[bzoj4872][Shoi2017]分手是祝愿

题目大意：$n$ 个灯开关游戏，按 $i$ 后 $i$ 的约数都改变状态。给定初始状态，希望所有灯都灭掉。随机选择一个灯，如果当前最优策略下次数 $\leq k$ 直接用最优策略。问期望步数乘上 $n!$ 对$100003$取模

题解：考虑从大到小按，显然如果当前这盏是亮的就按。可以证明这是最优的一种方法，并且初始状态与最优解的按下的灯的集合一一对应。

$f_i$ 表示在最有情况下还有 $i$ 步可以结束的期望步数。

$$f_i=\frac{i}{n}\cdot f_{i-1}+\frac{n-i}{n}\cdot f_{i+1}+1$$

但是如果 $k=0$时 就无法计算。

所以差分 $f$，设 $g$ 表示从 $i$ 步到 $i-1$ 步期望步数。

$$\begin{align*}
g_i&=\frac{i}{n}+\frac{n-i}{n}\cdot (g_{i+1}+g_i+1)\\
&=1+\frac{(n-i)(g_{i+1}+g_i)}{n}\\
&=1+\frac{n\cdot g_{i+1}+n\cdot g_{i}-i \cdot g_{i+1}-i\cdot g_i}{n}
\end{align*}$$

左右同乘以$n$

$$n\cdot g_i=n+n\cdot g_{i+1}+n\cdot g_i-i\cdot g_{i+1}-i\cdot g_i$$

$$i\cdot g_i=n+n\cdot g_{i+1}-i\cdot g_{i+1}$$

$$\therefore g_i=\frac{n+n\cdot g_{i+1}-i\cdot g_{i+1}}{i}（g_n=1,g_{i\leq k}=1）$$

卡点：1.最后一不小心答案加了$k$

 

C++ Code：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#define maxn 100010
#define mod 100003
using namespace std;
int n, k, a[maxn], g[maxn];
int inv[maxn], N;
int cnt, ans;
signed main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	inv[0] = inv[1] = N = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		inv[i] = 1ll * inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;
		N = 1ll * N * i % mod;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	for (int i = n; i; i--) {
		if (a[i]) {
			cnt++;
			int t = sqrt(i);
			for (int j = 1; j <= t; j++) {
				if (i % j == 0) {
					a[j] ^= 1;
					if (j * j != i) a[i / j] ^= 1;
				}
			}
		}
	}
	if (cnt <= k) {
		printf("%d\n", 1ll * cnt * N % mod);
		return 0;
	}
	g[n] = 1;
	for (int i = n - 1; i; i--) {
		if (i > k) g[i] = (n + 1ll * (n - i) * g[i + 1]) % mod * inv[i] % mod;
		else g[i] = 1;
	}
	for (int i = 1; i <= cnt; i++) ans = (ans + g[i]) % mod;
	printf("%d\n", 1ll * ans * N % mod);
	return 0;
}