【POJ2954】Triangle-Pick定理

测试地址:Triangle
题目大意:求处在一个三顶点都在整点上的三角形严格内部的整点数目。
做法:本题需要用到Pick定理。
Pick定理是一个很有趣的定理,对于任意一个顶点都在整点上的简单多边形,都有:
S为多边形面积,P为多边形严格内部的整点数目,P为多边形边上的整点数目,那么S=P+P21
这个定理的证明就不详细写了,主要思路是:
1.证明任意边平行于坐标轴的矩形满足定理。
2.证明任意直角边平行于坐标轴的直角三角形满足定理(将一个1中的矩形拆开)。
3.证明任意三角形满足定理(任意三角形可以由3个以内的2中的直角三角形拼出)。
4.证明任意简单多边形满足定理(可以用数学归纳法,先证明一个简单多边形加上一个三角形满足定理,而任意简单多边形都有一个三角剖分)。
于是回到这题,我们有:
P=SP2+1
S直接叉积算即可,主要是P。对于两个整点,令它们x坐标的差距为Δxy坐标的差距为Δy,分类讨论:
ΔxΔy其中之一为0,那么它们之间线段(不包括顶点)上的点数是它们之中不为0的那一个1
否则,它们之间线段(不包括顶点)上的点数为gcd(Δx,Δy)1
这样我们就解决了这一题。
以下是本人代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a,b,c,d,e,f;

int multi(int a,int b,int c,int d,int e,int f)
{
    int x1=c-a,y1=d-b,x2=e-a,y2=f-b;
    return x1*y2-x2*y1;
}

int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

int dis(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    if (x1==x2) return abs(y1-y2)-1;
    if (y1==y2) return abs(x1-x2)-1;
    return gcd(abs(x1-x2),abs(y1-y2))-1;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&e,&f))
    {
        if (a==0&&b==0&&c==0&&d==0&&e==0&&f==0) break;
        int S=abs(multi(a,b,c,d,e,f)),D=3;
        D+=dis(a,b,c,d);
        D+=dis(a,b,e,f);
        D+=dis(c,d,e,f);
        printf("%d\n",((S-D)>>1)+1); 
    }

    return 0;
}
posted @ 2018-07-06 10:17  Maxwei_wzj  阅读(95)  评论(0编辑  收藏  举报