (k+l)\boldsymbol{a} = k\boldsymbol{a} + l\boldsymbol{a}\)
6. \(\forall k,l \in K, a \in \mathscr{V}, kl\boldsymbol{a} = k(l\boldsymbol{a})\)
7. \(\forall k \in K, \boldsymbol{a,b} \in \mathscr{V}, k(\boldsymbol{a+b}) =k\boldsymbol{a} + k\boldsymbol{b}\)
8. \(\forall \boldsymbol{a} \in \mathscr{V}, 1\boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}\)
   令\(\mathscr{V}\)是一个任意的向量空间，\(\boldsymbol{0}\)是存在且唯一的。
   且\(0\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}\)，\(k\boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}\)
   向量\(\boldsymbol{a}\)的负向量也是唯一的。
   由于有结合律，所以若干向量的加和顺序是任意的。
   设\(X\)为一个任意的集合，其中\(n\)个元素的族（或称作序列）是前 \(n\)个自然数到\(X\)集合的一个映射
   \([1,2,...,n] \to X\)
   且\(i(1\leq i \leq n)\)映射后的象我们记作\(x_{i}\)，整个族被记为\((x_{1},x_{2},...,x_{n})\)
   族应当是ad-hoc的，即\(i \neq j\)时有\(x_{i} \neq x_{j}\)，被称为非循环族。
   可以理解为，族是从\(X\)中挑选了若干个元素并对其赋予了一系列序号使其拥有映射的对应关系，所以选定\(n\)个元素后，我们可以得到\(n!\)个不同的族，这都是通过不同的编号赋予导致的。
   特别的，\((x_{i_{1}},x_{{i_{2}}},...x_{i_{m}})\)是\((x_{1},x_{2},...,x_{n})\)的一个子族，当且仅当\(1\leq i_{1}\leq i_{2} \leq ... \leq i_{m}\leq n\)

线性组合与线性相关

为向量\(\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},...,\alpha_{n}}\)赋予\(n\)个系数\(k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{n}\)后组成的线性组合
\(\sum_{i=1}^{n}k_{i}\alpha_{i}\)也是一个向量，我们称该向量是被那\(n\)个向量线性表出的。
当系数都为\(0\)时，显然该组合向量是\(\boldsymbol{0}\)，我们称这是一个平凡线性组合，否则是非平凡的。
若对于向量\(\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},...,\alpha_{n}}\)存在\(k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{n}\)使得\(\sum_{i=1}^{n}k_{i}\alpha_{i} = \boldsymbol{0}\)，且\(\exists k_{i} \neq 0\)，我们称它们是线性相关的，否则是线性无关的。
特别地，当\(n = 0\)时，该向量族是线性无关的。
显然循环族是线性相关的，因为\(\exists i \neq j, \alpha_{i} = \alpha_{j}\)
我们令\(k_{i} = -k_{j}\)，其他全置\(0\)即可。
有一些显然的性质：

1. 如果一个向量\(\boldsymbol{a}\)可以被\(\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},...,\alpha_{n}}\)表示，且\(\boldsymbol{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},...,\alpha_{n}}\)中每一个向量都可以被\(\boldsymbol{\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{m}}\)表示，那么\(\boldsymbol{a}\)也可以被\(\boldsymbol{\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{m}}\)表示。线性表示具有传递性。
2. 具有线性相关子族的向量族也是线性相关的（将新加入的向量的系数置\(0\)即可）
3. 包含\(\boldsymbol{0}\)的向量族是线性相关的
4. 一个向量族是线性相关的当且仅当其中任意一个元素可以表示为其他元素的线性组合
5. 一个向量族是线性相关的，当且仅当\(\exists 1 \leq i \leq n, k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{i-1}(不全为0),\boldsymbol{\alpha_{i}} = \sum_{j=1}^{i-1}k_{j}\boldsymbol{\alpha_{j}}\)，这显然是(4)的强化版性质，可用反证法推。
6. 一个向量族是线性无关的，当且仅当若有\(\boldsymbol{\beta} = \sum_{i=1}^{n}k_{i}\boldsymbol{\alpha_{i}}\)，\((k_{1},k_{2},...,k_{n})\)是唯一的，这个也可以通过反证实现证明。
   小Tip：
   方程个数大于未知数个数的线性齐次方程组一定有非零方程解。
   定理：
   如果向量族\(\boldsymbol{a_{1},a_{2},\dots,a_{m}}\)里每个向量都可以被\(\boldsymbol{b_{1},b_{2},\dots,b_{n}}\)线性表出，如果\(m>n\)，那么\(\boldsymbol{a_{1},a_{2},\dots,a_{m}}\)线性相关。
   从上面的小Tip出发我们列方程来解决这个定理是很显然的。

基向量

两个向量共线有两个定义：

1. 两者组成线性相关集
2. 两者成比例
   \(\boldsymbol{a,b,c}\)共面，当且仅当它们线性相关。
   特别地，有一些结论：
3. 多于\(n\)个向量组成的任何向量族都线性相关。
4. 存在\(n\)个向量组成的线性无关向量族。
   这些结论逐渐启发了我们去寻找\(n\)维空间下基向量。
   向量空间\(\mathcal{V}\)下\(\boldsymbol{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}}\)是完全的，如果空间里所有的向量都可以被\(\boldsymbol{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}}\)所线性表示，如果他们是线性无关的，这个族被称为是向量空间\(\mathcal{V}\)的基。
   并且我们发现如果\(\boldsymbol{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}}\)是线性相关的，我们从中去掉一个向量依旧可以让这个族成为完全的。
   同时我们改变向量族的顺序，基的性质依然保持不变。
   设向量空间的维度\(\dim \mathcal{V}=n\)\(，\)如果一个族\(a_{1},a_{2},\dots,a_{m}\)线性无关那么有\(m\leq n\)且如果它是完全的就要有\(m\geq n\)。
   由上章的小定理是很好证明的，同时在这里我们发现”完全“与“线性相关”是一种类似于反义的意思，两者只有在\(m=n\)时才同时满足。
   所以我们就发现\(\mathcal{V}^n\) 的基\((a_{1},a_{2},\dots,a_{m})\)满足如下性质

• \(m=n\)
• 其线性无关
• 其是完全的
  所以如果要检验一个向量族是否是向量空间的一组基，只需要验证三者中其二，因为第三个性质可以通过剩余两个证明出来（证明在上面）。
  以后我们钦定\((e_{1},e_{2},\dots,e_{n})\)是一组基。
  如果\(\boldsymbol{a}=\sum_{i=1}^n a_{i}\boldsymbol{e_{i}}\)，那么我们称\((a_{1},a_{2},\dots,a_{n})\)是\(\boldsymbol{a}\)在这组基下的坐标。
  由Einstein的记号，\(\boldsymbol{a}=\sum_{i=1}^n a_{i}\boldsymbol{e_{i}}\)可以记作\(\boldsymbol{a}=a^i\boldsymbol{e_{i}}\)，这里的上标并非是次幂而是简洁的求和。
  通过简单的证明我们可以发现\((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\sum_{i=1}^n(a_{i}+b_{i})\boldsymbol{e_{i}}\),\(k\boldsymbol{a}=\sum_{i=1}^n(ka_{i})\boldsymbol{e_{i}}\)
  所以我们就可以看出来向量加法与数乘在坐标上也呈现出类似的形式，正如高中数学所学。

仿射空间与同构

设\(\varphi:\mathcal{V}\to\mathcal{V}'\)且\(\forall a,b \in \mathcal{V}\)，\(k \in K\)，
\(\varphi(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\varphi(\boldsymbol{a})+\varphi(\boldsymbol{b}),k\varphi(\boldsymbol{a})=\varphi(k\boldsymbol{a})\)
则两空间同构（\(\mathcal{V}\approx \mathcal{V}'\)）与平面几何里的相似是相通的，这种关系具有传递性。
由于上节我们得到了向量数乘与其坐标的类似关系，所以我们可以得到\(\mathcal{V} \approx R^n\)
类似地，\((a^1,a^2,\dots,a^n)=\sum_{i=1}^{n}a^i(0,0,\dots,1(第i位),\dots,0)\)
任何\(\mathcal{V^n}\approx R^n\)
以\(R^n\)作为桥梁，显然任何\(n\)维的向量空间都同构。
通过把向量坐标化，我们可以实现向量之间的讨论转化为代数层面的讨论和处理技巧。、
仿射空间是点的集合\(\mathcal{A}\)，对于其给出了一个向量空间\(\mathcal{V}\)，满足两条公理：

1. \(\forall A \in \mathcal{A},\boldsymbol{a} \in \mathcal{V}\)，存在唯一的\(B \in \mathcal{A}\) 使得\(\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}\)
2. 对于任意三点，\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)