P5694 [NOI2001] 陨石的秘密

一道有趣的高维计数 DP。

题目大意

定义合法的括号串为：

1. 仅由 (), [], {} 组成；
2. 空串是合法括号串；
3. \(A\) 是合法括号串且不含 [], {}，则 \((A)\) 是合法括号串；
4. \(A\) 是合法括号串且不含 {}，则 \([A]\) 是合法括号串；
5. \(A\) 是合法括号串，则 \(\{A\}\) 是合法括号串；
6. \(A,B\) 均为合法括号串，则 \(AB\) 也是合法括号串。

定义一个括号串的深度为最大的括号嵌套数，求使用了 \(L_1,L_2,L_3\) 对 {}, [], () 且深度为 \(D\) 的合法括号串数量，答案对 \(11380\) 取模。

大体思路

由于 \(L_1\sim L_3,D\) 均不大，直接使用高维 DP，状态定义照抄题面。故定义 \(F(d,i,j,k)\) 表示使用了 \(i,j,k\) 对大、中、小括号且深度为 \(d\) 的数量。

状态转移自然是将当前串分割成两个串 \(TS\)，使得 \(S\) 的深度为 \(d\)，用某一种括号去套一个合法的串 \(T\)。由于嵌套一层后深度 \(\le d\)，要求这个合法串 \(T\) 的深度不大于 \(d-1\)。

这时，我们发现需要枚举所有 \(\le d-1\) 的深度，太过麻烦，因此对 \(F\) 做前缀和处理，即将状态定义改为 \(F(d,i,j,k)\) 表示使用了 \(i,j,k\) 对大、中、小括号且深度 \(\le d\) 的数量。

对当前串 TS，可以通过一个括号嵌套变成 (T)S，[T]S，{T}S。我们可以通过枚举 \(T\) 中包含多少 {}, [], ()，得到状态转移方程：

\[F(d,i,j,k)= \sum_{a=0}^{i-1}\sum_{b=0}^j\sum_{c=0}^k F(d-1,a,b,c)\times F(d,i-1-a,j-b,k-c) \\ +\sum_{b=0}^{j-1}\sum_{c=0}^k F(d-1,0,b,c)\times F(d,i,j-1-b,k-c) \\ +\sum_{c=0}^{k-1} F(d-1,0,0,c) \times F(d,i,j,k-1-c) \]

特殊地，对于 \(i=j=k=0\) 时，\(F(d,0,0,0)=1\)。

输出时，通过前缀和做差即可，需要特判 \(D=0\) 以及 \(L_1=L_2 = L_3 = 0\) 的情况。时间复杂度 \(O(DL^6)\)。

完整代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(ii,aa,bb) for(re int ii = aa; ii <= bb; ii++)
#define Rep(ii,aa,bb) for(re int ii = aa; ii >= bb; ii--)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef pair<int, int> PII;
const ll mod = 11380;
namespace IO_ReadWrite {
	#define re register
	#define gg (p1 == p2 && (p2 = (p1 = _buf) + fread(_buf, 1, 1<<21, stdin), p1 == p2) ? EOF :*p1++)
	char _buf[1<<21], *p1 = _buf, *p2 = _buf;
	template <typename T>
	inline void read(T &x){
		x = 0; re T f=1; re char c = gg;
		while(c > 57 || c < 48){if(c == '-') f = -1;c = gg;}
		while(c >= 48 &&c <= 57){x = (x<<1) + (x<<3) + (c^48);c = gg;}
		x *= f;return;
	}
	inline void ReadChar(char &c){
		c = gg;
		while(!isalpha(c)) c = gg;
	}
	template <typename T>
	inline void write(T x){
		if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
		if(x > 9) write(x/10);
		putchar('0' + x % 10);
	}
	template <typename T>
	inline void writeln(T x){write(x); putchar('\n');}
}
using namespace IO_ReadWrite;
ll L1, L2, L3, D, f[35][12][12][12];
int main () {
	read(L1); read(L2); read(L3); read(D);
	f[0][0][0][0] = 1;
	rep(d, 1, D) {
		f[d][0][0][0] = 1;
		rep(i, 0, L1) rep(j, 0, L2) rep(k, 0, L3) {
			if(!i && !j && !k) continue;
			rep(a, 0, i - 1) rep(b, 0, j) rep(c, 0, k)
				(f[d][i][j][k] += f[d - 1][a][b][c] * f[d][i-1 - a][j - b][k - c]) %= mod;
			rep(b, 0, j - 1) rep(c, 0, k)
				(f[d][i][j][k] += f[d - 1][0][b][c] * f[d][i][j-1 - b][k - c]) %= mod;
			rep(c, 0, k - 1)
				(f[d][i][j][k] += f[d - 1][0][0][c] * f[d][i][j][k-1 - c]) %= mod;
		}
	}
	if(!D) writeln(((!L1 && !L2 && !L3) ? 1 : 0));
	else if(!L1 && !L2 && !L3) writeln(0);
	else writeln((f[D][L1][L2][L3] - f[D - 1][L1][L2][L3] + mod) % mod);
	return 0;
}