ARC120F2 Wine Thief 线性做法

由于我比较菜，会把式子写的比较仔细。
伟大的 alpha1022 指出如下事实，即
我们无非是要计算

\[\begin{aligned} &\quad\; \sum_{i=1}^N A_i \sum_{j=1}^K \binom{i-1-(j-1)(D-1)}{j-1} \binom{N-i-(K-j)(D-1)}{K-j} \\ &= \sum_{i=1}^N A_i \sum_{j=1}^K \left([x^{i-1}] \frac{x^{(j-1)D}}{(1-x)^j}\right) \left([x^{N-i}] \frac{x^{(K-j)D}}{(1-x)^{K-j+1}}\right) \end{aligned} \]

不妨设置哑元 \(t\)，令 \(t^i\) 代替 \(A_i\)，则我们只需要计算

\[\begin{aligned} &\quad\; \sum_{i=1}^N t^i \sum_{j=1}^K \left([x^{i-1}] \frac{x^{(j-1)D}}{(1-x)^j}\right) \left([x^{N-i}] \frac{x^{(K-j)D}}{(1-x)^{K-j+1}}\right) \\ &= t \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^K \left([x^{i-1}] \frac{(xt)^{(j-1)D}}{(1-xt)^j}\right) \left([x^{N-i}] \frac{x^{(K-j)D}}{(1-x)^{K-j+1}}\right) \\ &= t \sum_{j=1}^K \sum_{i=0}^{N-1} \left([x^i] \frac{(xt)^{(j-1)D}}{(1-xt)^j}\right) \left([x^{N-1-i}] \frac{x^{(K-j)D}}{(1-x)^{K-j+1}}\right) \\ &= [x^{N-1}] t \sum_{j=1}^K \frac{(xt)^{(j-1)D}}{(1-xt)^j}\frac{x^{(K-j)D}}{(1-x)^{K-j+1}} \\ &= [x^{N-1}] \frac{tx^{(K-1)D}}{(1-xt)(1-x)^K} \sum_{j=0}^{K-1} \frac{t^{jD}(1-x)^j}{(1-xt)^j} \\ &= [x^{N-1-(K-1)D}] \frac t{(1-xt)(1-x)^K} \frac{1-t^{KD}(1-x)^K(1-xt)^{-K}}{1-t^D(1-x)(1-xt)^{-1}} \\ &= [x^{N-1-(K-1)D}] \frac t{(1-t^D)(1-x)^K} \frac{1-t^{KD}(1-x)^K(1-xt)^{-K}}{1-x\frac{t-t^D}{1-t^D}} \\ &= [x^{N-1-(K-1)D}] \frac t{1-t^D}\left(\frac1{(1-x)^K\left(1-x\frac{t-t^D}{1-t^D}\right)} - \frac{t^{KD}}{(1-xt)^K\left(1-x\frac{t-t^D}{1-t^D}\right)}\right) \\ \end{aligned} \]

\(t^{KD}\) 所在一项是没有贡献的，只要注意到每个 \(x\) 至少绑定一个 \(t\)。
所以无非就是

\[[x^{N-1-(K-1)D}] \frac t{1-t^D}\frac1{(1-x)^K\left(1-x\frac{t-t^D}{1-t^D}\right)} \]

那么我们主要需要解决给定一个稀疏分式 \(u(t)\)，求解

\[[x^n] \frac1{(1-x)^k(1-xu)} = \sum_{j=0}^n \binom{n-j+k-1}{k-1} u^j \]

这自然关于 \(u\) D-Finite，因此也关于 \(t\) D-Finite，故可以做到 \(O(N)\)。

伟大的 alpha1022 在这里停止了祂的教诲。现在让我试着冒充一下伟大的先知。

设其为 \(F(t)=G(u)\) ，先求其满足的微分方程。首先，我们有

\[(n+k-j) \binom{n-j+k-1}{k-1} = (n-(j-1)) \binom{n-(j-1)+k-1}{k-1} \]

这个式子有一点小 BUG，但我们先不管他，最后再来处理。
写成微分方程，并补上 \(j=0\) 就是

\[(n+k)G-uG'=u(nG-uG')+(n+k)\binom{n+k-1}{k-1} \]

\[(n+k-un)G-u(1-u)G'=(n+k)\binom{n+k-1}{k-1} \]

然后我们代入 \(u=\frac{t-t^D}{1-t^D}\)，结合 \(G'(u)=(G(u))'/u'\)，有这样依托构思

\[(1-Dt^{D-1}+(D-1)t^D)((1-t^D)(n+k)-(t-t^D))F(t)+(t-t^D)(t-1)F'(t) = (n+k)\binom{n+k-1}{k-1}(1-Dt^{D-1}+(D-1)t^D)(1-t^D) \]

好可怕。但是我们没必要这样做。
伟大的 alpha1022 悄悄指出，可以直接同时维护 \(uG\) 和 \(u(1-u)G'/u'\)。设 \(A(t) = uG(u), B(t) = \frac {u(1-u)}{u'}G'(u)\)，有

\[(1-t^D)A(t) = (t - t^D)F(t) \]

提取系数就是：

\[A_i - A_{i-D} = F_{i-1}-F_{i-D} \]

类似地：

\[B(t)=\frac{t(1-t^{D-1})(t-1)}{1-t^{D-1}+(D-1)t^D}F'(t) \]

\[(1-t^{D-1}+(D-1)t^D)B(t) = t(1-t^{D-1})(1-t)F'(t) \]

\[(1-t^{D-1}+(D-1)t^D)B(t) = (t^D-t^{D-1}-t+1)tF'(t) \]

提取系数就是：

\[B_i-DB_{i-D+1}+(D-1)B_{i-D}=(i-D)F_{i-D}-(i-D+1)F_{i-D+1}-(i-1)F_{i-1}+iF_i \]

注意到这里是有一个 \(F_i\) 的，但是无伤大雅，处理的时候注意一下就好了。具体地，在转移的时候先把其他项做了，这一项在转移到 \(F\) 的时候可以移到左边去，再把系数除过来，类似期望 DP 的套路。

这题本来应该是做完了。但是还有一点小问题。在写出微分方程的时候我们没有关心 \(j=n+k\) 的情况。当然，写成微分方程本身就是可能丢失一些信息的，我们可以直接用第一行的式子求出这个单项。这样，问题就圆满解决了。

总结一下：

1. 复杂的式子可以考虑小的一块当成整体一起转移；
2. 微分方程只会努力比对系数（当然也可以写出导函数之后提升次数啥的）；
3. 写式子的时候要注意一下特殊情况，免得出锅。
4. 两个多项式做点乘，我们可以像这样写哑演算。
5. 菜就多练。

#include <cstdio>
const int N = 1e6, mod = 998244353;
using ll = long long;
inline void add(int &a, int b) {a += b; a >= mod && (a -= mod);}
inline void sub(int &a, int b) {a -= b; a < 0 && (a += mod);}
inline int mul(int a, int b) {return (ll)a * b % mod;}
inline int qpow(int a, int b) {
    int ret = 1;
    for(; b; b >>= 1, a = mul(a, a))
        b & 1 && (ret = mul(ret, a));
    return ret;
}
int n, k, d, ans;
int m, lim, a[N], res[N], f[N], g[N], h[N];
// f : F; g : uF; h : u(1-u)/u' F;
int fac[N << 1 + 5], ifac[N << 1 + 5], inv[N << 1 + 5];
inline int binom(int n, int m) {
    return m < 0 || m > n ? 0 : (ll)fac[n] * ifac[m] % mod * ifac[n - m] % mod;
}
int main() {
    scanf("%d %d %d", &n, &k, &d);
    fac[0] = 1, lim = n << 1;
    for(int i = 1; i <= lim; ++i)  fac[i] = mul(fac[i - 1], i);
    ifac[lim] = qpow(fac[lim], mod - 2);
    for(int i = lim; i; --i)  ifac[i - 1] = mul(ifac[i], i), inv[i] = mul(fac[i - 1], ifac[i]);
    m = n - 1 - (k - 1) * d;
    f[0] = mul(m + k, binom(m + k - 1, k - 1));
    for(int i = 1; i <= k; ++i)
        add(res[m + k], mul(binom(m + k - (i - 1) * (d - 1), i - 1), binom(n - m - k - 1 - (k - i) * (d - 1), k - i)));
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        if(i)
            g[i] = f[i - 1],
            h[i] = mul(mod - i + 1, f[i - 1]);
        if(i >= d - 1)
            sub(h[i], mul(i - d + 1, f[i - d + 1])), add(h[i], mul(d, h[i - d + 1]));
        if(i >= d)
            sub(g[i], f[i - d]), add(g[i], g[i - d]),
            add(h[i], mul(i - d, f[i - d])), sub(h[i], mul(d - 1, h[i - d]));
        if(i == m + k) {
            f[i] = res[i];
            if(i >= d)  sub(f[i], res[i - d]);
        } else {
            add(f[i], mul(g[i], m)), add(f[i], h[i]);
            res[i] = f[i] = mul(f[i], i < m + k ? inv[m + k - i] : mod - inv[i - m - k]);
            if(i >= d)  add(res[i], res[i - d]);
        }
        add(h[i], mul(i, f[i]));
    }
    for(int i = 0; i < n; ++i)
        scanf("%d", &a[i]), add(ans, mul(a[i], res[i]));
    printf("%d", ans);
    return 0;
}