【BZOJ2299】向量（HAOI2011）-裴蜀定理

测试地址：向量
做法：本题需要用到裴蜀定理。
注意到题目中给的8$8$个向量，实际上只有4$4$对，每对互为相反向量，那么有：
A(a,b)+B(b,a)+C(−a,b)+D(−b,a)=(x,y)$A(a,b)+B(b,a)+C(-a,b)+D(-b,a)=(x,y)$
这个方程当且仅当有一组A,B,C,D$A,B,C,D$均为整数的解时成立。
把横纵坐标拆开，得到由下面两个方程得到的方程组：
Aa+Bb−Ca−Db=x$Aa+Bb-Ca-Db=x$
Ab+Ba+Cb+Da=y$Ab+Ba+Cb+Da=y$
尝试消去A$A$，得到一个方程：
(b2−a2)B−2abC−(a2+b2)D=bx−ay$(b^2-a^2)B-2abC-(a^2+b^2)D=bx-ay$
根据裴蜀定理，该方程有一组整数解当且仅当gcd(a2−b2,a2+b2,2ab)|bx−ay$gcd(a^2-b^2,a^2+b^2,2ab)|bx-ay$。
用类似的思路消去B,C,D$B,C,D$，和上面一个方程合起来得到4$4$个方程，显然这4$4$个方程组成的方程组和原方程组等价，那么新方程组有整数解的条件也就是原方程组有整数解的条件，于是我们就得到了4$4$个条件，当且仅当这四个条件都满足时原方程组有整数解，否则就没有整数解。
（据说这题提高难度……不会做的我是不是废了T_T）
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T;
ll a,b,x,y;

ll gcd(ll a,ll b)
{
    if (a<0) a=-a;
    if (b<0) b=-b;
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&x,&y);
        ll d=gcd(gcd(a*a-b*b,a*a+b*b),2*a*b);
        if (abs(a*x-b*y)%d!=0) {printf("N\n");continue;}
        if (abs(b*x-a*y)%d!=0) {printf("N\n");continue;}
        if (abs(a*x+b*y)%d!=0) {printf("N\n");continue;}
        if (abs(b*x+a*y)%d!=0) {printf("N\n");continue;}
        printf("Y\n");
    }

    return 0;
}