【UOJ#282】长度测量鸡-数学证明

测试地址:长度测量鸡
做法:本题需要用到数学证明。
北大数院扛把子tlk大佬回母校(我校)讲课,给了这一道快乐题,比较有趣,写一下证明。
可以根据打表或者直觉得出一个结论:当n>3时一定无解。要证明这个看上去非常简单的结论,需要用到一些比较有趣的思路。
首先n=1时显然有解,n=2时将木条分为长为1,2的两段就可以,n=3时将木条分为长为1,3,2的三段就可以,这些都可以非常轻易地手算出来。然而要证明上面的结论,我们要先证明一个引理:
如果有解,那么解中各段的长度一定是1~n的一个排列。
容易想到,将木条划分成n段,可能可以量出n(n+1)2种长度,而总的长度数量就是n(n+1)2,因此各段的长度应该两两不同。各小段长度两两不同,并且使得总长度为n(n+1)2,那么各段的长度只可能是1~n的一个排列。
有了这个结论,我们就可以证明一开始的结论了。首先整段的长度n(n+1)2肯定可以量出,而要量出n(n+1)21,那么木条两端一定要有一个段长度为1。接着要量出n(n+1)22,因为上面的引理,不能两端都有长度为1的段,因此只能在另一端分出一个长度为2的段。接着,n(n+1)23就显然可以量出了(一端减去1,另一端减去2)。而对于n(n+1)24,因为不能同时有两个长为2的段,所以只能在划分了1的那一端再划分出一个长为3的段。接下来是n(n+1)25,我们发现我们不能再划分长为1~3的段了,因此我们发现我们没有办法构造出n(n+1)25这个长度。所以当n>3时无解。
因此用非常简洁的代码就可以解决这个问题了。
以下是本人代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n;

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        if (n<=3) printf("1\n");
        else printf("-1\n");
    }
    return 0;
}
posted @ 2018-09-01 18:43  Maxwei_wzj  阅读(131)  评论(0编辑  收藏  举报