CF605E Intergalaxy Trips

首先每个点直接走到点 \(n\) 的期望天数是知道的，所以可以将点 \(n\) 加入忽略集合，然后在剩下点中走来走去。

对于当前期望天数最少的那个点 \(i\)，能走到点 \(n\) 就走，否则走自环。因为走到其它点最终也必须走到点 \(n\)，而它们的期望天数都大于点 \(i\)。将点 \(i\) 接入忽略集合。

同样地，我们接着找出通过点 \(i\) 间接走到或不通过点 \(i\) 直接走到点 \(n\) 期望天数最小的点加入忽略集合。

重复上述过程，即每次找出仅通过忽略集合中的点或走自环到达点 \(n\) 期望天数最小的点加入忽略集合，更新贡献。类似 Dijkstra，正确性来源于路径的确定性。

问题就是如何计算。考虑枚举每条边：

\[E(u)=1+\left(\sum_i^{E(i)<E(u)}E(i)\times p_{u,i}\times\prod_{j}^{E(j)<E(i)}1-p_{u,j}\right)+E(u)\times\prod_i^{E(i)<E(u)}1-p_{u,i} \]

\[E(u)\times\left(1-\prod_i^{E(i)<E(u)}1-p_{u,i}\right)=1+\left(\sum_i^{E(i)<E(u)}E(i)\times p_{u,i}\times\prod_{j}^{E(j)<E(i)}1-p_{u,j}\right) \]

\[E(u)=\large\frac{1+\sum\limits_i^{E(i)<E(u)}E(i)\times p_{u,i}\times\prod\limits_{j}^{E(j)<E(i)}1-p_{u,j}}{1-\prod\limits_i^{E(i)<E(u)}1-p_{u,i}} \]

分不走自环和走自环两种情况。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1005
#define Db double
#define For(i,x,y)for(i=x;i<=(y);i++)
bool vis[N];
Db p[N][N],now[N],e[N];
int read()
{
	int A;
	bool K;
	char C;
	C=A=K=0;
	while(C<'0'||C>'9')K|=C=='-',C=getchar();
	while(C>'/'&&C<':')A=(A<<3)+(A<<1)+(C^48),C=getchar();
	return(K?-A:A);
}
int main()
{
	int n,i,j,o;
	n=read();
	For(i,1,n)
	For(j,1,n)p[i][j]=Db(read())/100.0;
	vis[n]=1;
	For(i,1,n)now[i]=1.0-p[i][n];
	j=n;
	For(o,1,n-1)
	{
		j=1;
		For(i,2,n)
		if(!vis[i]&&(e[i]+1.0)/(1.0-now[i])<(e[j]+1.0)/(1.0-now[j]))j=i;
		vis[j]=1;
		e[j]=(1.0+e[j])/(1.0-now[j]);
		For(i,1,n)
		if(!vis[i])e[i]+=e[j]*p[i][j]*now[i];
		if(j==1)cout<<fixed<<setprecision(7)<<e[1],exit(0);
		For(i,1,n)
		if(!vis[i])now[i]*=1.0-p[i][j];
	}
	cout<<fixed<<setprecision(7)<<e[1];
	return 0;
}