三等分角、化圆为方、倍立方体

为什么尺规不能三等分一个任意角？

通过群论去理解这三大数学难题

域的扩张：

可以验证，所有形如\(a+b\sqrt{2}\)的数构成了一个新的域。这个域是包含\(\mathbb{Q}\)和\(\sqrt{2}\)的最小的域，我们记作\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)
从\(\mathbb{Q}\)到\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)称为域的扩张，且此时为单扩张
\(\mathbb{Q}\)是一维的，\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)是二维的，\(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\)是四维的
维数的关系: \([B:A][C:B]=[C:A]\)
对于单扩张来说，扩张的维数等于新加入的数的次数。

解答

三等分角

我们所有能构作出的数在\(\mathbb{Q}\)上的次数一定是2的幂
绝大部分三等分角的角度的次数是3，不是2的幂

化圆为方

即作出\(\sqrt{\pi}\),而\(\pi\)（和\(\sqrt{\pi}\)）甚至都不是\(\mathbb{Q}\)上任何多项式的根，所以『化圆为方』是无解的。

倍立方体

即作出\(\sqrt[3]{2}\)，次数为3也不是2的幂