对环的个数进行容斥证明矩阵树定理

图论期中考试不允许提前交卷,没事干于是就想了想课堂上只介绍没证明的矩阵树定理怎么证明(当年打OI的时候把板子过了就没管了...),想到了一种纯粹从行列式每一项来考虑的证明方法,于是打算记录下来.当然这个方法早就有人想出来了,不想看我的证明的可以去看这两篇.

【学习笔记】矩阵树定理

矩阵树定理证明 - 洛谷专栏

矩阵树(kirchhoff)定理:

设\(G=(V,E)\)是一个无自环的无向图.

定义度数矩阵\(D(G)\)为

\(𝐷_{𝑖𝑖}(𝐺)=deg_i,𝐷_{ij}=0,𝑖≠𝑗\)

设\(A(G)\)表示邻接矩阵

定义Kirchhoff 矩阵\(L\)为

\(𝐿(𝐺)=𝐷(𝐺)−𝐴(𝐺)\)

图\(G\)的所有生成树个数等于\(L\)的任一\(n-1\)阶代数余子式

证明:

先考虑\(L\)的代数余子式\(M_{ii}\)

\(M_{ii}=\sum_a(-1)^{sgn(a)}\prod_{j\not=i}L_{ja_j}\)

其中\(a\)是一个没有\(i\)的排列,\(sgn(a)\)表示\(a\)逆序对的个数的奇偶性,偶数为\(1\),奇数为\(-1\)

将\(L_{j,a_j}\)中\(D_{jj}\)和\(A_{ja_j},a_j\not=j\)分别写出来

\(M_{ii}=\sum_a(-1)^{sgn(a)}\prod_{a_j=j}D_{jj}\prod_{a_j\not=j}(-1)A_{ja_j}\)

考虑\((-1)^{sgn(a)}\prod_{a_j=j}D_{jj}\prod_{a_j\not=j}(-1)A_{ja_j}\)代表什么

\(D_{jj}\)表示任选点\(j\)相连的边,\(A_{ja_j}\)表示选取\((j,a_j)\)这条边

因为\(a\)是一个排列,所以所有\((j,a_j)\)相连会形成一个环(图论里称之为圈),而这些环正好对应这个排列

\(\prod_{a_j=j}D_{jj}\prod_{a_j\not=j}A_{ja_j}\)于是代表选出一个至少包含有\((j,a_j)\)这些边组成的环且\(|E|=|V|-1\)的\(G\)的子图的方案数

对于环上相邻三个(或两个)点\((j,a_j)(a_j,a_{a_j})\),在排列中交换\(a_j\)和\(a_{a_j}\)会使整个排列逆序对数量奇偶性反转,而环的大小减\(1\)

因此对于每个环,环的大小\(+1\)与该环代表的排列的逆序对个数奇偶性相同

因此\((-1)^{sgn(a)}\prod_{a_j\not=j}(-1)=(-1)^{sgn((j,a_j)相连形成的子图的环的个数)}\)

\((-1)^{sgn(a)}\prod_{a_j=j}D_{jj}\prod_{a_j\not=j}(-1)A_{ja_j}=(-1)^{sgn((j,a_j)相连形成的子图的环的个数)}\prod_{a_j=j}D_{jj}\prod_{a_j\not=j}A_{ja_j}\)

生成树个数就是环的个数为\(0\)且\(|E|=|V|-1\)的\(G\)的子图的个数,行列式就是对于环个数的一个容斥

因此生成树个数等于\(M_{ii}\)

现在考虑\(M_{ij},i\not=j\)

这表示一定选择边\((i,j)\)的情况下对于环的个数做容斥

证毕

根据这个方法,有向图的生成树定理也很快就能推出来,这里不再赘述