2025春 记录

3.21 DP

CF2075F Beautiful Sequence Returns

给长为 \(n\) 的数组 \(a\)，求最长的子序列 \(b_{1\dots k}\)，满足：

• \(\forall i\in[2,k],\exist j<i,b_j<b_i\)

• \(\forall i\in[1,k-1],\exist j>i,b_i<b_j\)

\(1\le n\le 5\times 10^5\)，\(1\le a_i\le 10^6\)。

这个限制看似很魔幻实则非常鸡肋，实际上就是 \(b_1\) 是严格最小值，\(b_n\) 是严格最大值。

考虑枚举 \(b_1,b_n\) 在 \(a\) 中的位置，设为 \(i,j\)。

显然 \(a_i\) 为严格前缀最小值，\(a_j\) 为严格后缀最大值，否则肯定不优。

将每对 \((i,j)\) 视为二维平面上的点，考虑每个 \(a_k\) 对 \((i,j)\) 的贡献。

发现每个 \(k\) 的贡献是 \(i<k,a_i<a_k\) 的 \(i\) 和 \(k<j,a_k<a_j\) 的 \(j\)，是一个矩形。

于是就变成了矩形加全局 \(\max\)，扫描线即可。不合法情况一定不会被加到，可以忽略。

记得特判答案是 \(1\) 的情况。

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CF2068D Morse Code

参见 某场模拟赛T1

赛时的思路文件：

T1 终于有点思路了。

\(a<b,c<d,(b-a)(d-c)>0,ac+bd>ad+bc\)

则最后配对的 \(dep\) 不降，\(val\) 不升。

好像有点思路了，现在相当于 \(n\) 个 \(12\) 串表示深度，且不存在一个串为另一个串的前缀。

\(f_i\) 表示和为 \(i\) 的 \(12\) 串的个数，\(f_i=f_{i-1}+f_{i-2}\)

于是 \(dp_{i,j,p,q}\) 表示前 \(i\) 个数，到了和为 \(j\)，\(j\) 剩 \(p\) 个可用，\(j-1\) 剩 \(q\) 个可用（\(p,q\) 向 \(n\) 取 \(\min\)）

\(dp_{i-1,j,p,q+1}+{j\times a_i} \to dp_{i,j,p,q}\)

\(dp_{i,j,p,q} \to dp_{i,j+1,q,p+q}\)

\(j\) 大概是 \(O(\log V)\) 级别的（斐波那契数）。

\(O(n^3\log V)\)。

\(O(n^2\log V)\) 看起来很对，怎么优化？？？

注意到转移可变为

\(dp_{i-1,j,p,q+1} \to dp_{i,j,p,q}\)

\(dp_{i,j,p,q}+suf_{i+1} \to dp_{i,j+1,q,p+q}\)

然后 \((p,q)\to(q,p+q)\)，于是先枚举 \(q\) 再枚举 \(p\)

\(dp_{i-1,p,q+1} \to dp_{i,p,q}\)

\(dp_{i,p,q}+suf_{i+1} \to dp_{i,q,p+q}\)

\(j\) 维即可省去。

\(O(n^3)\)