概率与期望
概率与期望
定义：
1.概率：概率，亦称“或然率”，它是反映随机事件出现的可能性大小。随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。
2.在概率论和统计学中，期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。
计算式：
\[P(A) = n/m
\]
\[E(A) = P(a)*v(a)+P(b)*v(b).....
\]
经典问题
1.“其中一个是女孩问题”
已知有一个家庭共有两个孩子，其中一名是女孩，求另外一名也是女孩的概率
按照直观感受，另一名也是女孩的概率不应受其他条件影响，无论如何，都应该是二分之一。
但事实上，另一名也是女孩的概率只有1/3
对于本题而言，这个家庭只有这四种情况：
1.第一个孩子为男性，第二个孩子也为男性
2.第一个孩子为男性，第二个孩子为女性
3.第一个孩子为女性，第二个孩子为男性
4.第一个孩子为女性，第二个孩子也为女性
由于已知该家庭有女孩，故第一种情况不成立
而在剩下的三种情况下，只有情况4成立，故为1/3
2."亚瑟王的生日庆典"
为了庆祝生日，亚瑟王决定举办生日庆典。他每天会抛一枚硬币，当硬币朝上的次数大于k次时，他就会结束他的庆典。在庆典中，他在第i天会向外发2i-1的钱。已知硬币朝上的概率为p，求亚瑟王发出钱的期望数目
首先我们可以很容易的得出，当硬币朝上的概率为p时，抛出k次朝上的期望次数为k/p。
我们再接着设置状态F[i]表示有i次硬币朝上时发出钱的期望数目
那么
\[f[i] = p*(f[i-1]+2*((i-1)/p+1)-1)+(1-p)*(f[i]+2*f[i]+1)
\]
经过化简 我们可以得到期望钱数应为
\[k*(k-p+1)/p^2
\]
