实对称阵与二次型

实对称阵与二次型

前置引入

对于 \(n\) 元二次型 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) ，若令：

\[\left\{ \begin{aligned} x_1&=c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n\\ x_1&=c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n\\ &\cdots\\ x_1&=c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n\\ \end{aligned} \right. \]

即有线性变换：

\[x=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T\\ y=[y_1,y_2,\cdots,y_n]^T\\ \]

\[ C=\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn}\\ \end{bmatrix} \]

\[x=Cy \]

若 \(C\) 可逆，即 \(|C|\neq0\)，则称为可逆线性变换。

即对于二次型 \(f(x)=x^TAx\) 有：

\[f(x)=(Cy)^TA(Cy)=y^T(C^TAC)y \]

记 \(B=C^TAC\),称 \(B\) 为 \(A\) 的合同矩阵，而

\[f(x)=y^TBy=g(y) \]

二次型与实对称阵

实对称阵：均为实数且 \(A^T=A\)。

二次型：设 \(A=[a_{ij}]_{n\times n}\) 为实对称阵，\(x=[x_,\cdots,x_n]^T\)，则变元 \(x_1,\cdots,x_n\) 的二次齐次多项式

\[\begin{aligned} f(x)&=x^TAx\\ &=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+\cdots+2a_{1n}x_1x_n\\ &+a_{22}x_2^2+\cdots+2a_{2n}x_2^n\\ &+\cdots\\ &=a_{nn}x_n^2\\ \end{aligned} \]

称为 \(n\) 元二次型，\(A\) 为这个二次型的矩阵，\(A\) 的秩称为这个二次型的秩。

正交矩阵与标准正交基

定义

• 若向量空间 \(\mathbb{R}^n\) 的基 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 中的向量都是单位向量，且相互正交，则称此基为标准正交基。

• 若实方阵 \(P\) 满足 \(P^TP=E\)，即 \(P^T=P^{-1}\)，则称 \(P\) 为正交阵。

性质

• 若 \(A\) 为正交阵，那么 \(A\) 的行列式的绝对值值为 \(1\)。

\[\begin{aligned} AA^T&=E\\ \Rightarrow |AA^T|&=1\\ \Rightarrow |A||A^T|&=1\\ \Rightarrow |A|^2&=1\\ \Rightarrow |A|&=\pm 1\\ \end{aligned} \]

• 行或列向量组为单位正交向量。

几何意义

正交变换在几何上可以理解为旋转、反射或它们的组合。

当 \(|Q|=+1\) 时，是旋转矩阵，当 \(|Q|=-1\) 时，是反射矩阵

• 不改变向量的长度
• 不改变向量间的夹角
• 表示的是旋转或反射，属于刚体变换

施密特正交化

设：存在向量空间 \(V(V \subset R^n)\)

\(n\) 维向量 \(A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n)\) 是 \(V\) 中的一个基，

\(n\) 维向量 \(B=(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_n)\)，是 \(V\) 中的一个基，\(B\) 中元素两两正交，且 \(A\) 等价于 \(B\)。

\(n\) 维向量 \(E=(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_n)\) 是 \(n\) 维向量 \(B\) 单位化以后得到的单位化正交基。

则有：

\[\begin{aligned} \beta_1&=\alpha_1\\ \beta_2&=\alpha_2-\beta_1\cdot \frac{[\beta_1,\alpha_1]}{[\beta_1,\beta_1]}\\ \beta_3&=\alpha_3-\beta_1 \cdot \frac{[\beta_1,\alpha_3]}{[\beta_1,\beta_1]}-\beta_2\cdot\frac{[\beta_2,\alpha_3]}{[\beta_2,\beta_2]}\\ &\cdots\\ \beta_n&=\alpha_n-\beta_1 \cdot \frac{[\beta_1,\alpha_n]}{[\beta_1,\beta_1]}-\beta_2\cdot\frac{[\beta_2,\alpha_n]}{[\beta_2,\beta_2]}-\cdots -\beta_{n-1}\cdot\frac{[\beta_{n-1},\alpha_n]}{[\beta_{n-1},\beta_{n-1}]}\\ \eta_n&=\frac{\beta_n}{||\beta_n||} \end{aligned} \]

合同

设 \(A\) 与 \(B\) 为 \(n\) 阶方阵，若存在可逆阵 \(C\) 使得

\[C^TAC=B \]

则称 \(A\) 与 \(B\) 合同，记为 \(A\simeq B\)。

此时与之对应的 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 为合同二次型，本质上是同一表达式在不同参考系下的表示。

化二次型为标准型、规范形

若二次型中只有平方项，没有交叉项（交叉项系数全为零），形如

\[d_1x_1^2+d_1x_2^2+\cdots+d_1x_n^2 \]

的二次型称为标准形。（一般不唯一）

若标准型中，系数的取值范围 \(\{-1,1,0\}\) 为 即形如

\[x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_{p+q}^2 \]

的二次型称为规范形。（不考虑顺序的情况下唯一）

想要进行标准化需要保证线性变换 \(C\) 为正交阵

合同标准化

例题：将 \(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_1^2+2x_1x_2+2x_3^2\) 为正交标准型。

设二次型矩阵为 \(A\)，则有：

\[\begin{aligned} A&=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\\ \end{bmatrix}\\ |\lambda E-A|&=\left| \begin{array}{} \lambda-2 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda-2 \end{array} \right|=(\lambda-1)^2(\lambda-4)\\ &\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=4 \end{aligned} \]

解 \((\lambda_1 E-A)x=0\) 得基础解系：

\[x_1=(1,0,-1)^T,x_2=(0,1,-1)^T \]

施以正交化：

\[\begin{aligned} q_1&=x_1=(1,0,-1)^T\\ q_2&=x_2-\frac{[x1,x2]}{[x1,x1]}x1=(-\frac{1}{2},1,-\frac{1}{2})^T \end{aligned} \]

解 \((\lambda_3 E-A)x=0\) 得基础解系：

\[q_3=(1,1,1)^T \]

分别单位化得到：

\[\left\{ \begin{aligned} p_1&=(\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}})^T\\ p_2&=(-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}})^T\\ p_3&=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})^T\\ \end{aligned} \right. \]

取正交阵 \(P=[p_1,p_2,p_3]\)，则：

\[ P^TAP= \begin{bmatrix} 1&&\\ &1&\\ &&4 \end{bmatrix} \]

配方法标准化

• 含有平方项的

例题：
将下述二次型转化为标准二次型

\[f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_2 \]

\[\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)&=(x_1^2+2x_1x_2)+2x_2^2+5x_3^2+4x_2x_3\\ &=(x_1+x_2)^2-x_2^2+2x_2^2+5x_3^2+4x_2x_3\\ &=(x_1+x_2)^2+(x_2^2+4x_2x_3)+5x_3^2\\ &=(x_1+x_2)^2+(x_2+2x_3)^2-4x_3^2+5x_3^2\\ &=(x_1+x_2)^2+(x_2+2x_3)^2+x_3^2\\ &=y_1^2+y_2^2+y_3^2 \end{aligned} \]

• 不含有平方项的（构造平方差）

将下述二次型转化为标准二次型

\[f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3 \]

设

\[\left\{ \begin{aligned} x_1&=y_1+y_2\\ x_2&=y_1-y_2\\ x_1&=y_3 \end{aligned} \right. \]

原式即有

\[\begin{aligned} 原式 &=y_1^2-y_2^2+2y_1y_3+2y_2y_3+4y_1y_3-4y_2y_3\\ &=(y_1+3y_3)^2-(y_2+y_2)^2-8y_3^2\\ &=z_1^2-z_2^2-8z_3^2\\ \end{aligned} \]

注意：

• 使用配方法找到的变换矩阵 \(P\)，即通过拉格朗日配方法或类似的手段进行变量替换所得到的矩阵，一定是可逆的。 这是因为配方法本质上涉及的是线性替换，这些替换必须保证原二次型与新二次型之间存在一一对应的可逆关系
• 配方后得到的式子中没有的项也要通过乘以系数 \(0\) 的方式“凑”上去
• 从几何角度来看，配方法可能会拉伸原空间，所求出的系数并非特征值。例如，可能将正圆拉伸为椭圆

惯性定理

无论选取怎样的可逆线性变换，将二次型化为标准形或规范形，其正项个数 \(P\)，负项个数 \(q\) 都是不变的。

称 \(p\) 为正惯性系数，\(q\) 为负惯性系数，\(p+q=r(r为矩阵的秩)\)。

注意：只有实对称矩阵才有惯性定理。

正定二次型

\(n\) 元二次型 \(f(x_1,\cdots x_n)=x^TAx\)，若对于任意 \(x=(x_1,\cdots x_n)^T\ne 0\)，均有 \(x^TAx>0\) 则称 \(f\) 为正定二次型，称 \(A\) 为正定矩阵。

充要条件

• 对任意 \(x\ne 0\)，有 \(x^TAx>0\)
• \(f\) 的正惯性指数 \(p=n\)
• 存在可逆矩阵 \(D\) 使 \(A=D^TD\)
• \(A\simeq E\)
• \(A\) 的特征值 \(\lambda>0\)
• \(A\) 的全部顺序主子式均大于 \(0\)

注意：以上条件需保证 \(A\) 为实对称阵。

必要条件

• \(|A|>0\)
• \(a_{ii}>0\)

顺序主子式

\[\begin{aligned} a_{11}&>0\\ \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{12} & a_{22} \end{matrix} \right|&>0\\ &\cdots\\ \left| \begin{matrix} a_{11} &\cdots& a_{1n}\\ \vdots &\ddots&\vdots\\ a_{1n} &\cdots& a_{nn} \end{matrix} \right|&>0\\ \end{aligned} \]