【LuoguP4233】射命丸文的笔记-多项式求逆

测试地址：射命丸文的笔记
做法：本题需要用到多项式求逆。
首先，要求存在哈密顿回路的竞赛图的哈密顿回路期望数量，就是用哈密顿回路的总数除以存在哈密顿回路的竞赛图数量。
要考虑所有竞赛图的哈密顿回路数量之和，反过来考虑对于所有哈密顿回路，出现某回路的图的数量之和。显然对于一个回路，包含它的竞赛图数量是2n(n−3)2$2^{\frac{n(n-3)}{2}}$，而一个哈密顿回路实际上就是一个1$1$~n$n$的圆排列，共有n!n=(n−1)!$\frac{n!}{n}=(n-1)!$种，于是我们就得到了答案：(n−1)!⋅2n(n−3)2$(n-1)!\cdot 2^{\frac{n(n-3)}{2}}$。
那么接下来就是求存在哈密顿回路的竞赛图数量了。令f(n)$f(n)$为n$n$个点的合法竞赛图数量，再令g(n)$g(n)$为n$n$个点的竞赛图数量，显然g(n)=2C2n$g(n)=2^{C_n^2}$。我们知道，一个竞赛图存在哈密顿回路当且仅当该竞赛图强连通，因此合法竞赛图的数量就是强连通的竞赛图的数量。因此我们得到下面的式子：
g(n)=∑ni=1Cinf(i)g(n−i)$g(n)=\sum _{i=1}^n{C}_n^{i}f(i)g(n-i)$
上面式子的含义，可以看做我们在枚举拓扑序最小的强连通分量，该强连通分量内所有的点向所有其他点连边，这样就可以不重不漏地统计竞赛图了。
将组合数拆开，化成下面的形式：
g(n)n!=∑ni=1f(i)i!⋅g(n−i)(n−i)!$\frac{g(n)}{n!}=\sum _{i=1}^n\frac{f(i)}{i!}\cdot \frac{g(n-i)}{(n-i)!}$
令F(x)$F(x)$为f(i)i!$\frac{f(i)}{i!}$的生成函数，G(x)$G(x)$为g(i)i!$\frac{g(i)}{i!}$的生成函数，则有：
G(x)=F(x)G(x)+1$G(x)=F(x)G(x)+1$
所以：
F(x)=G(x)−1G(x)$F(x)=\frac{G(x)-1}{G(x)}$
用多项式求逆即可在O(nlogn)$O(n\log n)$的时间复杂度内解决问题。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const ll G=3;
int n,rev[400010];
ll fac[100010],g[400010],s[400010]={0},p[400010]={0};

ll power(ll a,ll b)
{
    ll s=1,ss=a;
    b=(b%(mod-1)+(mod-1))%(mod-1);
    while(b)
    {
        if (b&1) s=s*ss%mod;
        ss=ss*ss%mod;b>>=1;
    }
    return s;
}

void NTT(ll *a,int n,ll type)
{
    for(int i=0;i<=n;i++)
        if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)
    {
        ll W=power(G,type*(mod-1)/(mid<<1));
        for(int l=0;l<n;l+=(mid<<1))
        {
            ll w=1;
            for(int k=0;k<mid;k++,w=w*W%mod)
            {
                ll x=a[l+k],y=w*a[l+mid+k]%mod;
                a[l+k]=(x+y)%mod;
                a[l+mid+k]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if (type==-1)
    {
        ll inv=power(n,mod-2);
        for(int i=0;i<n;i++)
            a[i]=a[i]*inv%mod;
    }
}

int calc_rev(int limit)
{
    int x=1,bit=0;
    while(x<=limit) bit++,x<<=1;
    rev[0]=0;
    for(int i=1;i<x;i++)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
    return x;
}

void calc_inv(int len)
{
    if (len==1)
    {
        s[0]=power(g[0],mod-2);
        return;
    }
    calc_inv((len+1)>>1);

    int x=calc_rev(len<<1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        p[i]=g[i];
    for(int i=len;i<=x;i++)
        p[i]=0;
    NTT(p,x,1),NTT(s,x,1);
    for(int i=0;i<=x;i++)
        s[i]=((2ll*s[i]-p[i]*s[i]%mod*s[i])%mod+mod)%mod;
    NTT(s,x,-1);
    for(int i=len;i<=x;i++)
        s[i]=0;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    fac[0]=1;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;

    for(ll i=0;i<=n;i++)
        g[i]=power(2ll,i*(i-1ll)/2ll)*power(fac[i],mod-2)%mod;
    calc_inv(n+1);

    g[0]=0;
    int x=calc_rev(n<<1);
    NTT(g,x,1),NTT(s,x,1);
    for(int i=0;i<=x;i++)
        g[i]=g[i]*s[i]%mod;
    NTT(g,x,-1);
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        if (i<=2)
        {
            if (i==1) printf("1\n");
            else printf("-1\n");
        }
        else
        {
            g[i]=g[i]*fac[i]%mod;
            printf("%lld\n",fac[i-1]*power(2ll,i*(i-3ll)/2ll)%mod*power(g[i],mod-2)%mod); 
        }
    }

    return 0; 
}