容斥原理证明

假设有 \(n\) 个基础集合 \(E_1\sim E_n\)，那么有

\[\left|\bigcup_{i=1}^n E_i\right|=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\sum_{1\le i_1<i_2<...<i_k\le n}|E_{i_1}\cap E_{i_2}\cap\cdots\cap E_{i_k}| \]

证明：
设有 \(c\) 个基础集合包含元素 \(x\)，在左式中 \(x\) 出现 \(1\) 次。右式中，\(x\) 出现次数为

\[\binom c 1-\binom c 2+\binom c 3-\cdots+(-1)^{c+1}\binom c c \]

由二项式定理

\[(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom n k a^kb^{n-k} \]

令 \(a=1,b=-1\)，有

\[0=\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom n k,\binom n 0-\binom n 1+\binom n 2-\cdots=0 \]

\[\therefore \binom c 1-\binom c 2+\cdots=\binom c 0=1 \]

因此，\(x\) 在右式中出现次数也为 \(1\)，得证。