秦九韶算法

这应该是笔者写的第一道多项式有关的题目
没办法，我实在是太菜了
就是这道题
题面已经写的很露骨了
但是如果你拿传统的枚举每个i去带入，并且你使用了快读+吸氧等一系列的优化，你就可以获得30pts的好成绩
如果你开了高精度，那就是50pts
所以正解就是秦九韶算法（第一眼我还以为是海伦——秦九韶公式……）
我谷的题解说人教数学书必修三封面有，我怎么没看到？
反正就是用他啦~

内容

先给出一个一元三次多项式：
\(f(x)=\sum_{i=0}^{3}(i+1)\times x^i\)
对于他，我们有这样的一个答案：
\(ans=x\times(x\times(4\times x+3)+2)+1\)
然后我们推广到一元n次多项式：
\(f(x)=\sum_{i=0}^{n}(i+1)\times x^i\)
那就应该是：
\(ans=((((a[n])\times x+a[n-1])\times x+a[n-2])\times x...+a_1)\times x+a_0\)

优化

如果使用朴素算法求解第一个式子的话，我们需要6次乘法与3次加法
那么对于第二个式子就是\(\frac{n(n+1)}{2}\)次乘法与\(n\times 1=n\)次加法
所以时间复杂度就是\(O(n^2)\)这显然是无法接受的
而我们使用秦九韶算法由内向外逐层计算多项式的值
就可以将时间复杂度优化到\(O(n)\)这个级别。

实现

我们把百度百科上的代码直接粘过来吧：

秦九韶算法

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;
int main() {
    int n;
    cout << "请输入多项式的次数 ：";
    cin >> n;
    double *a = new double[n+1];//n次多项式申请n+1大小的数组
    cout << "请输入多项式的系数（最高次项开始）:" << endl;
    for(int i = n; i >= 0; i --)
        cin >> a[i];//读入各项系数
    double x0,ans=a[n];
    cout << "请输入 X0 " << endl;
    cin >> x0;
    for(int i = n-1;i >= 0;i --)
        ans = ans*x0 + a[i];//最高次项开始，往外展开
    cout << "多项式在X0出的函数值为：" << ans << endl;
    delete []a;//释放动态内存
    return 0;
}