【BZOJ1951】古代猪文(SDOI2010)-数论大集合

测试地址:古代猪文
做法:本题需要用到的数论知识有:费马小定理,枚举约数,中国剩余定理/合并模线性方程,扩展欧几里得,Lucas定理。可以说是一道很复杂的数论题了。
注意到题目要求的式子是:

Gk|nCnn/kmodp

注意到p=999911659是一个质数,所以根据费马小定理,答案等同于:
Gk|nCnn/kmod(p1)modp

所以我们只需计算里面那个和式,然后快速幂算出最后的答案即可。枚举约数kO(n)的,而计算组合数的话,首先要注意p1不是质数,它质因数分解的结果为2×3×4679×35617,我们没有办法,只能分别求出结果对这四个质数取模的取值,然后用中国剩余定理或者合并模线性方程来算出最后的答案,这里我用的是合并模线性方程的做法,即如有两个同余方程:Mr1(moda1)Mr2(moda2),那么它们合并之后的结果为:Mr1+a1x0(moda1a2gcd(a1,a2)),其中x0为方程a1x1a2x2=r2r1的一个解,可以用扩展欧几里得算法求出。
而求组合数对一个质数取模的结果可以用Lucas定理来解决,即Cnm%p=Cn/pm/pCn%pm%p%p。这样我们就解决了这道题,时间复杂度为O(nlogn)
还有一点要注意,有一个点是G=p的,而若是你算出来的幂数模p1的结果是0,那么你会输出1,而正确答案是0,要特判一下。
我傻逼的地方:一大堆公式记错,例如线性求逆元的状态转移方程是inv(i)=(pp/i)×inv(p%i)%p,以及合并模线性方程的公式也记错了……看来以后要经常背……
以下是本人代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int p;
ll n,g,mod[10]={999911659,2,3,4679,35617};
ll fac[40010],inv[40010],fi[40010],ans=0,tot,lasta=1,x;

ll C(ll n,ll m)
{
    if (n<m) return 0;
    if (n>=mod[p]||m>=mod[p])
        return C(n/mod[p],m/mod[p])*C(n%mod[p],m%mod[p])%mod[p];
    return fac[n]*fi[m]%mod[p]*fi[n-m]%mod[p];
}

ll power(ll a,ll b)
{
    ll s=1,ss=a;
    while(b)
    {
        if (b&1) s=(s*ss)%mod[0];
        ss=(ss*ss)%mod[0];b>>=1;
    }
    return s;
}

ll exgcd(ll a,ll b)
{
    ll x0=1,y0=0,x1=0,y1=1;
    while(b)
    {
        ll tmp,q;
        q=a/b;
        tmp=x0,x0=x1,x1=tmp-q*x1;
        tmp=y0,y0=y1,y1=tmp-q*y1;
        tmp=a,a=b,b=tmp%b;
    }
    return x0;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&g);

    for(p=1;p<=4;p++)
    {
        fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=fi[0]=fi[1]=1;
        for(ll i=2;i<=mod[p];i++)
        {
            fac[i]=fac[i-1]*i%mod[p];
            inv[i]=(mod[p]-mod[p]/i)*inv[mod[p]%i]%mod[p];
            fi[i]=fi[i-1]*inv[i]%mod[p];
        }
        tot=0;
        for(ll i=1;i*i<=n;i++)
            if (n%i==0)
            {
                tot+=C(n,i);
                if (i*i!=n) tot+=C(n,n/i);
            }
        x=exgcd(lasta,mod[p]);
        x=(x*(tot-ans)%mod[p]+mod[p])%mod[p];
        ans=(ans+x*lasta)%(lasta*mod[p]);
        lasta*=mod[p];
    }
    ans=power(g,ans);
    if (g==mod[0]) printf("0");
    else printf("%lld",ans);

    return 0;
}
posted @ 2018-04-19 11:23  Maxwei_wzj  阅读(86)  评论(0编辑  收藏  举报