整体二分求一种 MST

问题

给定 \(n\) 点 \(m\) 边的无向图，边权形如二元组 \((x,y)\)。

一棵生成树的权值是它的边的 \(\max x+\max y\)。

求最小生成树。

离散化，\(x,y\) 范围 \(O(m)\)。

设 \(a_i\) 为 \(\max x\le i\) 时，\(\max y\) 的最小值。

显然 \(a\) 单调不升。考虑在 \(x\) 维上做整体二分。

整体二分

\(\mathrm{divide}(l,r,L,R)\)，处理 \(\max x\) 在 \([l,r]\) 中，\(a\) 值在 \([L,R]\) 中的情况。

类似决策单调性的分治，整出 \(a_{mid}\)，左半边 \(a\) 值 \(\ge a_{mid}\)，右半边 \(a\) 值 \(\le a_{mid}\)，对 \(a\) 值有个限制。

并查集维护连通情况，分治 \([l,r,L,R]\) 时，并查集内要已经有 \(x<l,y\le L\) 的边。

Part 1

枚举 \(x\) 在 \([l,mid]\) 内的边 \(u\lrarr v\)（按 \(y\) 从小到大枚举）。

• \(y\le L\)，并查集连 \(u,v\)。
• \(y>L\)，忽略。

Part 2

然后并查集有可能还没连通，需要加一些 \(y\) 更大的边。

枚举 \(y\) 在 \([L,R]\) 内的边 \(u\lrarr v\)（按 \(y\) 从小到大枚举）。

• \(x\le mid\)，并查集连 \(u,v\)，并查集连通整个图时，\(a_{mid}=y\)。
• \(x>mid\)，忽略。

边的处理

左边 \(L'=a_{mid},R'=R\)，右边 \(L'=L,R'=a_{mid}\)。

需要把 \(l\le x\le mid,y\le L'\) 的边存进并查集内，再递归右边。

撤销掉 Part 2 的边，递归右边 \(\mathrm{divide}(mid+1,r,L,a_{mid})\)。

需要把 \(x<l,L\le y\le L'\) 的边存进并查集内，再递归左边。

撤销掉 Part 1 的边，加入 \(x<l,L\le y\le a_{mid}\) 的边。

递归左边 \(\mathrm{divide}(l,mid-1,a_{mid},R)\)。

复杂度

需要可撤销并查集，时间复杂度 \(O(m\log^2 m)\)。

同时在撤销栈内的边是 \(O(m)\) 的，空间复杂度 \(O(m)\)。