P5313 [Ynoi2011] WBLT 题解

好像是我第一次给 Ynoi 写题解？

对于这种询问特别非常规的题，大概很难用一般的数据结构来维护它。所以可以考虑用 bitset 存下数字的出现情况，然后用一些 bitset 的神秘操作把复杂度除个 64，然后你就发现可以过了。

这道题也是同理。想到用 bitset 之后就比较好办了。首先用莫队提取出一段区间中代表数字出现情况的 bitset，然后把这个大 bitset 从 \(0\) 开始分裂成一些长度为 \(b\) 的小 bitset。显然，如果将分裂出来的这些 bitset 全部 and 起来，第一次全为 \(0\) 时的小 bitset 的下标（下标从 \(0\) 开始）即为本次询问的答案。

这样做当分出的 bitset 数 \(\leq \frac{V}{w}\) 时，复杂度能够保证单次操作 \(O(\frac{V}{w})\)。但是当分出的 bitset 数过多，即 \(b < w\) 时，复杂度就退化到 \(O(\frac{V}{b})\)。由于本题出题人，这种做法肯定被卡掉了。考虑类似根号分治，对 \(b < w\) 的情况特殊处理。

由于此时 \(b < w\)，考虑一种比较暴力的方法。对不同的 \(b\) 各做一次莫队。开一个长为 \(b\) 的 bitset 数组。把所有 \(\bmod\) \(b\) 同余的值除以 \(b\) 后放进同一个 bitset 里面。询问时对每个 bitset 求 mex 的最大值即可。莫队部分的时间复杂度 \(O(n\sum{\sqrt{m_i}})\)，bitset 部分的复杂度与上一段过程的总和为 \(O(\frac{Vm}{w})\)。

因此总时间复杂度为 \(O(\frac{Vm}{w}+n\sum{\sqrt{m_i}})\)。

但是 std::bitset 不支持分裂操作，所以这道题的代码难度在于手写 bitset。

因此接下来这篇题解将着重介绍如何手写 bitset。因为这是本人第一次手写 bitset。所以参考了一下别的题解。

设 \(w=64\)，则 \(x\) 在 bitset 中的下标为 \(\frac{x}{w}=x>>6\)，压位后在数中的二进制位数为 \(x \bmod w = x \& 63\)。下文中设 \(div=6,mod=63\)，\(size\) 为该 bitset 中压位后数的个数，\(v\) 为用于存储这些数的 vector。

1. 一些基础操作

   inline void reset() {
     for (int i = 0; i <= size; i++)
       v[i] = 0;
   }
   inline void set() {
     for (int i = 0; i <= size; i++)
       v[i] = ~0ull;
   }
   inline void set1(int x) {
     v[x >> DIV] |= 1ull << (x & MOD);
   }
   inline void set0(int x) {
     v[x >> DIV] &= ~(1ull << (x & MOD));
   }
   inline bool any() {
     for (int i = 0; i <= size; i++)
       if (v[i])
         return 1;
     return 0;
   }
   inline void operator&=(const Bitset &q) {
     for (int i = 0; i <= size; i++)
       v[i] &= q.v[i];
   }
   

   这些操作比较简单，不解释。

2. 初始化函数 init()

   inline void init(int x, bool val) {
     v.resize((x >> DIV) + 2), size = x >> DIV, val ? set() : reset();
   }
   

   这个函数中需要注意的是 vector 的空间必须要往后多开 1 个，方便后续的 split()。

3. 求第一次 \(0\) 的出现位置 mex() 操作

   inline int mex() {
     for (int i = 0;; i++)
       if (~v[i])
         return i << DIV | __builtin_ctzll(~v[i]);
   }
   

   从 \(v_0\) 开始一直往后找，只要遇到第一次 \(v_i\) 中包含 \(0\)。则返回答案。其中 i << DIV 表示前面的位数，__builtin_ctzll() 是一个 gcc 的内建函数，用于 \(O(1)\) 计算一个 unsigned long long 类型的数的的二进制表示中末尾 0 的个数。用 ~ 进行取反使其变为计算 \(v_i\) 末尾 1 的个数。

4. 分裂操作 split()

   正是因为这个操作才逼我们手写 bitset。

   inline void split(int len, Bitset res[]) {
     for (int i = 0; i <= V / len + 1; i++)
       res[i].init(len, 0);
     int begin = 0, need = res[0].size, place = 0, cur = 0;
     for (int i = 0; i <= size; i++) {
       if (place == need)
         res[cur].v[place] = (begin + (len & MOD) <= MOD)
                           ? (v[i--] & filter[begin + (len & MOD)]) >> begin
                           : v[i] >> begin | (v[i + 1] & filter[begin + (len & MOD) & MOD]) << (W - begin),
         begin = begin + (len & MOD) & MOD, place = 0, cur++;
       else
         res[cur].v[place] = begin ? (v[i] >> begin | (v[i + 1] & filter[begin]) << (W - begin)) : v[i], place++;
     }
   }
   

   首先把 \(res_i\) 初始化。

   \(x \& filter_i\) 表示只保留 \(x\) 的后 \(i\) 位（\([0,i-1]\) 位）。

   设 \(begin\) 表示当前做到大 bitset 中数的哪个二进制位（范围为 \([0,w-1]\)），\(need\) 表示一个小 bitset 中数的个数，\(place\) 表示当前做到的数在小 bitset 中的下标，\(cur\) 表示当前做到的小 bitset 的编号。

   • 当做到该小 bitset 的最后一个数时，加入小 bitset 的数的位数应该为 \(len \bmod w = len \& 63\)。
     • 当大 bitset 的第 \(i\) 个数足够时：将大 bitset 中第 \(i\) 个数的 \([begin,begin+len \bmod w-1]\) 位加入小 bitset。
     • 当大 bitset 的第 \(i\) 个数不够时，需要从第 \(i+1\) 个数借位。将第 \(i\) 个数的 \([begin, w-1]\) 位和 第 \(i+1\) 个数的 \([0,(begin+(len \bmod w)) \bmod w - 1]\) 位加入小 bitset。
   • 做到该小 bitset 的最后一个数之前，加入小 bitset 的数的位数应该为 \(w\)。
     • 当大 bitset 的第 \(i\) 个数足够，即 \(begin=0\) 时，将整个数加入小 bitset。
     • 当 \(begin \neq 0\) 时，需要从第 \(i+1\) 个数借位。将第 \(i\) 个数的 \([begin, w-1]\) 位和 第 \(i+1\) 个数的 \([0,begin-1]\) 位加入小 bitset。

   这里就能看出之前在 init() 中把 vector 往后多开 1 个的作用了。可以让我们不用特判 \(i=size\)。否则要加几行特判 \(i=size\) 防止 \(i+1\) 越界。

之后的代码就不难写了。根据 Ynoi 传统，不给出完整代码。

bitset 部分代码。