已知函数\(f(x)=ax+{\ln}x+1\) \((a\in\mathbb{R})\).
\((1)\) 讨论函数\(f(x)\)的单调性;
\((2)\) 当\(a=1\)时,令函数\(g(x)=x\mathrm{e}^x-f(x)\)\((\)其中\(\mathrm{e}\)是自然对数的底数\()\),求\(g(x)\)的最小值.
解析:
\((1)\) 对\(f(x)\)求导可得$$
f'(x)=a+\dfrac{1}{x},x>0.$$
情形一 若\(a\geqslant 0\),则\(\forall x>0,f'(x)>0\),此时函数\(f(x)\)为单调递增函数.
情形二 若\(a<0\),则\(f(x)\)在\(\left(0,-\dfrac{1}{a}\right)\)单调递增,在\(\left[-\dfrac{1}{a},+\infty\right)\)单调递减.
\((2)\) 当\(a=1\),此时\(g(x)=x\mathrm{e}^x-x-{\ln}x-1\),此时$$
\forall x>0,g(x)=\mathrm{e}^{x+{\ln}x}-x-{\ln}x-1\geqslant x+{\ln}x+1-x-{\ln}x-1=0.$$
因此当\(x_0\)满足\(x_0+{\ln}x_0=0\)时,\(g(x)\)取得最小值\(g(x_0)=0\).以下证明\(x_0\)的存在性.记$$
h(x)=x+{\ln}x,x>0.$$显然\(h(x)\)单调递增,且$$
\begin{cases}
& \exists x_1=\dfrac{1}{\mathrm{e}},h(x_1)<0,\
& \exists x_2=1,h(x_2)>0.
\end{cases}
\[ 因此对于函数$h(x)$必然存在$x_0\in\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}},1\right)$使得$h(x_0)=0$.\]
