设$a^{T}x = b$是一个超平面，为什么$a$称之为其法向量？

作者：MathClown

📌 设\(a^{T}x = b\)是一个超平面，为什么\(a\)称之为其法向量？

🚩 证明:

设\(\Omega=\{x|a^{T}x=b\},\forall x_1, x_2 \in \Omega,\)满足

\[\begin{align} a^{T}x_1 = b \\ a^{T}x_2 = b \end{align} \]

由(2)-(1),可得
$$
a^{T}(x_2-x_1) = 0
$$
从而\(a\)与\(x_2-x_1\)相互垂直，再根据\(x_1,x_2\)的任意性，所以\(a\)是超平面的法向量.

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