题解：CF840E In a Trap

luogu

前言

做法和别的题解基本一样，提供一个去 \(\log\) 的方法。

解法

考虑根号算法，\(n<256^2\)，\(256\approx O(\sqrt n)\)。

将 \(path(x,y)\) 从下往上每 \(256\) 个分一块，这样块内 \(dis(i,y)\) 二进制前 \(8\) 位相同。

称 \(S(x)\) 表示从 \(x\) 开始往上 \(256\) 个点的集合。

预处理出 \(f_{x,i}=\max\limits_{y\in S(x)}\{a_y\oplus dis(x,y)\oplus (256i)\}\)，就能快速查询。\(\gdef\dfloor#1#2{\Big\lfloor\dfrac{#1}{#2}\Big\rfloor}\)

先处理 \(f_{x,i}\) 的前 \(8\) 位， \(\max\limits_{y\in S(x)}\{\dfloor{a_y}{256}\oplus i\}\)，需要 DS 维护。

• 维护方法

  dfs 的过程中，DS 动态维护 \(S(x)\) 中的点的 \(a\) 的前 \(8\) 位。

  称 \(p_x\) 为 \(x\) 的 \(256\) 级祖先（可能不存在）。

  dfs 进入 \(x\) 时，加入 \(\dfloor{a_x}{256}\)，若 \(p_x\) 存在则删除 \(\dfloor{a_{p_x}}{256}\)。

  dfs 退出 \(x\) 时，删除 \(\dfloor{a_x}{256}\)，若 \(p_x\) 存在则加入 \(\dfloor{a_{p_x}}{256}\)。

  这样 DS 里面肯定是 \(S(x)\) 中的点的 \(a\) 的前 \(8\) 位。

  发现加入删除总次数是 \(O(n)\) 的。

  然而查询次数是 \(O(n\sqrt n)\) 的。

  直接用 trie 总复杂度就 \(O(n\sqrt n\log n)\) 了。

  考虑根号平衡，修改 \(x\) 遍历 \(i=0\sim 255\)，将 \(x\oplus i\) 加入删除。

  需要支持 \(O(1)\) 加入删除 \(0\sim 255\) 的数，\(O(1)\) 查询最小值。

  注意到 \(256=4\times 64\)，用 \(4\) 个 unsigned long long 压位即可。

设 \(g_{x,i}=\max\limits_{y\in S(x),\lfloor{\frac{a_y}{256}}\rfloor=i}\{dis(x,y)\oplus (a_y\operatorname{bitand} 255)\}\)。

若 \(f_{x,i}\) 前 \(8\) 位为 \(v\)，那么后 \(8\) 位就是 \(g_{x,v\oplus i}\)。

时间复杂度 \(O(n\sqrt n+q\sqrt n)\)，空间复杂度 \(O(n\sqrt n)\)，unsigned short 卡空间。

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