【BZOJ3727】Zadanie(PA2014 Final)-思维

测试地址:Zadanie
题目大意: 一棵树,第ii个点有aia_i个人,现在求出了bib_i,为所有人走到点ii的总路程,要求还原aia_i
做法: 本题需要用到思维。
在我们求bib_i的时候,我们可以使用换根法,那么我们能不能用换根法,找到a,ba,b之间的关系呢?
在换根法中,先随便选一个点作为根(这个根不是指换根法中的根,而是为了算法方便而求出的根),把根从点ii换到父亲点jjbb会增加sumi(totalsumi)=2sumitotalsum_i-(total-sum_i)=2sum_i-total,其中sumisum_i为以ii为根的子树内所有点的aia_i之和,totaltotal为所有点的aia_i之和。因此得到等式bjbi=2sumitotalb_j-b_i=2sum_i-total
这样类推下去,我们可以得到n1n-1个等式。但之中有nn个未知数,所以我们还需要找到一个条件。我们注意到上面的等式中bb都是差的形式,如果我们再多用一个点的bb来连接和所有未知数之间的关系,应该就可以解了,这个点就是算法的根rootroot
我们发现,brootb_{root}就等于irootsumi\sum_{i\ne root}sum_i。这可以通过一个简单的贡献变换得出。这样一来我们就有了nn个等式,意味着这个方程组可以解了。
怎么解呢?首先当然是算出totaltotal。一开始的n1n-1个等式都可以化成下面的形式:sumi=total+bf(i)bi2sum_i=\frac{total+b_{f(i)}-b_i}{2}(其中f(i)f(i)表示ii的父亲),于是有:
2irootsumi=(n1)total+iroot(bf(i)bi)2\sum_{i\ne root}sum_i=(n-1)total+\sum_{i\ne root}(b_{f(i)}-b_i)
又因为irootsumi=broot\sum_{i\ne root}sum_i=b_{root},所以totaltotal为:
total=2broot+iroot(bibf(i))n1total=\frac{2b_{root}+\sum_{i\ne root}(b_i-b_{f(i)})}{n-1}
这就可以很轻松地算出来了。进一步地,有了totaltotal后就可以通过前n1n-1个等式逐一算出每个点的sumsum了,实际上totaltotal就是根的sumsum。而从子树和sumsum恢复aa也非常容易了,对于每个点ii,对sumisum_i减去它所有儿子的sumsum即可得到aia_i。这样我们就解决了这一题,时间复杂度为O(n)O(n)
以下是本人代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,first[300010]={0},tot=0,fa[300010]={0};
ll a[300010],b[300010],total;
struct edge
{
	int v,next;
}e[600010];

void insert(int a,int b)
{
	e[++tot].v=b;
	e[tot].next=first[a];
	first[a]=tot;
}

void solve(int v)
{
	total+=b[v]-b[fa[v]];
	for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
		if (e[i].v!=fa[v])
		{
			fa[e[i].v]=v;
			solve(e[i].v);
		}
}

void finalsolve(int v)
{
	for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
		if (e[i].v!=fa[v])
		{
			a[v]-=a[e[i].v];
			finalsolve(e[i].v);
		}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		insert(u,v),insert(v,u);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&b[i]);
	
	total=b[1];
	solve(1);
	total/=(ll)(n-1);
	a[1]=total;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		a[i]=(total-b[i]+b[fa[i]])>>1;
	finalsolve(1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%lld ",a[i]);
	
	return 0;
}
posted @ 2018-09-28 22:16  Maxwei_wzj  阅读(362)  评论(0编辑  收藏  举报