在平面四边形 \(ABCD\) 中,已知 \(\triangle ABC\) 的面积是 \(\triangle ACD\) 的面积的 \(3\) 倍,若存在正实数 \(x,y\),使得 \(\overrightarrow{AC}=\left(\dfrac{1}{x}-3\right)\overrightarrow{AB}+\left(1-\dfrac{1}{y}\right)\overrightarrow{AD}\) 成立,则\(x+y\)的最小值为\(\underline{\qquad\qquad}\).
解析:
如图,连接\(BD\)交\(AC\)于点\(G\),分别过\(B,D\)作\(AC\)的垂线,
垂足分别为$F,E$.由题易知$BF:DE=3:1$,从而$BG:DG=3:1$,所以$$ \overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}.$$又因为$\overrightarrow{AC}$向量与$\overrightarrow{AG}$向量同向,因此$$ \left(\dfrac{1}{x}-3\right):\left(1-\dfrac{1}{y}\right)=1:3,$$即有$$ \dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{y}=10,x,y>0. $$ 从而$$10=\dfrac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{x}+\dfrac{1}{y}\geqslant \dfrac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{x+y}.$$ 所以$x+y\geqslant \dfrac{\sqrt{3}+2}{5}$.等号当且仅当$$ (x,y)=\left(\dfrac{3+\sqrt{3}}{10},\dfrac{\sqrt{3}+1}{10}\right)$$时取得,因此,所求表达式的最小值为$\dfrac{\sqrt{3}+2}{5}$.