随记

树的重心

今天学到了一种新的找重心写法，不用额外增加数组。

void dfs(int u,int f){
    siz[u]=val[u];
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        if(to[i]==f) continue;
        dfs(to[i],u);
        siz[u]+=siz[to[i]];
    }
    if((siz[u]<<1)>=tot&&!wt) wt=u;
}

证明：

首先：节点 \(u\) 是重心当且仅当：删除 \(u\) 后得到的每一个连通块的权重都 ≤ tot/2。等价地，对任一子节点 v（\(u\) 的某个邻居），对应的块大小要 \(≤ tot/2\)；其中一个块对应“除去 \(u\) 的子树”的那部分，其大小正好是 \(tot - siz[u]\)。

代码里选的节点选取条件 \(siz[u] * 2 >= tot\)。

那么 \(tot - siz[u] ≤ tot/2\) 自然成立（即“父侧/其余部分”的块不会超过一半），因此只需再检查 \(u\) 的每个孩子子树是否也 \(≤ tot/2\)。

接下来：在后序（对子节点递归完成后）检查 \(siz[u]\)，并且用 &&!ans 保证只设置一次。因为是后序，树上越深的节点越早被检查（深节点的 \(dfs\) 先执行完返回），所以第一次满足 \(siz[...] >= tot/2\) 的节点，实际上是“最深的满足 \(siz >= tot/2\) 的节点”。

如果 \(u\) 的某个子节点 \(v\) 的子树大小 \(> tot/2\)，那 \(v\) 必然也是满足 \(siz[v] ≥ tot/2\) 的节点，而且比 \(u\) 更深，按后序会先被发现并把 ans 设为 v（从而 u 不可能成为“第一次被设定”的节点）。因此，既然 \(u\) 被第一个设定为 \(ans\)，说明它所有的子节点的子树大小都 \(< tot/2\)。也就保证了“删除 \(u\) 后任一子树块大小 \(≤ tot/2\)”。

因此 \(u\) 满足重心条件
结合第 \(2、3\) 点，\(u\) 的每一个分块（包括父侧）都 \(≤ tot/2\)，因而 \(u\) 是重心。