密码学基础概念

裴蜀定理说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：
\(若a,b是整数，且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y，ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。\)
它的一个重要推论是：a,b互质的充分必要条件是存在整数x,y，使得\(ax+by=1\).

裴蜀等式变体与模运算

\(若a|b则a=kb，否则a=kn+r，余数则为r\)

• 如果存在整数\(z\)使得$ 1/a \equiv z (mod \ n)$，则\(1 \equiv az(mod \ n)\)，由同余定义可得
  \(az+(-kn)=1\)
  
  仅当\(a\)和\(n\)互素令这样的整数\(z\)存在

• \(因此1/2(mod \ 7)有解，而1/2(mod \ 10)无解\)

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\[bx +kn=1 \]

• 以上方程在b和n互素时，x有整数解。而当n为素数时，则所有大于1小于n的整数与n互素
• 在模运算中，定义\(x\)为\(b\)模\(n\)的逆，记作\(b^{-1}(mod \ n)=x(mod \ n)\)

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• \(5/2(mod \ 7) = 5*2^{-1}(mod \ 7)=5*4(mod \ 7) = 6(mod \ 7)\)

引用
Latex 数学公式语法
模运算视频