【BZOJ2820】YY的GCD-莫比乌斯反演+数论分块+分类讨论

测试地址:YY的GCD
题目大意:p=primei=1nj=1m[gcd(i,j)=p]T(104)组询问,n,m107
做法:本题需要用到莫比乌斯反演+数论分块+分类讨论。
首先按照套路推式子(不妨设nm):
ans=p=primei=1nj=1m[gcd(i,j)=p]
=p=primei=1n/pj=1m/p[gcd(i,j)=1]
=p=primei=1n/pj=1m/pd|i,d|jμ(d)
=p=primed=1n/pμ(d)npdmpd
k=pd,有:
ans=p=primep|kμ(kp)nkmk
互换p,k的位置,有:
ans=k=1nnkmkp=primeμ(kp)
这是一个数论分块的形式,如果我们能预处理出g(k)=p=primeμ(kp),我们就可以以O(Tn)的复杂度完成本题了。
直接枚举是O(nlogn)的,无法承受,而g显然并不是一个积性函数,这是不是就意味着我们无法用线性筛求了呢?不是的,只是我们需要进一步探求g的性质。
k=p0x,其中p0k的最小质因子,我们尝试用和x有关的式子O(1)算出g(k)
情况一:p0|x时,考虑在g(k)式子中枚举的p
p0=p时,显然μ(kp)=μ(x)
p0p时,kp包含因数p02,所以μ(kp)=0
综上所述,g(k)=μ(x)
情况二:p0x时,考虑在g(k)式子中枚举的p
p0=p时,显然μ(kp)=μ(x)
p0p时,因为p0是质数,且p0x,所以p0x互质,那么p0xp显然也互质。又因为μ是积性函数,所以μ(kp)=μ(p0)μ(xp)。将μ(p0)提出和式后,发现剩下的就是g(x)的表达式。
综上所述,g(k)=μ(x)g(x)
于是我们就可以用线性筛O(n)求出g了,这样我们就解决了这一题。
以下是本人代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,prime[10000010];
ll mxn=0,n[10010],m[10010];
ll mu[10000010],g[10000010];
bool vis[10000010]={0};

void calc(int n)
{
    mu[1]=1,g[1]=0;
    prime[0]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!vis[i])
        {
            prime[++prime[0]]=i;
            mu[i]=-1;
            g[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                g[i*prime[j]]=mu[i];
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            g[i*prime[j]]=mu[i]-g[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        g[i]+=g[i-1];
}

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
        scanf("%lld%lld",&n[i],&m[i]); 
        if (n[i]>m[i]) swap(n[i],m[i]);
        mxn=max(mxn,n[i]);
    }

    calc(mxn);

    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
        ll ans=0;
        for(ll j=n[i];j;j=max(n[i]/(n[i]/j+1),m[i]/(m[i]/j+1)))
        {
            ll l=max(n[i]/(n[i]/j+1),m[i]/(m[i]/j+1)),r=j;
            ans+=(n[i]/j)*(m[i]/j)*(g[r]-g[l]);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }

    return 0;
}
posted @ 2018-06-17 12:27  Maxwei_wzj  阅读(100)  评论(0编辑  收藏  举报