带权并查集做题记录

P5092 [USACO04OPEN]Cube Stacking

对于一个立方柱，令其最上面的方块为根，其余方块在树内。

考虑维护每个方块 \(i\) 上面（不包括自身）和下面（包括自身）的方块数量 \(suf_i\) 和 \(pre_i\)。

对于将 \(x\) 立方柱移动到 \(y\) 立方柱上面的操作：

• \(fa_y=fa_x\)。
• \(suf_y=pre_x\)。
• \(pre_x\gets pre_x+pre_y\)。

进行完 \(x,y\) 的更新后，我们发现其余在树中的结点存储的信息一定是错误的。具体地，在 \(x,y\) 之间的方块的 \(pre\) 是错误的，在 \(y\) 下面的方块的 \(suf\) 是错误的。

而暴力更新复杂度会伪，不要想到启发式合并那一块儿去。

那就修改定义，\(suf_x\) 表示 \(fa_x\) 与 \(x\) 中间这一段的方块数量（包含 \(fa_x\)）。

这样的更新就是正确的，但是如何得到原定义的结果呢？

观察一下我们的路径压缩，任意结点只要查找一次就会挂在根下面，而此时 \(suf\) 就等于原定义的结果。

首先递归更新父亲，这样能保证传下来的信息正确。

然后更新 \(x\) 自身：

• \(suf_x\gets suf_x+suf_{fa_x}\)。
• \(fa_x=find(fa_x)\)。

但 \(pre\) 还是没法搞，一种方法就是反过来以最底下的方块作为根建立一个带权并查集，不过也可以不这么做。

注意到最顶上的方块的 \(pre\) 是一定正确的，也就是立方柱中方块总个数知道。

于是 \(x\) 方块下面的方块数量可以转化成 \(pre_{find(x)}-suf_x\)。

P2024 [NOI2001] 食物链

因为是个环，所以不妨用 \(type_i\) 表示动物 \(i\) 对于动物 \(fa_i\) 的相对关系。具体地，可以令 \(0\) 表示同类，\(1\) 表示吃，\(2\) 表示被吃。

更新的时候，直接相加模 \(3\)，判关系的时候减一减就好了。

注意 \(fa\) 可能不存在。

因为对根没有特定要求，所以可以路径压缩。