欧拉如何计算 $\zeta(2)$ aka 巴塞尔问题

欧拉如何计算 \(\zeta(2)\)

新年特别篇，祝大家新年快乐，新的一年和欧拉一样智慧。

问题引入

我们知道，Riemann zeta函数 \(\zeta(s)\) 的定义为

\[\zeta(s)=\sum_{k\ge1}k^{-s} \]

当 \(s=2\) 时，得到

\[\zeta(2)=\sum_{k \ge 1} \frac 1 {k^2} \]

易证这个无穷级数收敛。事实上，欧拉首先提出它等于 \(\frac {\pi ^ 2} 6\)，并且给出了创造性的证明。这个问题又被叫做巴塞尔问题。虽然证明有些许不严谨，但很有启发意义。

开始求解

观察函数 \(y= \frac{\sin x}x\) ，我们可以发现其根为所有非 \(0\) 整数与 \(\pi\) 的乘积。所以，我们不加证明地给出结论，这个函数可以被如此表示成线性因子的乘积，也即

\[\begin{equation*} \begin{split} \frac {\sin x} x &= (1-\frac x \pi)(1+\frac x \pi)(1-\frac x {2\pi})(1+\frac x {2\pi})\dots \\ &=(1-\frac{x^2}{\pi ^2})(1-\frac{x^2}{4\pi ^2})\dots \\ \end{split} \end{equation*} \]

展开这个乘积，观察其中二次方项的系数，其一定是选定上式中任意一个括号的二次方项然后再乘上其他因子的 \(1\) 得到的，所以我们就得到二次方项的系数为：

\[-(\frac 1 {\pi^2}+ \frac 1 {4\pi^2}+\dots)=-\frac 1 {\pi^2} \sum_{k\ge0}\frac 1 {k^2} \]

从另一个方面，我们知道，\(\sin x\) 的 Maclaurin 展开式为

\[\sin x = \sum_{k \ge 0} \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!} \]

两边同时除以 \(x\)，得到

\[\frac {\sin x} x = \sum_{k \ge 0} \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k+1)!} \]

其二次方项的系数是 \(-\frac 1 6\)。令两个二次方项系数相等，我们就得到了

\[-\frac 1 6=-\frac 1 {\pi^2} \sum_{k\ge0}\frac 1 {k^2} \]

也即

\[\sum_{k\ge0}\frac 1 {k^2} = \frac {\pi^2} 6 \]

证毕。