泛函与变分基础

 

基本概念

泛函

泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函数，泛函是函数的函数。

 

1）除了变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量；

2）除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量为函数的其他函数（因变量）；

3）泛函中，除了一阶导数外，还可以包含有高阶导数。

变分法

经典变分问题都是寻求一个问题的最优解答，其求解过程为“最优化”过程。

经典变分问题的求解方法和过程是泛函求极值的方法和过程。

研究泛函极值的方法就是所谓的变分法，研究泛函极值的近似方法就是所谓变分方法。

一阶变分

函数F对变量x,y和y'二次可微；

泛函I在两点之间的数值取决于两点间所选的路径，即函数y(x)。

设存在函数y(x)，使泛函I达到极值，其相邻路径为。

y(x)称为“极值曲线”或“极值函数”，称为“可变路径”。

是一可微函数,a为一微量的参变数。

a=0时，为极值的必要条件为：

 

注意到

 

 

在两端点 = 0

因为为任意函数

所以 即为欧拉—拉格朗日方程

 

 

变分运算

引入“算子”，定义

算子表示当独立变量x为一固定值时，因变量函数y的任意微小变化。

利用沿可变曲线将F写成：

在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：

F的全变分：

一阶变分：

I取极值的条件：

 

 

具有多个因变量：

含有高阶导数：

（Euler-Poisson方程）