剑指offer-剪绳子1

题目描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]k[1]...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

我的一遍跑通的代码如下，但是算法复杂度不是很好

class Solution {
    int[] c;
    public int cuttingRope(int n) {
        c = new int[n+1];
        c[0] = 0; c[1] = 0; c[2] = 1;
        int i_max = 0, temp = 0;
        for(int i=3;i<n+1;i++){
            i_max = 0;
            for(int j=1;j<=i/2;j++){
                temp = j*(Math.max((i-j),c[i-j]));
                if(temp>i_max){
                    i_max = temp;
                }
            }
            c[i] = i_max;
        }
        return c[n];
    }
}

思路是动态规划的思路，把每个cuttingRope(i)从小到大记录下来，遇到一个新的i，它利用前面的进行计算求最大的，最后返回第c(n)即可。
有60%的人使用了比这个好的方法，并不是思路不对，而是优化不够，有些规律没用到。接下来先上优化过的代码：

\class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if (n < 2) {
            return 0;
        } else if (n == 2) {
            return 1;
        } else if (n == 3) {
            return 2;
        }

        int numOfThree = n / 3;
        int result = 0;
        if (n % 3 == 1) {
            numOfThree -= 1;
            result =  (int) Math.pow(3, numOfThree) * 4;
        } else if (n % 3 == 2) {
            result =  (int) Math.pow(3, numOfThree) * 2;
        } else {
            result =  (int) Math.pow(3, numOfThree);
        }
        return result;
    }
}

有两条公理

1. 绳子等分而得到的乘积最大
2. 每段长度最好为3

\[a_1 \]

\[x^{a}=x^{\frac{n}{x}}= (x^{\frac{1}{x}})^{n} \]