这是一个点集拓扑的简单命题：设$D$是一个$n$维胞腔，$f$是定义在$\partial D$上，值域是$[0,1]$的连续函数，那么存在一个函数$F:\ D\longrightarrow [0,1]$使得$F$限制在$\partial D$上是$f$，并且在$\mathrm{Int} D$上恒正。
证明：由于$D$是一个$n$维胞腔，存在一个从闭球$\bar{\mathbb{B} }^n $到$D$的同胚映射$G$使得$G$把边界$\mathbb{S}^{n-1} $映到$\partial D$，考虑$g=f\circ\left. G\right|_{\mathbb{S}^{n-1} }$，那么$g$是球面$\mathbb{S}^{n-1} $上的一个连续映射，值域为$[0,1]$。考虑球上的调和方程$$\left\lbrace\begin{array}{ll}\Delta u=0,&x\in\mathbb{B}^n \\u(x)=g(x),&x\in\mathbb{S}^{n-1}\end{array}\right. $$其存在唯一的光滑解$u$，从而$u$必为连续函数，且有极值原理，$u$在$\mathbb{B}^n $内恒正，则$F=u\circ G^{-1} $即为所求。
