[bzoj4318]OSU!

题目大意：有一个长度为 $n$ 的 $01$ 序列，每一段极大的连续 $1$ 的价值是 $L^3$（长度为 $L$）。现在给定 $n$ 个实数表示该位为 $1$ 的概率，求期望总价值。

题解：

令$f_i$为到第$i$位的答案，$a_i$为到第$i$位前连续一段$1$的个数的期望，$b_i$为到第$i$位前连续一段$1$的个数的平方的期望，$x_i$为第$i$位为$1$的概率

$\therefore DP$方程如下：

$$a_i=(a_{i-1}+1)\times x_i+0\times (1-x_i)$$

$$\begin{align*}
b_i&=(a_{i-1}+1)^2\times x_i+0\times (1-x_i)\\
&=(a_{i-1}^2+2\cdot a{i-1}+1)\times x_i+0\times (i-x_i)\\
&=(b_{i-1}+2\cdot a{i-1}+1)\times x_i+0\times (i-x_i)\\
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
f_i&=[f_{i-1}-a{i-1}^3+(a{i-1}+1)^3] \times x_i+f_{i-1}\times(1-x_i)\\
&=(f_{i-1}+3\cdot a_{i-1}^2+3\cdot a_{i-1}+1)\times x_i+f_{i-1}\times(1-x_i)\\
&=(f_{i-1}+3\cdot b_{i-1}+3\cdot a_{i-1}+1)\times x_i+f_{i-1}\times(1-x_i)
\end{align*}$$

 然后发现$f_i$只和$f_{i-1},b_{i-1},a_{i-1},x_i$有关，$b_i$只和$b_{i-1},a_{i-1},x_i$有关，$a_i$只和$a_{i-1},x_i$有关，所以可以滚掉

卡点：无

 

C++ Code：

#include <cstdio>
using namespace std;
int n;
double x, f, a, b;
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lf", &x);
		f = f * (1 - x) + (f + 3 * b + 3 * a + 1) * x;
		b = (b + 2 * a + 1) * x;
		a = (a + 1) * x;
	}
	printf("%.1lf\n", f);
	return 0;
}