【HDU4507】Seven-数位DP

测试地址:Seven
做法: 本题需要用到数位DP。
是的,我看这题题目名字实在太长,就自己给取了个名字…首先看它给的条件,如果只求数字个数的话,非常明显是数位DP的形式,只需要设num(i,j,k)num(i,j,k)为前ii位中,不卡上界的,数位和对77的余数为jj,数对77的余数为kk的数字的个数,很容易就能转移。而要求数字的和较难一点,但我们也能较快地想出转移。而现在要求数字的平方和,这就有点复杂了。
然而实际上也不很复杂,你只需要一个结论:一些数的平方和,等于这些数和的平方,减去这些数两两间的乘积之和乘22。这个结论也很容易理解,因为(ai)2=(aiaj)=ai2+ijaiaj(\sum a_i)^2=\sum (a_i\sum a_j)=\sum a_i^2+\sum_{i\ne j} a_i\cdot a_j,移项即可得到上面的结论。这样一来,我们需要求f(i,j,k)f(i,j,k),表示满足对应条件(和上面状态定义一样,就不重复写了)的数的和,还有g(i,j,k)g(i,j,k),表示满足对应条件的数两两之间乘积的和。
我们发现所有转移都可以转化为以下问题:我们有两个集合,分别求出了对应的f,gf,gnumnum,它们合并之后的f,gf,gnumnum怎么求?这个比较好推,就自己推一下就行了,实在不懂就看我代码。还有一个问题是,我们有一个集合,求出了对应的f,gf,gnumnum,那么在这些集合的数之后添加一位数xx后,集合的f,gf,gnumnum怎么变化?这个就稍微复杂一些,以三个数的集合S={a,b,c}S=\{a,b,c\}为例,令新加的位为xx,则:
(10a+x)+(10b+x)+(10c+x)=10(a+b+c)+3x(10a+x)+(10b+x)+(10c+x)=10(a+b+c)+3x
(10a+x)(10b+x)+(10b+x)(10c+x)+(10a+x)(10c+x)=100(ab+bc+ac)+20(a+b+c)x+3x2(10a+x)(10b+x)+(10b+x)(10c+x)+(10a+x)(10c+x)=100(ab+bc+ac)+20(a+b+c)x+3x^2
根据这两个式子我们可以找到规律,首先numnum不变,ff就等于原来的ff1010加上xxnumnum,而gg等于原来的gg100100,加上10(num1)10(num-1)\cdot原来的ff,最后加上num(num1)2x2\frac{num(num-1)}{2}\cdot x^2
有了这些东西,就可以解决转移的问题了,像模板数位DP一样做就行了。
以下是本人代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
const ll inv2=500000004;
int T,n;
ll s[25],num[25][7][7],f[25][7][7],g[25][7][7];

void update(int dgt,int j,int k,ll nowf,ll nowg,ll nownum)
{
	g[dgt][j][k]=(g[dgt][j][k]+nowg+nowf*f[dgt][j][k])%mod;
	f[dgt][j][k]=(f[dgt][j][k]+nowf)%mod;
	num[dgt][j][k]=(num[dgt][j][k]+nownum)%mod;
}

ll solve()
{
	int nowi=0,nowj=0,nowk=0;
	ll nowsum=0;
	memset(f[n+1],0,sizeof(f[n+1]));
	memset(g[n+1],0,sizeof(g[n+1]));
	memset(num[n+1],0,sizeof(num[n+1]));
	for(int dgt=n;dgt>=1;dgt--)
	{
		memset(f[dgt],0,sizeof(f[dgt]));
		memset(g[dgt],0,sizeof(g[dgt]));
		memset(num[dgt],0,sizeof(num[dgt]));
		for(int j=0;j<7;j++)
			for(int k=0;k<7;k++)
				for(int now=0;now<=9;now++)
				{
					if (now==7) continue;
					int newj=(j+now)%7,newk=(k*10ll+now)%7;
					ll nowf=(f[dgt+1][j][k]*10ll%mod+now*num[dgt+1][j][k]%mod)%mod;
					ll nowg=g[dgt+1][j][k]*100ll%mod;
					nowg=(nowg+f[dgt+1][j][k]*now%mod*10ll%mod*(num[dgt+1][j][k]-1ll+mod)%mod)%mod;
					nowg=(nowg+num[dgt+1][j][k]*(num[dgt+1][j][k]-1ll)%mod*inv2%mod*now*now%mod)%mod;
					ll nownum=num[dgt+1][j][k];
					update(dgt,newj,newk,nowf,nowg,nownum);
				}
		
		if (dgt<n&&(!nowi))
		{
			for(int now=0;now<s[dgt];now++)
			{
				if (now==7) continue;
				int newj=(nowj+now)%7,newk=(nowk*10ll+now)%7;
				update(dgt,newj,newk,(nowsum*10ll+now)%mod,0ll,1ll);
			}
		}
		nowi=(nowi||(s[dgt]==7));
		nowj=(nowj+s[dgt])%7;
		nowk=(nowk*10ll+s[dgt])%7;
		nowsum=(nowsum*10ll+s[dgt])%mod;
		
		for(int now=1;now<=((dgt==n)?(s[dgt]-1):9);now++)
		{
			if (now==7) continue;
			update(dgt,now%7,now%7,now,0ll,1ll);
		}
	}
	
	f[0][0][0]=g[0][0][0]=num[0][0][0]=0;
	for(int j=1;j<7;j++)
		for(int k=1;k<7;k++)
			update(0,0,0,f[1][j][k],g[1][j][k],num[1][j][k]);
	ll ans=((f[0][0][0]*f[0][0][0]%mod-g[0][0][0]*2ll)%mod+mod)%mod;
	if ((!nowi)&&nowj&&nowk) ans=(ans+nowsum*nowsum)%mod;
	return ans;
}

int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		ll ans=0,x;
		
		scanf("%lld",&x);
		x--;
		if (x)
		{
			n=0;
			while(x)
			{
				s[++n]=x%10;
				x/=10;
			}
			ans=(mod-solve())%mod;
		}
		
		scanf("%lld",&x);
		n=0;
		while(x)
		{
			s[++n]=x%10;
			x/=10;
		}
		ans=(ans+solve())%mod;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	
	return 0;
}
posted @ 2018-10-14 21:13  Maxwei_wzj  阅读(123)  评论(0编辑  收藏  举报