【BZOJ1009】GT考试(HNOI2008)-DP矩阵优化+KMP

测试地址:GT考试
做法:本题需要用到DP矩阵优化+KMP。
f(i,j)为到X串第i位为止,没有一次完整出现整个A串,而末尾匹配到A串第j位的X串的数目。那么怎么考虑状态转移呢?注意到,第i+1位可能为0~9任何一个数字,那么当j或这个数字不同时,到第i+1位时匹配到的点也是不同的。也就是说,从f(i,j)可以转移到若干个f(i+1,x),那么我们要怎么求这个x呢?对于每个可能插入在末尾的数字,寻找以下字符串的最长后缀:A串的前j位+新加入的数字组成的字符串,使得这个后缀同时是A串的前缀,那么这个后缀的长度就是新的匹配点的位置,那么执行f(i+1,x)+=f(i,j)。特别地,j=m的转移不予考虑(因为已经出现了一次A串)。注意到这个过程和KMP算法非常相似,甚至完全一样,所以我们可以用KMP来优化这个过程。
注意到上述的方法是O(nm)的,不可接受。注意到,因为A串是固定的,所以每次转移其实都是在一个确定好的状态转移图上进行,那么我们可以把这个图转化成矩阵的形式,其中矩阵的第i行第j列表示能从f(x,j1)转移到f(x+1,i1)的数字个数,然后我们把所有f(i,j)排成一些列向量,设Fi=(f(i,0) f(i,1) ... f(i,m))T,显然Fi=AFi1,于是Fn=AnF0,于是我们用矩阵快速幂算出An,然后右乘F0=(1 0 0 ... 0)T,即可求出Fn,显然我们要求的答案=m1i=0f(n,i),于是把Fn的前m个数加起来即可。上述所有运算都是在模K意义下进行,总的时间复杂度为O(m3logn)
以下是本人代码:

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,m,K,fail[30];
char s[30];
struct matrix {int s[25][25];} E,N,M[35];

void init()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
    s[0]='#';
    scanf("%s",s+1);
}

void kmp()
{
    fail[0]=-1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=fail[i-1];
        while(x!=-1&&s[x+1]!=s[i]) x=fail[x];
        if (s[x+1]!=s[i]) fail[i]=0;
        else fail[i]=x+1;
    }
}

matrix mult(matrix A,matrix B)
{
    matrix S=N;
    for(int i=0;i<=m;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
            for(int k=0;k<=m;k++)
                S.s[i][j]=(S.s[i][j]+A.s[i][k]*B.s[k][j])%K;
    return S;
}

matrix power(int x)
{
    matrix S=E;
    int i=0;
    while(x)
    {
        if (x&1) S=mult(S,M[i]);
        x>>=1,i++;
    }
    return S;
}

void build()
{
    for(int i=0;i<=m;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
            N.s[i][j]=0;
    M[0]=E=N;
    for(int i=0;i<=m;i++) E.s[i][i]=1;
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<=9;j++)
        {
            char c=j+'0';
            int x=i;
            while(x!=-1&&s[x+1]!=c) x=fail[x];
            if (s[x+1]!=c) M[0].s[0][i]=(M[0].s[0][i]+1)%K;
            else M[0].s[x+1][i]=(M[0].s[x+1][i]+1)%K;
        }
    for(int i=1;i<=32;i++) M[i]=mult(M[i-1],M[i-1]);
}

void solve()
{
    matrix S=power(n);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<m;i++) ans=(ans+S.s[i][0])%K;
    printf("%d",ans);
}

int main()
{
    init();
    kmp();
    build();
    solve();

    return 0;
}
posted @ 2017-12-01 20:34  Maxwei_wzj  阅读(134)  评论(0编辑  收藏  举报