数字幻方的对角线变进制二维方图解法
2015-07-04 13:13 王吉波 阅读(1710) 评论(1) 收藏 举报目录
自序... - 4 -
作品简介... - 5 -
开篇语... - 6 -
数字幻方的变进制对角线二维前后方图法求解简介... - 6 -
数字幻方的介绍... - 6 -
二维前后方图以及其构造方法... - 6 -
3阶幻方数字转化为十进制数字方法... - 7 -
中心线重心数字或块中间边角第概念... - 7 -
混沌关系理论... - 7 -
第一章... - 8 -
3阶幻方求解... - 8 -
前后方图之斜飞法... - 8 -
第二章... - 12 -
5阶幻方求解... - 12 -
第一节... - 12 -
斜飞法快速求解5阶幻方方法... - 12 -
第二节... - 14 -
5阶幻方的第一类第一种的求解... - 14 -
第三章... - 16 -
4阶幻方的求解... - 16 -
第一节... - 16 -
第一类第一种前后方图的求解方法... - 16 -
第二节... - 17 -
第一类第二种非均匀分布边上数字和值相同的论述... - 17 -
第三节... - 23 -
第二类第一种对角线互补前后方图具体解法... - 23 -
第四章... - 36 -
乘法求解幻方... - 36 -
第一节... - 36 -
最简单的奇数合数9阶幻方的快速求解... - 36 -
第二节... - 38 -
偶数12阶幻方求解... - 38 -
第五章... - 40 -
倍增法求解偶数幻方... - 40 -
第一节... - 40 -
6阶幻方倍增图的快速求解... - 40 -
第二节... - 50 -
6阶幻方倍增图的通用形式求解... - 50 -
第六章... - 55 -
填充数字的抽取方法... - 55 -
第一节... - 55 -
填充方法分类... - 55 -
第二节... - 55 -
6阶幻方(可用于乘因子为3的乘法求解的所有幻方)数字填充等差法... - 55 -
第七章 8阶幻方的特殊解法外倍增法... - 73 -
第一节... - 73 -
借用4阶幻方第一类第二类前后方图图表快速求解小幻方块数字的抽取... - 73 -
第二节... - 74 -
8阶外倍增小幻方中按照单个数字的抽取... - 74 -
第三节... - 75 -
8阶数字的等差抽取... - 75 -
第四节... - 78 -
隔差排列的方法研究... - 78 -
第八章... - 79 -
小幻方块在大幻方位置不同达到和值相等的排列数量研究... - 79 -
第九章... - 80 -
乘法或倍增法求解幻方中数字的排列数量研究... - 80 -
第十章... - 81 -
幻方研究应用此法中的一些问题... - 81 -
附录一... - 82 -
880个基本的4阶方图对应的前方方图... - 82 -
880个基本的4阶方图对应的后方方图... - 94 -
880个基本的4阶幻方前后方图... - 106 -
880个基本的4阶十进制幻方图... - 118 -
附录二... - 130 -
混沌关系理论在四色原理中心点外画圈法证明中的应用... - 130 -
自序
规律——来自于刻苦的努力研究和转瞬即逝的灵感火花，是人类永恒的追求,如何在一片纷纷扰扰中,找到通往解决难题的捷径,探寻到事物的本质,是人们孜孜不倦并为之苦心研究的动力源泉。
数字幻方作为一个小学生可以求解，但仅靠一个人的努力，终生都不可能参悟得透的数字方面的难题。虽然前人在幻方破解及规律研究上有很多的发明创造，但本人用自己的方法方式，没有借鉴前人的术语和方法，而是自创了一套成体系的方法，暂时命名为数字幻方的变进制对角线二维前后方图法，并且在此基础上有研究了一些衍生方法，在这里一些术语在开篇语中，本人已做了一些说明，希望大家能做进一步了解。
在这个数字幻方的世界里,本人用了十数年研究,现已将数字幻方的一些便捷求解方法，或者说规律总结出来,并且付之于文字,对于这些不成熟的描述,以《数字幻方圣经》来命名,虽然圣经两字看似有所僭越,但是宗教里的著作《圣经》不是某一个人,也并不是某一个时期的著作,他是综合很多大家领袖、仁人志士和先知先觉们的很庞大的团队的智慧与辛勤汗水,耗费很长精力和时间编撰而成。本人将自己不算成熟而且亟待完善的研究成果提前公布于世,是希望抛砖引玉,欢迎有更多的数学爱好者，计算机编程爱好者，外语爱好者加入到这个数字幻方的研究创作团队里,共同将这本书完善起来，传播开去。在这个不带0的数字世界里，有很多奥妙美丽，希望大家在这里畅游，在此先谢过大家。
作者：王吉波
书于2015-6-2
作品简介
作品《数字幻方圣经》_，于1996 年07月 01日开始创作， 2015 年6月 1日定稿完成，主要特点是用对角线二维方图变进制法的方法破解开4阶数字幻方的所有构造方式，一共有7040种排列图，用最简单的组合方式分类，并且用图表排列将其一一说明。在此书中首次将排列组合方法应用于数字幻方的求解，可以用此方法解出任意阶数字幻方的所有排列图，还发明了倍增法求解任意偶数阶数字幻方的方法，乘法求解数字幻方的方法，并提出数字的抽取概念和方法以及数字的排列方法，可以快速求解任意阶数字幻方。提出新的数学模式：混沌关系理论，并在倍增法求解6阶幻方有所具体介绍及应用，在附录一中，将4阶基本的880个幻方一一列表，在附录二中有对三大数学难题之一四色原理，利用混沌关系理论进行了论述，其相关的数学模式还需要大家共同努力建立。
开篇语
数字幻方的变进制对角线二维前后方图法求解简介
数字幻方是一种数字矩阵，来源于很早以前，据说洛书河图是最早的数字幻方，有几千年的历史，至今人们所得到的一些所谓的幻方巧妙的书写规律，只是看到了幻方很片面的地方，远远未达到真正破解其奥秘的要求，在这里本人将十数年的研究结果介绍给大家，希望有志于此的朋友们，和我一起将这一本远远未完善的幻方论著完善下去。
幻方的行数和列数为大于等于3的相同数字，用1依次加1至最大数字（即行数或列数的平方值）填充，使每一个数字都遍历，而且保持两条对角线上、行上、列上的数字相加和相同，边长为n的幻方称为n阶幻方
数字幻方的介绍
将n阶幻方中的十进制数字全部变成n进制数字，并且不带0这个数字，n为最大数字，满n进1，最大数字为n*n，在换算过程中，没有0这个数字出现在其中，在十进制难以解决的排序以及规律查找问题，迎刃而解。现以3阶幻方为例，十进制数1对应幻方数字11,以下是2对应12，3对应13,4对应21,5对应22,6对应23，7对应31,8对应32,9对应33，将前后数字分开之后，整个幻方图就将分解成2个数字矩阵图形，其中前面图称之为前维方图（以后简称前方图），后一个图称之为后维方图（以后简称后方图），这就是变进制对角线二维前后方图法的名称来历，其中在每一个图形中，因其各条行和列数量庞大，但是只有两条对角线，所以以对角线为着重研究对象，称为对角线法，综上所述，此方法名称为变进制法二维前后方图对角线法求解幻方。
二维前后方图以及其构造方法
经过十数年研究，本人发现其内在规律，现将其规律介绍一下，这个方法为依n阶为进制，对角线为分类依据，将1,2,3一直到n的数字按照列数或者行数一共n的平方个数字填充进幻方位置里，使所有数字遍历，在十进制数字和值相同情况下，依据构成前后方图中方图数字的和值的不同将前后方图分成两大类，第一类所有边对角线和值相同（不牵涉进退位），第二类所有对角线边和值不同（牵涉进退位在4阶幻方中为两条对角线互补），对于第一类的幻方方图，可以作为前后方图自行进行重叠合并，前方图数字安排在幻方数字前面，后方方图数字安排在幻方数字后边，合并得到的幻方数字图需要遍历所有数字，这样保持相应边上数字总的和值不变，幻方即成立，可以进一步转化为十进制数字；对于第二类的情况下，牵涉进制问题，就以1当n，或满n进1，需要将其前方图和后方图做一个和值对齐，就是说，在我们以后着重介绍的4阶幻方中，前方图后方图牵涉进制的数值为进退位1，所在位置只有对角线，并且对角线上和值互补，即一条为和值为9，另一条为11，这样才能使其余行列所有和值达到10，不论第一类的不牵涉进位的前后方图还是第二类牵涉进退位的前后方图，其组成规律为中心四个数字和值与边角四个数字和值同为10，而在行和列上如果出现进退位，无法再进行其余的行列和对角线和值的全部相等，对于前方图中如果一条对角线出现进位，即和值等于11，那么相应的后方图上数字的和值就需要减去4等于6即可达到幻方数字图中这条对角线和值为10的目的，同理前方图中如果一条对角线出现退位，即和值等于9，那么相应的后方图上数字的和值就需要加上4等于14即可可达到幻方数字图中这条对角线和值为10的目的。综上所述，这个方法即称为变进制对角线二维前后方图法求解数字幻方。后面的乘法求解以及倍增法快速求解幻方，其实质只是这个方法的一个变异。
前方图和后方图重合后可得到幻方数字方图，前后方图除了每一行列对角线相加全相等的情形外，在3阶上不存在第一类第一种全均匀分布和第二类牵涉进退位的分布，而在大于等于4阶幻方的情况下，因其还牵涉进制，所以前方图有进退1位情况，而相应的后方图也牵涉进为，所以有满n当1和以1当n的情形。所以将方前后图做等和、非等和分布两种：
一、第一类等和分布方图
任一条对角线、行、列上数字相加和相等，其中又细分为两种，第一种全均匀数字等和分布方图，即每一条行、列、对角线上数字都包含从1到n，第二种非均匀数字等和分布方图，即每一条行、列、对角线上数字有缺失的有重合的。其和值同样都是1+2+…+n=(1+n)/2*n
二、第二类非等和分布方图
其中有两条或大于2的偶数条行、列或对角线数字和相加不同。分为前后方图，前方图有以1当n的情况，而后方图也因为牵涉进制，所以有满n进1或减n退1的情形，为保持其相加和值的相同，前方图中如果那条边大于和值1的话，其对应后方图相同的边上就应该少n即以1当n，同理小1的话，对应后方图就应该多n即以n当1，这样非等和分布方图就又分成两种，即非等和前维方图，非等和后维方图。在3阶方图中，满3进1，那么后方图只有3,3,3一种组合，前方图相同边填充1,1,3,或1,2,2,都会有相同的幻方数字出现,达不到遍历数字的情况，所以非等和分布方图在3阶幻方中不存在,只能从4阶开始。以4阶幻方为例，后方图中全填成为4的话，其和为16减去10等于6大于满4进1，所以可以为也仅能够为14，组合为2,4,4,4或3,3,4,4,相对应的前维方图的和为9，组合为1,2,2,4或1,2,3,3。同理可以以1当4，后维方图边的和可以为6，组合为1,1,1,3或1,1,2,2。相对应前维方图的边和为11，组合为1,2,4,4或1,3,3,4。使其前后方图相应的边搭配保持总和值相同。
在以后的分析中，为方便论述将行、列统称为边。对角线分两个，左上到右下称为第1对角线，右上到左下称为第2对角线。
3阶幻方数字转化为十进制数字方法
幻方数字变成十进制数字如下：在n阶幻方中，求出二维前后方图，方图中的二维数字转换成十进制数字的方法为：前面数字减1乘以n加上后面数字即可得到，比如3阶的幻方数字22变为十进制数字5。4阶幻方的22变成十进制数字中的6。
中心线重心数字或块中间边角第概念
幻方中因为各个部位的不同，我们把其进行不同分类，中心线是在奇数阶幻方里，行或者列的中心一条的连线称为中心线；重心数字是在奇数阶幻方里，中心线和对角线相交于数字中的一处，称为重心数字，而在偶数幻方中，其没有重心数字，而在倍增求解偶数幻方时，我们把4个倍增数字组成的倍增块称为重心块；中间线是在奇数幻方里，行或者列的中心一条，在倍增求解偶数幻方称为中间块，边角数字或边角块是幻方的最左上、最右上、最左下、最右下的四个地方的数字或者块。倍增块指倍增法求解数字幻方时，由1234相邻四个数字组成的方格，块指的是除倍增块外乘法求解数字幻方时，乘幻方所组成的小方块。
等差是指在幻方中数字组合的抽取时，每一个组合和值差为一个定值。隔差指将组合数量分成两或多部分，其中相同数量的组合之间相差互补数字的差值。
混沌关系理论
在论述一个数学或逻辑学图论等领域时，只论述研究对象的相应关系，而对其精准的组成方法、数值、形状、几何尺寸等等内在的描述不做为研究重点，而是以相关对象之间的关系为研究重点。这种方法就叫混沌关系理论。
在6阶幻方倍增图的研究上，我采用了这一理论对和值的论述进行研究。
在附录二中对四色原理利用此理论进行研究。
第一章
3阶幻方求解
在3阶幻方中,前后方图不牵涉进位，只有一种即第一类，而在这一类中，对角线上为达到和值等于6，其一条对角线为123且重心只能为2，其另一条对角线除重心外，如果再填上1或者3，那么它就无法再填充中间的数字以达到各边和值相同，所以，在3阶幻方里，前后方图只有一种，即第一类第二种非均匀数字等和分布方图，
：
前后方图之斜飞法
将一条对角线添为全中值数字，另一条对角线填充上其余数字，并以全中值对角线为中心，两边对应填入其余数字，即为斜飞法，在快速求解奇数幻方中，是一种简单快捷的方法，以后经常用。
下面提到的第一种的两个，（11）（21）可以看做数字1,2,3的重排列，并且(21)也可以看做对（11）中数字用（1+3）即4数字相减。这就又得到了另一种快速求解的方法，即互补法，如果将这两个图相加每个图的相应位置数字和同为（1+n），在此例中为4。
第一种，左下到右上对角线全相同数字2，共2个
1 3 2 3 1 2
3 2 1 1 2 3
2 1 3 2 3 1
(11) (12)
第二种，左上到右下对角线全相同数字2，共2个
2 3 1 2 1 3
1 2 3 3 2 1
3 1 2 1 3 2
（21） （22）
2）重合
上面的方图同一种的不能重合，第一张与第二种可以重合，前后可互移，共有8种组合，现论述如下并将其转换成十进制幻方
1、幻方数字（11） + (21)
12 33 21
31 22 13
23 11 32
（1）
十进制数字
2 9 4
7 5 3
6 1 8
(1)
这就是本书第一个3阶幻方即九宫图所说戴九履一，二四为肩，六八为足，三七为腰。
2、幻方数字（11）+（22）
12 31 23
33 22 11
21 13 32
（2）
十进制数字
2 7 6
9 5 1
4 3 8
（2）
3、幻方数字（12）+（21）
32 13 21
11 22 33
23 31 12
(3)
十进制数字
8 3 4
1 5 9
6 7 2
（3）
4、幻方数字（12）+（22）
32 11 23
13 22 31
21 33 12
（4）
十进制数字
8 1 6
3 5 7
4 9 2
（4）
5、幻方数字（21）+（11）
21 33 12
13 22 31
32 11 23
（5）
十进制数字
4 9 2
3 5 7
8 1 6
（5）
6、幻方数字（21）+（12）
23 31 12
11 22 33
32 13 21
（6）
十进制数字
6 7 2
1 5 9
8 3 4
（6）
7、幻方数字（22）+（11）
21 13 32
33 22 11
12 31 23
（7）
十进制数字
4 3 8
9 5 1
2 7 6
（7）
8、幻方数字（22）+（12）
23 11 32
31 22 13
12 33 21
（8）
十进制数字
6 1 8
7 5 3
2 9 4
（8）
其表格如下：
其中行代表前方图，列代表后方图
|
|
（11） |
（12） |
（21） |
（22） |
|
（11） |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
(12) |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
(21) |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
(22) |
1 |
1 |
0 |
0 |
综上所述，3阶幻方前后方图共有4个，一共只有8个幻方图形，求出任何一个可以求出其余七个，即旋转90度，180度，270度，左右镜像后再重复上述方法，所以在幻方中求出一个就意味着求出八个，我们将这一个幻方叫做基本幻方。任何阶幻方的总的个数都是能被8整除的偶数个，每一阶次的幻方都只要求出基本幻方的数量，其余的可以通过上面方法，得到其余的7个幻方，在4阶幻方中，其总的数量为7040个，我们只要求出基本的880个，其余的即可推理得到。
现在我们再将上面方法推而广之，在求解任意阶奇数幻方的时候，都可以用这种第一类第二种方法，即任一条对角线为全相同中间值数字，另一条为全分布数字，用排列方法快速求出，再填充其余数字即可得到所求的方图，再镜像，求出另一组方图，然后相互重合，转换成十进制即可得出幻方。
第二章
5阶幻方求解
5阶幻方是比最简单的3阶幻方复杂的奇数类幻方，3阶中，因为其和值组合的局限性，其实质上就是一个基本的幻方，其余的7个都是其通过镜像旋转变换来的，而到了5阶幻方，才能够显示出其复杂性，在这里着重介绍了几个简单的构造方法，对于全部的幻方没做进一步研究。
第一节
斜飞法快速求解5阶幻方方法
为了解斜飞法，我们接上节方法继续论述，斜飞法是一种快速求解奇数幻方的方法，其具体方法如下：
以第1对角线为第一填充对象，填入数字1，2，3，……，n*n，其中n为n阶幻方的数字n，其以第2对角线为全均匀中值对角线，对应的另一条对角线为左上到右下1、2、3、4、5排列，中间值3不动，求出（11）方图后即可得到1、2、4、5排列方图即排列4共计24种排列，镜像后得到另外24种排列方图，这样就快速求出24*24*2种共计1152个5阶幻方。
1）斜飞法举例求解5阶幻方
（11）
1 4 2 5 3
4 2 5 3 1
2 5 3 1 4
5 3 1 4 2
3 1 4 2 5
（11）左右镜像求得
(21)
3 5 2 4 1
1 3 5 2 4
4 1 3 5 2
2 4 1 3 5
5 2 4 1 3
（11）+（21）
幻方数字如下：
13 45 22 54 31
41 23 55 32 14
24 51 33 15 42
52 34 11 43 25
35 12 44 21 53
（1）
转换成十进制数字：
3 20 7 24 11
16 8 25 12 4
9 21 13 5 17
22 14 1 23 10
15 2 19 6 17
（1）
2）前后方图互换位置
还是以上面例子为说明
（21）+（11）
31 54 22 45 13
14 32 55 23 41
42 15 33 51 24
25 43 11 34 52
35 21 44 12 35
（2）
转换成十进制数字：
11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 23 1 14 22
17 6 19 2 15
（2）
可以看出互换前后方图在这里就是左右镜像，斜飞法实质上是第一类第二种的方图类型。
第二节
5阶幻方的第一类第一种的求解
第一类第一种即全均匀分布还是以左下到右上对角线做研究对象，以12345顺序求出第一个方图。
一、幻方数字另一条对角线为2,1,3,5,4排列如下：
2 4 1 3 5
5 1 2 4 3
4 5 3 1 2
3 2 4 5 1
1 3 5 2 4
（11）
将（11）数字再排列可得到排列5种幻方图
比方变为12354排列
左右镜像得到
5 3 1 4 2
3 4 2 1 5
2 1 3 5 4
1 5 4 2 3
4 2 5 3 1
（21）
（11）+（21）
25 43 11 34 52
53 14 22 41 35
42 51 33 15 24
31 25 44 52 13
14 32 55 23 41
（1）
十进制数字
10 18 1 14 22
23 4 7 16 15
17 21 13 5 9
21 10 19 22 3
4 12 25 8 16
（1）
其中（11）可以在排列成排列5个种即120种，同样（21）可以排列为120种，其相应组合即为120乘120乘2合计28800种。
二、幻方数字另一条对角线为4,1,3,5,2排列如下：
4 3 1 2 5
5 1 2 4 3
2 5 3 1 4
3 2 4 5 1
1 4 5 3 2
（11）
同理对其进行左右镜像，再重合也可得出可以在排列成排列5即120种，同样（21）可以排列为120种，其相应组合即为120乘120乘2合计28800种。不再赘述。
继续我们的研究，还发现在这个方图中可以与下面左下到右上对角线镜像的进行重合
2 1 4 3 5
3 5 1 4 2
5 4 3 2 1
4 2 5 1 3
1 3 2 5 4
（21）
也可得出可以在排列成排列5个种即120种，同样（21）可以排列为120种，其相应组合即为120乘120乘2合计28800种。不再赘述。
在5阶幻方中仅此第一类第二种相同的组合使用上面的方法已经达到28800乘3种幻方图，如果再加上其余再混合，就更复杂，对于其余的不再论述。在下面的章节中着重介绍4阶幻方的解法，因为它是快速求解大于4的偶数幻方的基础，可直接用于快速求解偶数幻方，也能用于倍增法求解幻方。
第三章
4阶幻方的求解
一、4阶幻方的重要性简介
4阶幻方的前后方图是倍增法快速求解大于6的偶数阶幻方以及乘法快速求解其余偶数幻方的基础应用，所以以下我用最大篇幅讲述四阶幻方的求解。
二、具体分类以及求解方法
为方便将其前后方图分为两大类，1、第一类，方图的每条边包括对角线的数字和值为10的统称为第一类，又分为两种，第一种为全均匀分布，每条边、对角线上的每个幻方数字都遍历。第二种是除去第一种，边上、对角线上有幻方数字有缺失和重合现象。2、第二类，前后方图的两条边的和不相同，其中前方图一条边和为9，一条和为11，而其对应的后方图相应的边为保持和值相同，变为和值14和和值6，分成两种，第一种为对角线互补前后方图，第二种除第一种外的其他类型，在4阶幻方中没出现。在下面将具体论述。
第一节
第一类第一种前后方图的求解方法
我们还是以第2对角线为研究方向，方法论述如下：
前后方图的第一个（11）以第二对角线为第一填充对象，以1,2,3,4填入得出（11）
（11）
2 3 1 4
4 1 3 2
3 2 4 1
1 4 2 3
第2对角线镜像得出（21）
（21）
3 1 2 4
2 4 3 1
4 2 1 3
1 3 4 2
幻方数字方图
23 31 12 44
42 14 33 21
34 22 41 13
11 43 24 32
（1）
转换成十进制数字幻方：
7 9 2 16
14 4 11 5
12 6 13 3
1 15 8 10
（1）
将上面的（11）中数字重新排列可得到（排列4）个方图，即24个方图，每种都有24个第二对角线（左下到右上）镜像，一共有24乘24即576种，再将其数字前后翻转，（还有几种方法与其相同：在幻方方图中的数字用5去减，或者求出十进制幻方的基础上，每个数字再被十进制数字17去减），又得出其余576种，总共第一类第一种合计为1152个幻方，不再一一论述。
第二节
第一类第二种非均匀分布边上数字和值相同的论述
第一、方图分类
在这一类前后方图中，每一条边上的数字不是都遍历1,2,3,4，而是有重合有缺失，但满足和值相同，同时遍历4遍1,2,3,4，现将其具体分为14类：
1）对角线1234对应对角线1234
第（1）组合
1 4 4 1 1 4 4 1 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 4 1 1 4 4 1 1 4
3 2 2 3 2 3 3 2 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 3 2 2 3 2 3 3 2
2 3 3 2 3 2 2 3 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 1 4 2 3 3 2 3 2 2 3
4 1 1 4 4 1 1 4 3 2 2 3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 1 4 4 1 1 4 4 1
第1对角线镜像
1 3 2 4 1 2 3 4 2 4 1 3 2 1 4 3 3 4 1 2 3 1 4 2 4 3 2 1 4 2 3 1
4 2 3 1 4 3 2 1 3 1 4 2 3 4 1 2 2 1 4 3 2 4 1 3 1 2 3 4 1 3 2 4
4 2 3 1 4 3 2 1 3 1 4 2 3 4 1 2 2 1 4 3 2 4 1 3 1 2 3 4 1 3 2 4
1 3 2 4 1 2 3 4 2 4 1 3 2 1 4 3 3 4 1 2 3 1 4 2 4 3 2 1 4 2 3 1
第（2）组合
1 4 1 4 1 4 1 4 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 4 1 4 1 4 1 4 1
3 2 3 2 2 3 2 3 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 3 2 3 2 2 3 2 3
4 1 4 1 4 1 4 1 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 1 4 1 4 1 4 1 4
2 3 2 3 3 2 3 2 1 4 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 2 3 2 3 3 2 3 2
第1对角线镜像
1 3 4 2 1 2 4 3 2 4 3 1 2 1 3 4 3 4 2 1 3 1 2 4 4 3 1 2 4 2 1 3
4 2 1 3 4 3 1 2 3 1 2 4 3 4 2 1 2 1 3 4 2 4 3 1 1 2 4 3 1 3 4 2
1 3 4 2 1 2 4 3 2 4 3 1 2 1 3 4 3 4 2 1 3 1 2 4 4 3 1 2 4 2 1 3
4 2 1 3 4 3 1 2 3 1 2 4 3 4 2 1 2 1 3 4 2 4 3 1 1 2 4 3 1 3 4 2
第（3）组合
1 4 1 4 1 4 1 4 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 4 1 4 1 4 1 4 1
4 2 3 1 4 3 2 1 3 1 4 2 3 4 1 2 2 1 4 3 2 4 1 3 1 2 3 4 1 3 2 4
3 1 4 2 2 1 4 3 4 2 3 1 1 2 3 4 4 3 2 1 1 3 2 4 3 4 1 2 2 4 1 3
2 3 2 3 3 2 3 2 1 4 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 2 3 2 3 3 2 3 2
第1对角线镜像
1 4 3 2 1 4 2 3 2 3 4 1 2 3 1 4 3 2 4 1 3 2 1 4 4 1 3 2 4 1 2 3
4 2 1 3 4 3 1 2 3 1 2 4 3 4 2 1 2 1 3 4 2 4 3 1 1 2 4 3 1 3 4 2
1 3 4 2 1 2 4 3 2 4 3 1 2 1 3 4 3 4 2 1 3 1 2 4 4 3 1 2 4 2 1 3
4 1 2 3 4 1 3 2 3 2 1 4 3 2 4 1 2 3 1 4 2 3 4 1 1 4 2 3 1 4 3 2
第（4）组合
1 3 2 4 1 2 3 4 2 4 1 3 2 1 4 3 3 4 1 2 3 1 4 2 4 3 2 1 4 2 3 1
3 2 3 2 2 3 2 3 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 3 2 3 2 2 3 2 3
4 1 4 1 4 1 4 1 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 1 4 1 4 1 4 1 4
2 4 1 3 3 4 1 2 1 3 2 4 4 3 2 1 1 2 3 4 4 2 3 1 2 1 4 3 3 2 4 2
第1对角线镜像
1 3 4 2 1 2 4 3 2 4 3 1 2 1 3 4 3 4 1 2 3 1 2 4 4 3 1 2 4 2 1 3
3 2 1 4 2 3 1 4 4 1 2 3 1 4 2 3 4 1 3 2 1 4 3 2 3 2 4 1 2 3 4 1
2 3 4 1 3 2 4 1 1 4 3 2 4 1 3 2 1 4 2 3 4 1 2 3 2 3 1 4 3 2 1 4
4 2 1 3 4 3 2 1 3 1 2 4 3 4 2 1 2 1 3 4 2 4 3 1 1 2 4 3 1 3 4 2
第（5）组合
1 1 4 4 1 1 4 4 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 4 4 1 1
4 4 1 1 4 4 1 1 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 1 1 4 4 1 1 4 4
2 2 3 3 3 3 2 2 1 1 4 4 4 4 1 1 1 1 4 4 4 4 1 1 2 2 3 3 3 3 2 2
3 3 2 2 2 2 3 3 4 4 1 1 1 1 4 4 4 4 1 1 1 1 4 4 3 3 2 2 2 2 3 3
第1对角线镜像
1 4 2 3 1 4 3 2 2 3 1 4 2 3 4 1 3 2 1 4 3 2 4 1 4 1 2 3 4 1 3 2
1 4 2 3 1 4 3 2 2 3 1 4 2 3 4 1 3 2 1 4 3 2 4 1 4 1 2 3 4 1 3 2
4 1 3 2 4 1 2 3 3 2 4 1 3 2 1 4 2 3 4 1 2 3 1 4 1 4 3 2 1 4 2 3
4 1 3 2 4 1 2 3 3 2 4 1 3 2 1 4 2 3 4 1 2 3 1 4 1 4 3 2 1 4 2 3
第（6）组合
1 1 4 4 1 1 4 4 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 4 4 1 1
3 4 1 2 2 4 1 3 4 3 2 1 1 3 2 4 1 2 3 4 4 2 3 1 2 1 4 3 3 1 4 2
4 3 2 1 4 2 3 1 3 4 1 2 3 1 4 2 2 1 4 3 2 4 1 3 1 2 3 4 1 3 2 4
2 2 3 3 3 3 2 2 1 1 4 4 4 4 1 1 4 4 1 1 1 1 4 4 3 3 2 2 2 2 3 3
第1对角线镜像
1 3 4 2 1 2 4 3 2 4 3 1 2 1 3 4 3 1 2 4 3 4 2 1 4 2 1 3 4 3 1 2
1 4 3 2 1 4 2 3 2 3 4 1 2 3 1 4 3 2 1 4 3 2 4 1 4 1 2 3 4 1 3 2
4 1 2 3 4 1 3 2 3 2 1 4 3 2 4 1 2 3 4 1 2 3 1 4 1 4 3 2 1 4 2 3
4 2 1 3 4 3 1 2 3 1 2 4 3 4 2 1 2 4 3 1 2 1 3 4 1 3 4 2 1 2 4 3
第（7）组合
1 3 2 4 1 2 3 4 2 4 1 3 2 1 4 3 3 1 4 2 3 4 1 2 4 2 3 1 4 3 2 1
4 4 1 1 4 4 1 1 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 1 1 4 4 1 1 4 4
2 2 3 3 3 3 2 2 1 1 4 4 4 4 1 1 4 4 1 1 1 1 4 4 3 3 2 2 2 2 3 3
3 1 4 2 2 1 4 3 4 2 3 1 1 2 3 4 1 3 2 4 4 3 2 1 2 4 1 3 3 4 1 2
第1对角线镜像
1 4 2 3 1 4 3 2 2 3 1 4 2 3 4 1 3 2 4 1 3 2 1 4 4 1 3 2 4 1 2 3
3 4 1 2 2 4 3 1 4 3 1 2 1 3 4 2 1 2 4 3 4 2 1 3 2 1 3 4 3 1 2 4
2 1 3 4 3 1 2 4 1 2 4 3 4 2 1 3 4 3 1 2 1 3 4 2 3 4 2 1 2 4 3 1
4 1 3 2 4 1 2 3 3 2 4 1 3 2 1 4 2 3 1 4 2 3 4 1 1 4 2 3 1 4 3 2
2）对角线1144以及对角线2233的组合
第（8）组合
1 3 2 4 1 3 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 4 3 2 1 4 3 2 4 1 3 2 4 1 3
2 4 1 3 3 4 1 2 3 4 1 2 2 4 1 3 4 3 2 1 1 3 2 4 4 3 2 1 1 3 2 4
3 1 4 2 2 1 4 3 2 1 4 3 3 1 4 2 1 2 3 4 4 2 3 1 1 2 3 4 4 2 3 1
4 2 3 1 4 2 3 1 4 3 2 1 4 3 2 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 4 2 3 1 4 2
第1对角线镜像相同但把相同类型的归于这类
3 1 4 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 2 3 1 4 2 3 1 4 3 2 1 4 3 2 1
4 2 3 1 1 2 3 4 4 2 3 1 1 2 3 4 3 1 4 2 2 1 4 3 3 1 4 2 2 1 4 3
1 3 2 4 4 3 2 1 1 3 2 4 4 3 2 1 2 4 1 3 3 4 1 2 2 4 1 3 3 4 1 2
2 4 1 3 2 4 1 3 2 1 4 3 2 1 4 3 1 3 2 4 1 3 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4
第（9）组合
1 4 2 3 1 4 3 2 2 3 4 1 2 3 1 4 3 2 4 1 3 2 1 4 4 1 3 2 4 1 2 3
4 1 3 2 4 1 2 3 3 2 1 4 3 2 4 1 2 3 1 4 2 3 4 1 1 4 2 3 1 4 3 2
3 2 4 1 2 3 4 1 1 4 3 2 4 1 3 2 1 4 2 3 4 1 3 2 2 3 1 4 3 2 1 4
2 3 1 4 3 2 1 4 4 1 2 3 1 4 2 3 4 1 3 2 1 4 3 2 3 2 4 1 2 3 4 1
第1对角线镜像相同
第（10）组合
1 3 4 2 1 2 4 3 2 4 3 1 2 1 3 4 3 4 2 1 3 1 2 4 4 3 1 2 4 2 1 3
2 4 3 1 3 4 2 1 1 3 4 2 4 3 1 2 1 2 4 3 4 2 1 3 2 1 3 4 3 1 2 4
4 2 1 3 4 3 1 2 3 1 2 4 3 4 2 1 2 1 3 4 2 4 3 1 1 2 4 3 1 3 4 2
3 1 2 4 2 1 3 4 4 2 1 3 1 2 4 3 4 3 1 2 1 3 4 2 3 4 2 1 2 4 3 1
第1对角线镜像相同
3）对角线1333与2224组合
第（11）组合
1 1 4 4 1 1 4 4 1 4 1 4 1 4 1 4 4 4 1 1 4 4 1 1 4 1 4 1 4 1 4 1
3 3 2 2 4 3 2 1 3 3 2 2 4 3 2 1 2 2 3 3 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 3 3
4 2 3 1 3 2 3 2 4 2 3 1 3 2 3 2 1 3 2 4 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 2 4
2 4 1 3 2 4 1 3 2 1 4 3 2 1 4 3 3 1 4 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 1 2
第1对角线镜像
1 3 4 2 1 4 3 2 1 3 4 2 1 4 3 2 4 2 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 3
1 3 2 4 1 3 2 4 4 3 2 1 4 3 2 1 4 2 3 1 4 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4
4 2 3 1 4 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 3 2 4 4 3 2 1 4 3 2 1
4 2 1 3 4 1 2 3 4 2 1 3 4 1 2 3 1 3 4 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 3 4 2
第（12）组合
2 1 4 3 2 1 4 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 4 1 2 3 4 1 2 3 3 2 2 3 3 2 2
1 4 1 4 4 4 1 1 1 4 1 4 4 4 1 1 4 1 4 1 1 1 4 4 4 1 4 1 1 1 4 4
4 3 2 1 1 3 2 4 4 3 2 1 1 3 2 4 1 2 3 4 4 2 3 1 1 2 3 4 4 2 3 1
3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 4 2 3 1 4 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 1 3 2 4 1 3
第1对角线镜像
2 1 4 3 2 4 1 3 2 1 4 3 2 4 1 3 3 4 1 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 1 4 2
1 4 3 2 1 4 3 2 2 4 3 1 2 4 3 1 4 1 2 3 4 1 2 3 3 1 2 4 3 1 2 4
4 1 2 3 4 1 2 3 3 1 2 4 3 1 2 4 1 4 3 2 1 4 3 2 2 4 3 1 2 4 3 1
3 4 1 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 1 4 2 2 1 4 3 2 4 1 3 2 1 4 3 2 4 1 3
第（13）组合
2 4 1 3 2 4 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 1 4 2 3 1 4 2 3 2 3 2 3 2 3 2
4 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 4 2 3 1 4 3 2 1 1 3 2 4 4 3 2 1 1 3 2 4
1 1 4 4 4 1 4 1 4 1 4 1 1 1 4 4 1 4 1 4 4 4 1 1 1 4 1 4 4 4 1 1
3 3 2 2 3 3 2 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 1 4 3 2 1 4 3
第1对角线镜像
2 4 1 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 4 1 3 3 4 1 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 1 4 2
4 2 1 3 4 2 1 3 3 2 1 4 3 2 1 4 1 3 4 2 1 3 4 2 2 3 4 1 2 3 4 1
1 3 4 2 1 3 4 2 2 3 4 1 2 3 4 1 4 2 1 3 4 2 1 3 3 2 1 4 3 2 1 4
3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 4 2 2 1 4 3 2 4 1 3 2 1 4 3 2 4 1 3
第（14）组合
2 1 4 3 2 1 4 3 2 4 1 3 2 4 1 3 3 1 4 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 1 2
3 2 3 2 4 2 3 1 3 2 3 2 4 2 3 1 1 3 2 4 2 3 2 3 1 3 2 4 2 3 2 3
4 3 2 1 3 3 2 2 4 3 2 1 3 3 2 2 2 2 3 3 1 2 3 4 2 2 3 3 1 2 3 4
1 4 1 4 1 4 1 4 1 1 4 4 1 1 4 4 4 4 1 1 4 4 1 1 4 1 4 1 4 1 4 1
第1对角线镜像
2 3 4 1 2 4 3 1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 1 2 4 3 2 1 4 3 1 2 4 3 2 1 4
1 2 3 4 1 2 3 4 4 2 3 1 4 2 3 1 1 3 2 4 1 3 2 4 4 3 2 1 4 3 2 1
4 3 2 1 4 3 2 1 1 3 2 4 1 3 2 4 4 2 3 1 4 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4
3 2 1 4 3 1 2 4 3 2 1 4 3 1 2 4 2 4 3 1 2 3 4 1 2 4 3 1 2 3 4 1
因为第一类第一种和第二种都不牵涉进制的问题，可以放到一起研究，看看有没有可以求解出的幻方， 全均匀第一类第一种可设定为第（15）组合仅举一例其余可以用排列得出：
第（15）组合
1 3 4 2
4 2 1 3
2 4 3 1
3 1 2 4
第1对角线镜像
1 4 2 3
3 2 4 1
4 1 3 2
2 3 1 4
实践证明，全均匀分布第（15）组合与上面的14种组合无法构成幻方。
上面的所有的第一类前后方图的数阵都有一个规律，即重心块四个方图数字相加的和值为10，边角方图数字相加和值也为10，在下面所讲的第二类的前后方图也遵循这个规律。
二、前后方图重合求解四阶幻方
我们将上面的每一个组合如果有对角线镜像的上面的作为І，从左到右命为1,2,3……8，下面为ІІ，同样从左到右命为1,2,3……8。下面介绍前后方图重合的具体情况：
在这里只取前面组合与后面组合在数字上相同的或大一些的。
一组合(1)
（1）+（1）=16*8 І*ІІ ІІ*І
（1）+（2）=16*8 І*ІІ ІІ*І
（1）+（5）=16*8 І*ІІ ІІ*І
（1）+（8）=16*16 全组合都可以重合
二组合(2)
（2）+（2）=16*8 І*ІІ ІІ*І
（2）+（5）=16*8 І*ІІ ІІ*І
（2）+（10）=16*8 І*ІІ ІІ*І
（2）+（11）=16*2 І*ІІ(4,7) ІІ*І(4,7)
（2）+（12）=16*2 І*ІІ(1,5) ІІ*І(1,5)
（2）+（13）=16*2 І*ІІ(3,7) ІІ*І(3,7)
（2）+（14）=16*2 І*ІІ(1,8) ІІ*І(1,8)
三组合(3)
（3）+（6）=16*8 І*ІІ ІІ*І
（3）+（11）=16*2 І*ІІ(2,6) ІІ*І(2,6)
（3）+（14）=16*2 І*ІІ(3,6) ІІ*І(3,6)
四组合(4)
（4）+（7）=16*8 І*ІІ ІІ*І
（4）+（12）=16*2 І*ІІ(2,6) ІІ*І(2,6)
（4）+（13）=16*2 І*ІІ(2,6) ІІ*І(2,6)
五组合(5)
（5）+（5）=16*8 І*ІІ ІІ*І
（5）+（9）=16*8 І*ІІ ІІ*І
（5）+（11）=16*2 І*ІІ(1,6) ІІ*І(1,6)
（5）+（12）=16*2 І*ІІ(4,8) ІІ*І(4,8)
（5）+（13）=16*2 І*ІІ(1,6) ІІ*І(1,6)
（5）+（14）=16*2 І*ІІ(4,5) ІІ*І(4,5)
六组合(6)
（6）+（11）=16*2 І*ІІ(3,8) ІІ*І(3,8)
（6）+（14）=16*2 І*ІІ(2,7) ІІ*І(2,7)
七组合(7)
（7）+（12）=16*2 І*ІІ(3,7) ІІ*І(3,7)
（7）+（13）=16*2 І*ІІ(1,5) ІІ*І(1,5)
八组合(8)
（8）+（9）=16*4 І*ІІ(1,4,5,8) ІІ*І(1,4,5,8)
（8）+（10）=16*4 І*ІІ(1,4,5,8) ІІ*І(1,4,5,8)
九组合(9)
（9）+（10）=8*8 全组合
放到一个图表中进行重合，在其对应的地方写上重合的个数得出下列图表所示
4阶幻方前后方图第一类所有组合构造得出幻方图表如下：
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
1 |
16*8 |
16*8 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
16*16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
16*8 |
16*8 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*8 |
16*2 |
16*2 |
16*2 |
16*2 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*2 |
0 |
0 |
16*2 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*2 |
16*2 |
0 |
0 |
|
5 |
16*8 |
16*8 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
16*2 |
16*2 |
16*2 |
16*2 |
0 |
|
6 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*2 |
0 |
16*2 |
0 |
0 |
|
7 |
0 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*2 |
16*2 |
0 |
|
8 |
16*16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*4 |
16*4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
16*4 |
0 |
8*8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
10 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*4 |
8*8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
11 |
0 |
16*2 |
16*2 |
0 |
16*2 |
16*2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
12 |
0 |
16*2 |
0 |
16*2 |
16*2 |
0 |
16*2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
13 |
0 |
16*2 |
0 |
16*2 |
16*2 |
0 |
16*2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
14 |
0 |
16*2 |
16*2 |
0 |
16*2 |
16*2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
24*48 |
这个图表在以后的16阶幻方的内对齐外倍增法求解的时候作为每个小幻方块里面数字的抽取还将再一次应用到，以后章节会详细说明。
通过以上表格我们可求得第一类所有的构造4阶幻方个数
2*16*16=512
17*8*16=2176
2*8*8=128
4*16*4=256
1*24*48=1152
32*16*2=1024
合计5248个幻方图。
第三节
第二类第一种对角线互补前后方图具体解法
此类前方图中数字和值因牵涉进退1位，故其有两条边数字的合值为互补的9或11，下面分类以第一对角线做研究对象，分类讲一下，
第二类第一种前后方图非等和方图，这个只举前方图第一对角线和为9，另一条对角线和为11的方图，而后方图对应需要进位，所以第一对角线和为14，另一条对角线和为6的方图，另一类可以用左右镜像（或者用数字5减去数阵中的幻方数字，殊途同归）即可求得，在这里所有的和第二类第一种牵涉进制的后方图重合时都必须单独每一个论述，看是否遍历数字，如果遍历可得出幻方。
所有的第二类第一种前后方图的数阵和第一类相似，都有一个规律，即重心块四个方图数字相加的和值为10，边角方图数字相加和值也为10，在下面所罗列的第二类第一种的前后方图遵循这个规律。
一、前方图求解
每个组合都是对角线9-11分布，而其余的各边上数字和值都是10.
1）1134和2234组合
1 4 2 3 1 3 4 2 1 4 2 3 1 4 3 2 1 3 2 4 1 4 3 2 1 4 1 4 1 4 3 2
3 1 4 2 4 1 2 3 4 1 4 1 4 1 2 3 4 1 3 2 3 1 2 4 4 1 3 2 4 1 2 3
4 2 3 1 2 4 3 1 3 2 3 2 2 4 3 1 3 2 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 1 3 4 2
2 3 1 4 3 2 1 4 2 3 1 4 3 1 2 4 2 4 1 3 4 2 1 3 2 3 2 3 4 2 1 3
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻
1 2 4 3 1 4 3 2 1 2 4 3 1 3 4 2 1 2 3 4 1 3 4 2 1 1 4 4 1 3 4 2
4 3 2 1 2 3 4 1 3 3 2 2 2 3 4 1 3 4 2 1 2 4 3 1 3 4 2 1 1 4 3 2
3 4 1 2 4 2 1 3 4 4 1 1 4 2 1 3 4 3 1 2 3 2 1 4 4 3 1 2 4 2 1 3
2 1 3 4 3 1 2 4 2 1 3 4 3 2 1 4 2 1 4 3 4 1 2 3 2 2 3 3 4 1 2 3
（9） （10） (11) （12） （13） （14） （15） (16)
3 2 1 4 3 4 1 2 3 2 1 4 3 3 2 2 3 1 4 2 3 1 2 4 3 2 3 2 3 1 2 4
4 1 2 3 2 1 3 4 3 1 2 4 2 1 3 4 1 4 2 3 1 4 3 2 1 4 2 3 2 4 3 1
1 3 4 2 1 2 4 3 2 3 4 1 1 2 4 3 2 3 1 4 4 2 1 3 2 3 1 4 3 2 1 4
2 4 3 1 4 3 2 1 2 4 3 1 4 4 1 1 4 2 3 1 2 3 4 1 4 1 4 1 2 3 4 1
(17) （18） （19） （20） （21） （22） （23） （24）
4 2 1 3 4 3 1 2 4 1 2 3 4 3 1 2 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 3 2 4 2 1 3
3 1 2 4 2 1 4 3 3 1 2 4 1 1 4 4 1 3 4 2 1 3 2 4 2 3 2 3 1 3 4 2
1 4 3 2 1 2 3 4 1 4 3 2 2 2 3 3 3 2 1 4 2 4 1 3 1 4 1 4 3 2 1 4
2 3 4 1 3 4 2 1 2 4 3 1 3 4 2 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 2 4 1 2 3 4 1
（25） （26） （27） (28) (29) (30) (31) (32)
1 3 2 4 1 2 3 4 1 1 4 4 1 3 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 4 4 1 2 3 4
2 3 1 4 3 3 2 2 3 4 1 2 1 4 2 3 2 3 2 3 2 3 1 4 2 4 1 3 1 4 2 3
3 2 4 1 2 1 4 3 2 2 3 3 4 1 3 2 3 1 4 2 3 2 4 1 3 2 3 2 4 1 3 2
4 2 3 1 4 4 1 1 4 3 2 1 4 2 3 1 4 4 1 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1
（33） (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40)
2)1224和1334组合
1 4 4 1 1 3 2 4 1 4 4 1 1 2 3 4 1 4 2 3 1 3 2 4 1 2 4 3 1 3 2 4
3 2 3 2 4 2 3 1 2 2 3 3 4 2 3 1 3 2 1 4 4 2 3 1 3 2 1 4 2 2 3 3
2 3 2 3 4 3 2 1 3 3 2 2 4 3 2 1 2 3 4 1 2 1 4 3 2 3 4 1 4 1 4 1
4 1 1 4 1 3 2 4 4 1 1 4 1 3 2 4 4 1 3 2 3 4 1 2 4 3 1 2 3 4 1 2
(41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48)
1 4 2 3 1 4 1 4 1 2 4 3 1 4 1 4 1 2 4 3 1 2 3 4 1 2 4 3 1 1 4 4
4 2 1 3 4 2 3 1 4 2 1 3 2 2 3 3 2 4 3 1 2 4 1 3 1 4 3 2 2 4 1 3
1 3 4 2 2 1 4 3 1 3 4 2 4 1 4 1 3 1 2 4 4 3 2 1 4 1 2 3 4 3 2 1
4 1 3 2 3 3 2 2 4 3 1 2 3 3 2 2 4 3 1 2 3 1 4 2 4 3 1 2 3 2 3 2
(49) (50) (51) （52） （53） （54） （55） （56）
1 1 4 4 1 4 2 3 1 4 2 3 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 3 2 3 4 1 2 2 3 3
4 4 1 1 1 4 3 2 2 4 3 1 4 4 1 1 4 1 3 2 3 1 4 2 2 1 3 4 3 1 4 2
2 3 2 3 4 1 2 3 3 1 2 4 2 3 2 3 1 4 2 3 4 3 2 1 3 4 2 1 4 3 2 1
3 2 3 2 4 1 3 2 4 2 3 1 3 1 4 2 3 2 1 4 1 2 3 4 3 2 1 4 1 4 1 4
（57） （58） （59） （60） （61） （62） （63） （64）
2 4 3 1 2 4 1 3 2 4 3 1 2 2 3 3 2 1 3 4 2 4 1 3 2 1 3 4 2 3 2 3
4 1 3 2 4 1 4 1 2 1 3 4 4 1 4 1 4 2 1 3 1 2 3 4 3 2 1 4 1 2 3 4
1 4 2 3 3 3 2 2 3 4 2 1 3 3 2 2 1 3 4 2 3 1 4 2 2 3 4 1 3 1 4 2
3 1 2 4 1 2 3 4 3 1 2 4 4 1 1 4 3 4 2 1 4 3 2 1 3 4 2 1 4 4 1 1
（65） （66） （67） （68） （69） （70） （71） （72）
2 4 1 3 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 2 3 2 4 3 1 2 1 4 3 2 3 4 1 2 1 4 3
3 2 3 2 4 2 1 3 3 2 1 4 3 2 3 2 1 2 4 3 4 2 3 1 1 2 4 3 3 2 3 2
1 1 4 4 1 3 4 2 2 3 4 1 1 1 4 4 4 3 1 2 3 4 1 2 4 3 1 2 4 4 1 1
4 3 2 1 3 2 4 1 3 2 4 1 4 4 1 1 3 1 2 4 1 3 2 4 3 2 1 4 1 3 2 4
(73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80)
2 4 3 1 2 3 2 3 2 3 4 1 2 3 2 3 2 3 1 4 2 1 4 3 2 1 3 4 2 2 3 3
3 2 4 1 4 2 3 1 3 2 4 1 3 2 3 2 1 4 3 2 3 4 1 2 1 4 3 2 1 4 1 4
2 3 1 4 3 4 1 2 2 3 1 4 4 4 1 1 4 1 2 3 1 3 2 4 4 1 2 3 3 3 2 2
3 1 2 4 1 1 4 4 3 2 1 4 1 1 4 4 3 2 4 1 4 2 3 1 3 4 2 1 4 2 3 1
(81) (82) （83） (84) (85) (86) (87) (88)
2 3 1 4 2 2 3 3 2 1 3 4 2 2 3 3 4 2 3 1 4 2 1 3 4 2 3 1 4 1 2 3
2 4 3 1 3 4 1 2 2 4 3 1 1 4 1 4 2 1 4 3 2 1 3 4 1 1 4 4 2 1 3 4
3 1 2 4 1 3 2 4 3 1 2 4 3 3 2 2 1 3 2 4 3 4 2 1 2 3 2 3 3 4 2 1
3 2 4 1 4 1 4 1 3 4 2 1 4 1 4 1 3 4 1 2 1 3 4 2 3 4 1 2 1 4 3 2
(89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96)
4 2 1 3 4 4 1 1 4 4 1 1 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 1 4 1 2 3 4 3 2 1
4 1 3 2 2 1 4 3 1 1 4 4 4 1 3 2 1 2 4 3 1 2 3 4 3 2 4 1 1 2 3 4
1 4 2 3 1 3 2 4 2 3 2 3 1 4 2 3 4 3 1 2 2 4 1 3 2 3 1 4 2 4 1 3
1 3 4 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 3 3 2 2 1 4 3 2 3 1 4 2
（97） （98） （99） （100） （101） （102） （103） (104)
4 2 1 3 4 3 2 1 4 2 1 3 4 1 4 1 4 3 2 1 4 1 1 4 4 2 3 1 4 1 1 4
3 2 4 1 2 2 3 3 1 2 4 3 2 2 3 3 1 2 3 4 3 2 3 2 1 2 3 4 2 2 3 3
2 3 1 4 1 4 1 4 4 3 1 2 1 4 1 4 1 3 2 4 2 3 2 3 1 3 2 4 3 3 2 2
1 3 4 2 3 1 4 2 1 3 4 2 3 3 2 2 4 2 3 1 1 4 4 1 4 3 2 1 1 4 4 1
(105） （106） (107) (108) (109) (110) (111) (112)
2 1 4 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 1 3 2 1 4 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 4 1 3
3 4 1 2 1 4 4 1 4 1 1 4 3 1 4 2 2 4 1 3 1 4 4 1 4 1 1 4 2 1 4 3
2 4 1 3 4 1 1 4 1 4 4 1 2 1 4 3 3 4 1 2 4 1 1 4 1 4 4 1 3 1 4 2
3 1 4 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 1 2 3 1 4 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 4 1 2
（113） （114） （115） （116） (117) (118) (119) (120)
3）1233和1244组合
1 3 2 4 1 3 4 2 1 4 1 4 1 3 4 2 1 4 3 2 1 2 3 4 1 4 3 2 1 1 4 4
3 2 4 1 3 2 1 4 3 2 4 1 4 2 1 3 2 3 4 1 4 3 1 2 1 3 4 2 4 3 1 2
4 1 3 2 2 4 3 1 4 1 3 2 1 4 3 2 3 1 2 4 3 4 2 1 4 1 2 3 3 4 2 1
2 4 1 3 4 1 2 3 2 3 2 3 4 1 2 3 4 2 1 3 2 1 4 3 4 2 1 3 2 2 3 3
（121） （122） （123） （124） （125） （126） （127） （128）
2 3 4 1 2 3 1 4 2 4 3 1 2 3 1 4 2 4 3 1 2 1 3 4 2 3 4 1 2 1 3 4
3 1 2 4 3 1 4 2 3 1 2 4 4 1 4 1 1 3 4 2 4 3 2 1 1 3 4 2 3 3 2 2
1 4 3 2 4 2 3 1 1 4 3 2 3 2 3 2 3 2 1 4 3 4 1 2 3 2 1 4 4 4 1 1
4 2 1 3 1 4 2 3 4 1 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 1 2 4 3 4 2 1 3 1 2 4 3
(129) (130) （131） （132） (133) (134) (135) (136)
3 4 2 1 3 2 1 4 3 4 2 1 3 1 2 4 3 4 1 2 3 1 2 4 3 3 2 2 3 1 2 4
2 1 4 3 4 1 2 3 1 1 4 4 4 1 2 3 1 2 4 3 4 2 1 3 1 2 4 3 3 2 1 4
1 2 3 4 2 4 3 1 2 2 3 3 2 4 3 1 2 1 3 4 1 4 3 2 2 1 3 4 2 4 3 1
4 3 1 2 1 3 4 2 4 3 1 2 1 4 3 2 4 3 2 1 2 3 4 1 4 4 1 1 2 3 4 1
（137） （138） （139） （140） （141） （142） （143） （144）
3 2 4 1 3 1 2 4 3 2 4 1 3 2 1 4 3 2 1 4 3 1 4 2 3 2 1 4 3 2 3 2
1 3 2 4 2 3 4 1 2 3 2 3 2 3 4 1 1 3 4 2 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 1 4
2 4 1 3 4 2 1 3 1 4 1 4 4 2 1 3 4 1 2 3 1 4 2 3 3 1 2 4 1 4 2 3
4 1 3 2 1 4 3 2 4 1 3 2 1 3 4 2 2 4 3 1 4 2 3 1 2 4 3 1 4 1 4 1
（145） （146） （147） （148） （149） （150） （151） （152）
4） 1134和1244组合
3 3 2 2 3 4 2 1 3 3 2 2 3 2 4 1 3 2 3 2 3 4 2 1 3 2 3 2 3 2 4 1
4 1 4 1 3 1 4 2 2 1 4 3 3 1 4 2 4 1 4 1 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3
2 4 1 3 2 4 1 3 4 4 1 1 2 4 1 3 2 4 1 3 3 4 1 2 4 4 1 1 3 4 1 2
1 2 3 4 2 1 3 4 1 2 3 4 2 3 1 4 1 3 2 4 2 1 3 4 1 3 2 4 2 3 1 4
（153） （154） (155) (156) （157） （158） （159） （160)
4 3 1 2 4 2 3 1 4 3 1 2 4 3 2 1 4 1 3 2 4 2 3 1 4 3 2 1 4 1 3 2
2 1 4 3 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 2 1 4 3 1 1 4 4 1 1 4 4 3 1 4 2
3 4 1 2 1 4 1 4 2 4 1 3 1 4 1 4 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 4 3 1
1 2 4 3 2 3 2 3 1 2 4 3 2 2 3 3 1 4 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 1 4 2 3
（161） （162） （163） （164） （165） （166） （167） (168)
1 2 3 4 1 4 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 1 4 1 3 2 4 1 3 2 4
3 4 2 1 2 3 2 3 2 4 1 3 4 3 1 2 4 3 1 2 3 3 2 2 3 4 1 2 3 4 2 1
2 1 3 4 3 1 4 2 3 2 3 2 1 2 4 3 1 2 4 3 2 1 4 3 2 2 3 3 2 1 3 4
4 3 2 1 4 2 3 1 4 1 4 1 4 3 2 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 1 4 1 4 2 3 1
（169） （170） （171） （172） （173） （174） （175） （176）
5）1233和2234组合
1 4 1 4 1 4 2 3 1 1 4 4 1 4 2 3 1 4 1 4 1 2 4 3 1 1 4 4 1 2 4 3
4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 1 3 2 4 2 3 2 3 4 3 2 1 2 3 2 3 1 3 2 4
2 2 3 3 1 2 3 4 2 2 3 3 4 2 3 1 4 2 3 1 1 2 3 4 4 2 3 1 4 2 3 1
3 1 4 2 4 1 3 2 3 4 1 2 4 1 3 2 3 1 4 2 4 3 1 2 3 4 1 2 4 3 1 2
（177） (178) (179) (180) (181) (182) (183) (184)
2 3 1 4 2 1 4 3 2 1 3 4 2 1 4 3 2 3 1 4 2 4 1 3 2 1 3 4 2 4 1 3
1 3 2 4 3 3 2 2 1 3 2 4 1 3 2 4 4 3 2 1 3 3 2 2 4 3 2 1 1 3 2 4
4 2 3 1 1 2 3 4 4 2 3 1 3 2 3 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 3 2
3 2 4 1 4 4 1 1 3 4 2 1 4 4 1 1 3 2 4 1 4 1 4 1 3 4 2 1 4 1 4 1
(185) (186) (187) (188) (189) (190) (191) (192)
3 4 1 2 3 2 3 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 4 2 3 2 3 2 3 1 4 2 3 4 1 2
2 1 3 4 4 1 4 1 4 1 3 2 4 1 4 1 2 1 3 4 1 1 4 4 4 1 2 3 1 1 4 4
3 4 2 1 1 3 2 4 1 4 2 3 1 3 2 4 3 4 2 1 4 3 2 1 1 4 2 3 4 3 2 1
2 1 4 3 2 4 1 3 2 1 4 3 2 2 3 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 2 3 3
(193) (194) (195) (196) (197) (198) (199) (200)
3 1 4 2 3 4 1 2 3 3 2 2 3 4 1 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 3 2 2 3 1 4 2
4 2 3 1 1 2 4 3 4 2 3 1 3 2 4 1 1 2 3 4 1 2 4 3 1 2 3 4 3 2 4 1
1 4 1 4 4 3 1 2 1 4 1 4 2 3 1 4 4 4 1 1 4 3 1 2 4 4 1 1 2 3 1 4
2 3 2 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 3 2 3 2 4 1 3 2 1 4 3 2 4 1 3
(201) (202) (203) (204) (205) (206) (207) (208)
6）1134和1334组合为0个
7）1134和2333组合为0个
8)1224和1244组合为0个
9）1224和2333组合为0个
10）1224和2234组合为0个
11）1233和1334组合为0个
12）2223和2333组合为0个
13）2223和1244组合为0个
14）2223和1334组合为0个
综上所述：对角线9-11的前方图组合共有208个
二、第二类第一种对角线互补后方图解法
此类方图因为在前方图牵涉进退1位，所以相对应的后方图的边需要互补，即大的对小的，小的对大的，换句话说前方图对应的边和是9，则后方图对应的边的和值需要以4当进位的1，所以对应边的和值为14，同理如果边上和值为11，则对应后方图边上和值为6，下面以对角线举例，因为前面讲的前方图中左上到右下对角线和值是9，所以在这里求出的后方图对应的对角线和值为14，满足进位后重合求出数字幻方的十进制数字和值相等原则，另一类也像上面所讲可以用左右镜像（或者用数字5减去数阵中的幻方数字）求得分类讲一下，
1）2444和1113组合
2 4 3 1 2 2 3 3 2 4 3 1 2 3 2 3 2 3 4 1 2 2 3 3 2 3 4 1 2 3 2 3
2 4 1 3 4 4 1 1 3 4 1 2 4 4 1 1 2 4 1 3 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2
3 1 4 2 3 1 4 2 2 1 4 3 3 1 4 2 3 1 4 2 4 1 4 1 2 1 4 3 4 1 4 1
3 1 2 4 1 3 2 4 3 1 2 4 1 2 3 4 3 2 1 4 1 3 2 4 3 2 1 4 1 2 3 4
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻
4 4 1 1 4 3 2 1 4 4 1 1 4 2 3 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 2 3 1
3 2 3 2 4 2 1 3 2 2 3 3 4 2 1 3 3 2 3 2 3 2 1 4 2 2 3 3 3 2 1 4
2 1 4 3 1 3 4 2 3 1 4 2 1 3 4 2 2 1 4 3 2 3 4 1 3 1 4 2 2 3 4 1
1 3 2 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 4 1 4 1 2 3 4 1 4 1 4 1 3 2 4
⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀ ⒁ ⒂ ⒃
4 3 2 1 4 2 3 1 4 3 2 1 4 1 4 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 1 4 1
2 4 3 1 3 4 1 2 1 4 3 2 3 4 1 2 2 4 3 1 2 4 1 3 1 4 3 2 2 4 1 3
3 1 2 4 2 3 2 3 4 1 2 3 2 3 2 3 3 1 2 4 3 3 2 2 4 1 2 3 3 3 2 2
1 2 3 4 1 1 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 1 4 4 1 3 2 4 1 2 3 4
⒄ ⒅ ⒆ ⒇ （21） （22） （23） （24）
4 2 3 1 4 2 1 3 4 2 3 1 4 1 2 3 4 3 2 1 4 2 1 3 4 3 2 1 4 1 2 3
2 4 1 3 2 4 1 3 1 4 1 4 2 4 1 3 2 4 1 3 3 4 1 2 1 4 1 4 3 4 1 2
1 1 4 4 3 1 4 2 2 1 4 3 3 1 4 2 1 1 4 4 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3
3 3 2 2 1 3 4 2 3 3 2 2 1 4 3 2 3 2 3 2 1 3 4 2 3 2 3 2 1 4 3 2
（25） （26） （27） （28） （29） （30） （31） （32）
2）3344+1122组合
3 4 2 1 3 4 1 2 3 4 2 1 3 2 3 2 3 2 4 1 3 4 1 2 3 2 4 1 3 2 3 2
4 3 1 2 4 3 2 1 2 3 1 4 4 3 2 1 4 3 1 2 2 3 2 3 2 3 1 4 2 3 2 3
1 2 4 3 2 1 4 3 3 2 4 1 2 1 4 3 1 2 4 3 4 1 4 1 3 2 4 1 4 1 4 1
2 1 3 4 1 2 3 4 2 1 3 4 1 4 1 4 2 3 1 4 1 2 3 4 2 3 1 4 1 4 1 4
（33） （34） (35) (36) (37) (38) (39) (40)
3 2 4 1 3 1 4 2 3 4 2 1 3 1 4 2 3 2 4 1 3 3 2 2 3 4 2 1 3 3 2 2
1 4 2 3 2 4 3 1 1 4 2 3 4 4 1 1 3 4 2 1 2 4 1 3 3 4 2 1 4 4 1 1
4 1 3 2 4 2 3 1 4 1 3 2 2 2 3 3 2 1 3 4 4 2 3 1 2 1 3 4 2 2 3 3
2 3 1 4 1 3 2 4 2 1 3 4 1 3 2 4 2 3 1 4 1 1 4 4 2 1 3 4 1 1 4 4
（41） (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48)
3 1 4 2 3 2 3 2 3 1 4 2 3 3 2 2 3 4 1 2 3 2 3 2 3 4 1 2 3 3 2 2
2 4 1 3 1 4 1 4 3 4 1 2 1 4 1 4 2 4 1 3 4 4 1 1 3 4 1 2 4 4 1 1
3 1 4 2 4 1 4 1 2 1 4 3 4 1 4 1 3 1 4 2 1 1 4 4 2 1 4 3 1 1 4 4
2 4 1 3 2 3 2 3 2 4 1 3 2 2 3 3 2 1 4 3 2 3 2 3 2 1 4 3 2 2 3 3
(49) （50） （51） （52） （53） （54） （55） （56）
4 4 1 1 4 2 3 1 4 4 1 1 4 3 2 1 4 1 4 1 4 2 3 1 4 1 4 1 4 3 2 1
2 3 2 3 4 3 2 1 3 3 2 2 4 3 2 1 2 3 2 3 1 3 2 4 3 3 2 2 1 3 2 4
3 2 3 2 1 2 3 4 2 2 3 3 1 2 3 4 3 2 3 2 4 2 3 1 2 2 3 3 4 2 3 1
1 1 4 4 1 3 2 4 1 1 4 4 1 2 3 4 1 4 1 4 1 3 2 4 1 4 1 4 1 2 3 4
(57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64)
4 3 1 2 4 2 3 1 4 1 3 2 4 2 3 1 4 3 1 2 4 4 1 1 4 1 3 2 4 4 1 1
2 3 1 4 3 3 2 2 2 3 1 4 1 3 2 4 4 3 1 2 3 3 2 2 4 3 1 2 1 3 2 4
3 2 4 1 1 1 4 4 3 2 4 1 3 1 4 2 1 2 4 3 1 1 4 4 1 2 4 3 3 1 4 2
1 2 4 3 2 4 1 3 1 4 2 3 2 4 1 3 1 2 4 3 2 2 3 3 1 4 2 3 2 2 3 3
(65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72)
4 3 1 2 4 3 2 1 4 3 1 2 4 1 4 1 4 1 3 2 4 3 2 1 4 1 3 2 4 1 4 1
3 4 2 1 3 4 1 2 1 4 2 3 3 4 1 2 3 4 2 1 1 4 1 4 1 4 2 3 1 4 1 4
2 1 3 4 1 2 3 4 4 1 3 2 1 2 3 4 2 1 3 4 3 2 3 2 4 1 3 2 3 2 3 2
1 2 4 3 2 1 4 3 1 2 4 3 2 3 2 3 1 4 2 3 2 1 4 3 1 4 2 3 2 3 2 3
(73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80)
3)2444+1122组合无法满足余边上和相等，故为0个
4)3344+1113组合无法满足余边上和相等，故为0个
综上所述：对角线为14-6的后方图共有80个
下面的图表即为重合后所得的幻方
以 前方图（1）和后方图(7)重合为例子
4阶幻方数字图
12 43 24 31
33 14 41 22
42 21 34 13
23 32 11 44
（1）
在此幻方中幻方数字遍历幻方成立。
十进制数字
2 15 8 9
11 4 13 6
14 5 12 3
7 10 1 16
十进制幻方成立
同理，对于前方图第一、第二对角线11-9分布的，其对应的后方图的第一、第二对角线就应该对应6-14分布，
其可看做上面求出的9-11分布的左右镜像。
以上面的4阶幻方（1）举例如下
（1）左右镜像
31 24 43 12
22 41 14 33
13 34 21 42
44 11 32 23
十进制幻方
9 8 15 2
6 13 4 11
3 12 5 14
16 1 10 7
幻方成立 。
|
|
|
前方图 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
|
对角线14 6 分布 后方图
|
7 14 50 61 |
8 13 49 62 |
5 54 63 |
6 53 64 |
7 14 50 61 |
8 13 49 62 |
16 52 57 |
15 51 58 |
1 21 56 59 |
2 22 55 60 |
3 52 57 |
4 51 58 |
1 21 56 59 |
2 22 55 60 |
17 54 63 |
18 53 64 |
11 25 55 60 |
12 26 56 59 |
9 53 64 |
10 54 63 |
19 32 50 61 |
20 31 49 62 |
|
幻方个数 |
4 |
4 |
3 |
3 |
4 |
4 |
3 |
3 |
4 |
4 |
3 |
3 |
4 |
4 |
3 |
3 |
4 |
4 |
3 |
3 |
4 |
4 |
下面第一、第二与14-6组成幻方的图表(下面上面一行数字为对角线9-11分布前方图)
前方图对角线分布为互补第一对角线和值9-第二对角线和值11，其余各边和值相同为10.
|
前方图 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
|
后方图 |
23 52 57 |
24 51 58 |
11 25 55 60 |
12 26 56 52 |
29 51 58 |
30 52 57 |
20 31 49 62 |
19 32 50 61 |
28 53 63 |
27 53 64 |
7 32 40 80 |
8 31 39 79 |
8 31 39 79 |
7 32 40 80 |
4 29 37 77 |
3 30 38 78 |
4 29 37 77 |
3 30 38 78 |
10 12 17 21 36 48 70 76 |
9 11 18 22 35 47 69 75 |
14 16 19 23 40 46 72 80 |
13 15 20 24 39 45 71 79 |
|
幻方个数 |
3 |
3 |
4 |
4 |
3 |
3 |
4 |
4 |
3 |
3 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
8 |
8 |
8 |
8 |
|
前方图 |
45
|
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
|
后方图 |
12 26 56 59 |
11 25 55 60 |
10 28 54 63 |
9 27 53 64 |
16 30 52 57 |
15 50 51 58 |
14 32 40 50 61 80 |
13 31 49 62 79 39 |
19 32 50 61 |
20 31 49 62 |
17 28 54 63 |
18 27 53 64 |
22 25 47 55 60 69 |
21 26 48 56 59 70 |
23 30 52 57 |
24 29 51 58 |
1 21 56 59 |
2 22 55 60 |
3 23 52 57 |
4 24 51 58 |
|
幻方个数 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
6 |
6 |
4 |
4 |
4 |
4 |
6 |
6 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
|
前方图 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
|
后方图 |
5 17 54 63 |
6 18 53 64 |
7 19 40 50 61 80 |
8 20 39 49 62 79 |
7 14 50 61 |
8 13 49 62 |
5 10 54 63 |
6 9 53 64 |
4 15 51 58 |
3 16 52 57 |
1 12 48 56 59 70 |
2 11 47 55 60 69 |
7 14 50 61 |
8 13 49 62 |
3 16 52 57 |
4 15 51 58 |
5 10 54 63 |
6 9 53 64 |
1 12 48 56 59 70 |
2 11 47 55 60 69 |
|
幻方个数 |
4 |
4 |
6 |
6 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
6 |
6 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
6 |
6 |
|
前方图 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
101 |
102 |
103 |
104 |
|
后方图 |
1 21 56 59 |
2 22 55 60 |
5 17 54 63 |
6 18 53 64 |
3 23 52 57 |
4 24 51 58 |
7 19 40 50 61 80 |
8 20 39 49 62 79 |
20 31 49 62 |
19 32 50 61 |
24 29 51 58 |
23 30 52 57 |
17 28 54 63 |
18 27 53 64 |
22 25 47 55 60 69 |
21 26 48 56 59 70 |
16 30 52 57 |
15 29 51 58 |
12 26 56 59 |
11 25 55 60 |
|
幻方个数 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
6 |
6 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
6 |
6 |
4 |
4 |
4 |
4 |
|
前方图 |
105 |
106 |
107 |
108 |
109 |
110 |
111 |
112 |
113 |
114 |
115 |
116 |
117 |
118 |
119 |
120 |
121 |
122 |
123 |
124 |
|
后方图 |
10 28 54 63 |
9 27 53 64 |
14 32 40 50 61 80 |
13 31 39 49 62 79 |
9 11 18 22 35 47 69 75 |
10 12 17 21 36 48 70 76 |
13 15 20 24 39 45 71 79 |
14 16 19 23 40 46 72 80 |
2 4 25 29 37 47 69 77 |
1 3 26 30 38 48 70 78 |
1 3 26 30 38 48 70 78 |
2 4 25 29 37 47 69 77 |
6 8 27 31 39 43 65 79 |
5 7 28 32 40 44 66 80 |
5 7 28 32 40 44 66 80 |
6 8 27 31 39 43 65 79 |
19 32 50 61 |
20 31 49 62 |
23 52 57 |
24 51 58 |
|
幻方个数 |
4 |
4 |
6 |
6 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
4 |
4 |
3 |
3 |
|
前方图 |
125 |
126 |
127 |
128 |
129 |
130 |
131 |
132 |
133 |
134 |
135 |
136 |
137 |
138 |
139 |
140 |
141 |
142 |
143 |
144 |
|
后方图 |
11 25 55 60 |
12 26 56 59 |
9 53 64 |
10 54 63 |
20 31 49 62 |
19 32 50 61 |
27 53 64 |
28 54 63 |
11 25 55 60 |
12 26 56 59 |
29 51 58 |
30 52 57 |
1 21 56 59 |
2 22 55 60 |
3 52 57 |
4 51 58 |
1 21 56 59 |
2 22 55 60 |
17 54 63 |
18 53 64 |
|
幻方个数 |
4 |
4 |
3 |
3 |
4 |
4 |
3 |
3 |
4 |
4 |
3 |
3 |
4 |
4 |
3 |
3 |
4 |
4 |
3 |
3 |
|
前方图 |
145 |
146 |
147 |
148 |
149 |
150 |
151 |
152 |
153 |
154 |
155 |
156 |
157 |
158 |
159 |
160 |
161 |
162 |
163 |
164 |
|
后方图 |
7 14 50 61 |
8 13 49 62 |
5 54 63 |
6 53 64 |
8 13 49 62 |
7 14 50 61 |
15 51 58 |
16 52 57 |
15 24 45 71 |
16 23 46 72 |
13 20 39 79 |
14 19 40 80 |
11 22 47 69 |
12 21 48 70 |
9 18 35 75 |
10 17 36 76 |
12 21 48 70 |
11 22 47 69 |
16 23 46 72 |
15 24 45 71 |
|
幻方个数 |
4 |
4 |
3 |
3 |
4 |
4 |
3 |
3 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
|
前方图 |
165 |
166 |
167 |
168 |
169 |
170 |
171 |
172 |
173 |
174 |
175 |
176 |
177 |
178 |
179 |
180 |
181 |
182 |
183 |
184 |
|
后方图 |
10 17 36 76 |
9 18 35 75 |
13 20 39 79 |
14 19 40 80 |
1 26 48 70 |
2 25 47 69 |
2 25 47 69 |
1 26 48 70 |
5 28 44 66 |
6 27 43 65 |
6 27 43 65 |
1 26 48 70 |
9 18 35 75 |
10 17 36 76 |
13 20 39 79 |
14 19 40 80 |
11 22 47 69 |
12 21 48 70 |
15 24 45 71 |
16 23 43 72 |
|
幻方个数 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
|
前方图 |
185 |
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187 |
188 |
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190 |
191 |
192 |
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195 |
196 |
197 |
198 |
199 |
200 |
201 |
202 |
203 |
204 |
|
后方图 |
14 19 40 80 |
13 20 39 79 |
16 23 46 72 |
15 24 45 71 |
10 17 36 76 |
9 18 35 75 |
12 21 48 70 |
11 22 47 69 |
1 6 48 70 |
2 25 47 69 |
3 30 38 78 |
4 29 37 77 |
5 28 44 66 |
6 27 43 65 |
7 32 40 80 |
8 31 39 79 |
2 25 47 69 |
1 26 48 70 |
6 27 43 65 |
5 28 44 66 |
|
幻方个数 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
|
前方图 |
205 |
206 |
207 |
208 |
|
后方图 |
4 29 37 77 |
3 30 38 78 |
7 32 40 80 |
8 31 39 79
|
|
幻方个数 |
4 |
4 |
4 |
4 |
由上面图标可以求出9-11分布前方图共有3*32+4*144+6*16+8*16=896个同理求出这些外，在数字幻方图形再左右镜像（或用17去减即可求出11-9分布的幻方）两个相加为896*2=1792种。
这样加上上面5248个一共有7040个，应用计算机得出是7040个幻方全部解出，希望有兴趣大家计算机编程验证一下，欢迎指正。
在上面的举例中我们发现其对角线互补出现，单边对角线没有幻方，有兴趣的同学，可以自己验证。
第四章
乘法求解幻方
如何由已知的知识求解出未知的领域，将上面所求出的幻方应用于其他幻方的求解，在这里介绍一下乘法求解幻方，我们知道在大于等于3的数字里，我们将其分成了两类一类是素数，大于等于3的话全部为奇数，我们在上面章节里已经将前后方图的快速求解方法给出来了，在这里不再做介绍，而另一类是合数，合数又分为两大类，一类为偶数，一种为奇数，奇数合数的求解直接用乘法就可快速求解，例如其中最小的奇数合数是9，9可以分成两个乘因子3,3阶幻方已经在上面章节求解出来，对于偶数合数我们又将其分成三小类，第一小类是双奇数合数，即其乘因子为一个奇数，而另一个乘因子2，这一类别用乘法无法求解，在以后倍增法求解的章节会着重讲解，第二小类为偶数，其中一个乘因子为奇数，而另一个乘因子为4或4的倍数，这一种类可以用乘法快速求解，还有第三小类是所有的乘因子为2，其数值为2的方次的，如4,8,16等等，这一种除了4阶外，其余各种除乘法，倍增法外，还有一种内对齐后的外倍增法，在以后章节详细讲述，下面介绍一下乘法求解幻方。
第一节
最简单的奇数合数9阶幻方的快速求解
奇数9是一个合数，可以分解为3*3两个素因子，即两个乘因子3。
用乘法快速求解9阶幻方方法，9阶幻方中的分成3乘以3，用3阶幻方作为其中的一个小幻方再乘以3阶幻方求出，换一句话说就是以9当1，也就是说1-9这9个数做一个小幻方块，放在外面大幻方数字1的位置，一直到73-81放在外面大幻方数字9的位置可以用连续法求出，也可以以1当9，用同余数法，将余数为1的9个数即抽取1,10,19,28,37,46,55,64,73安排到外面大幻方数字1的位置，一直到抽取9,18,27,36,35,54,63,72,81安排到外面大幻方数字9的位置在进行排列，即可求解出9阶幻方。
举例如下：
用一个3阶幻方求出9阶幻方，下面以九宫图举例：
2 9 4
7 5 3
6 1 8
(1)
这里（1）可以做小幻方块内的具体单个数字排列也可作为大幻方中数字组的排列
1）乘法连续法求9阶幻方即以9当1方法
（1）*（1）
11 18 13 74 81 76 29 36 31
16 14 12 79 77 75 34 32 30
15 10 17 78 73 80 33 28 35
56 63 58 38 45 40 20 27 22
61 59 57 43 41 39 25 23 21
60 55 62 42 37 44 24 19 26
47 54 49 2 9 4 65 72 67
52 50 48 7 5 3 70 68 66
51 46 53 6 1 8 69 64 71
（1）
之所以间隔这么大，其实是为了各位读者能很好地理解以9当1这就是个例子。为便于理解用a*b表示两个幻方相乘组成c幻方，左上的a的平方数字组成的小幻方，叫做后面b小幻方上面数字号小幻方，在9阶幻方中，左上3阶小幻方由9个数组成叫做2号小幻方，很快的求出了9阶幻方，这里知道的3阶幻方为8个，那么这样每个以9当1的小格里可有8种不同的小幻方，而且后面总的大幻方也有8种不同幻方，这样就可得到10个8连续相乘个幻方也就是1073741824个幻方。而在此例中除了后面3阶幻方中的5号小幻方由于位于两条对角线的中央必须保持所有边和对角线都相加和数相同外，其余如2号、4号、6号、8号，只需要保持一条对角线相加相同外，另一条对角线无要求，那其组合远远超过8种，，而1号，3号，7号，9号小幻方则对角线无要求，所以组合将更多，这些组合在以后章节会叙述，这里只简单一介绍，对于每一小幻方填充数字除了连续外，还有同余数和等差排列数字（连续排列也可作为等差中的一种等差方式，是最大数值的等差排列方法）2种方法。连续法又称为收缩法即每9个连续数可收缩为1个数字组合。而同余法又可称为膨胀法，即1个数字可膨胀为9个数字。
2)乘法同余法求9阶幻方即以1当9方法
下面再介绍同余数填充方法：
先求出1到9各组同余数，比方在1号小幻方里9个数字为81个9阶幻方十进制数字除以9余1的数字，是1,10,19,28,37,46,55,64,73这9个数，同理可求出2号、3号小幻方组成数字，各位如有兴趣可以书写一个9*9数阵，纵向从1写到9后再起一列从10继续书写，写完后第1行即为1号小幻方里的9个数，第2行就是2号小幻方里的数字，以此类推，不再详述。
同上图还是用九宫图举例如下：
2 9 4
7 5 3
6 1 8
(1)
以（1）举例
11 74 29 18 81 36 13 76 31
56 38 20 63 45 27 58 40 22
47 2 65 54 9 72 49 4 67
16 79 34 14 77 32 12 75 30
61 43 25 59 41 23 57 39 21
52 7 70 50 5 68 48 3 66
15 78 33 10 73 28 17 80 35
60 42 24 55 37 19 62 44 26
51 6 69 46 1 64 53 8 71
（1）
这就是同余法。也就是将1个数膨胀为9个数，简称以1当9。
在这里除了上面所说的两种方法外，还有等差法抽取数字求幻方。
3）等差排列方法
每连续或同余的3个数字排列为一组编号后再将3组为一个组合 ，其中等差的作为研究对象。
举一例子：连续123作为1，一直到79,80,81为27。这27组数字以组号当做一个数字再进行组合，得出差0组合一直到差9组合（其中的连续法差9组合即第一例所述连续法）在6阶幻方求解中着重介绍，在这不详谈。
（1）差0即等差组合很多种只举一例,在后面的6阶幻方倍增方图的介绍中有详细说明
1，16,25 2,17,23 3,13,26 4,18,20 5,10,27 6，15,21 7,11,24 8,12，22 9,14,19
由于牵涉到两条对角线，所以在大幻方中需要两条对角线和值和所有边的都相同，这点需注意，快速求解的话把中值带13组合的作为中间5号小幻方其余只要注意左下到右上对角线上的三个小幻方的中值3个数组合值相加为39即可，另一条对角线因等差分布所以其相应对角线不需再要求和值。剩余的小幻方因其差0组合随便填入剩余的方格里，即可快速求出，在这里不在举例。
（2）差1组合很多种组合为排列9种，只举一例，在后面的6阶幻方倍增方图的介绍中有详细说明
1,10,27 2,11，26 3,12,25 4,13,24 5,14,23 6,15,22 7,16,21 8，17,20 9,18,19
其安排方法为将其按从小到大顺序作为1,2,3……9，每一个小幻方块里的３个数字每个数字代表连续的或同余的３个数字比方第一组1,10,27，连续法为1,2,3、28,29,30、79,80,81这9个数字，同余法是除27，余1即为1,28,55，余10的为10,37,,64，余27的就是余0的在幻方里没有余0概念，为余27,3个数字为27,54,81。抽取玩数字后，再按照3阶幻方图进行数字排列。
（3）其余差值不再详述，可详见6阶幻方求解章节中的倍增法数字抽取。
第二节
偶数12阶幻方求解
12阶幻方中的12可以分成3乘以4，用3阶幻方乘以4阶幻方求出，也可以用4阶幻方乘以3阶幻方，换一句话说就是以9当1，或以16当1，在这些里面，可以用连续填充或者同余数以及等差法填充，下面以连续法举一个例子以3阶幻方和4阶幻方为例求解12阶幻方。
2 9 4 7 9 2 16
7 5 3 14 4 11 5
6 1 8 12 6 13 3
1 15 8 10
（1） （2）
连续方法：
（1）*（2）可求出第一个12阶幻方（3*4方法），即以9当1
56 63 58 74 81 76 11 18 13 137 144 139
61 59 57 79 77 75 16 14 12 142 140 138
60 55 62 78 73 80 15 10 17 141 136 143
119 126 121 29 36 31 92 99 94 38 45 40
124 122 120 34 32 30 97 95 93 43 41 39
123 118 125 33 28 35 96 91 98 42 37 44
101 108 103 47 54 49 110 117 112 20 27 22
106 104 102 52 50 48 115 113 111 25 23 21
105 100 107 51 46 53 114 109 116 24 19 26
2 9 4 128 135 130 65 72 67 83 90 85
7 5 3 133 131 129 70 68 66 88 86 84
6 1 8 132 127 134 69 64 71 87 82 89
（1）
（2）*（1）可求出第一个12阶幻方（4*3方法）
23 25 18 32 135 137 130 144 55 57 50 64
30 20 27 21 142 132 139 133 62 52 59 53
28 22 29 19 140 134 141 131 60 54 61 51
17 31 24 26 129 143 136 138 49 36 56 58
103 105 98 112 71 73 66 80 39 41 34 48
110 100 107 101 78 68 75 69 46 36 43 37
108 102 109 99 76 70 77 67 44 38 45 35
97 111 104 106 65 79 72 74 33 47 40 42
87 89 82 96 7 9 2 16 119 121 114 128
94 84 91 85 14 4 11 5 126 116 123 117
92 86 93 83 12 6 13 3 124 118 125 115
81 95 88 90 1 15 8 10 112 127 120 122
（2）
这里就简单的介绍一下，4阶幻方有7040种组合，而3阶幻方有8种组合，快速求解的话，（2）*（1）就有9个7040连续相乘（即7040的9次方个）再与8相乘，不再描述。而（1）*（2）就有16个8相乘然后再乘7024个，数字不再详述，在以下章节着重介绍倍增法求解4阶和6阶幻方。
同余方法和等差方法不再详细介绍。
第五章
倍增法求解偶数幻方
对于大于4的偶数阶幻方我们可用倍增法求解其幻方，而4阶幻方中的许多组前后方图可以作为其基础使用，只要对于每个小幻方的4个数包括1,2,3,4都出现可以用于数字倍增即可。这一章很复杂,未能全部解出所有的符合倍增方图,所以有兴趣的朋友,可以自行求证。
第一节
6阶幻方倍增图的快速求解
在所有的偶数幻方中，6阶作为最小的倍增研究对象，下面将用多个篇幅详细讲解一下
在求出3阶幻方的情况下我们可以用倍增的方法求解出6阶幻方，为求快速我们研究的对象不包括进退位现象。如有兴趣，请读者自行研究。
具体方法如下：
一）首先1个已求解出的3阶幻方，一共有8个备用，仅举此一例。
现在仅举九宫图一例
2 9 4
7 5 3
6 1 8
（1）
二) 倍增方图的三种方法：
使每一个数字变为四个，同时做到各边两条对角线和和值相同同为15。在这里为快速求出我们将用上在4阶幻方求解过程中的第一类第一种全均匀分布所有的图形作为4个3阶幻方的数字倍增的方图以及第一类第二种部分前后方图，包括（1）、（2）、（8）、（10）这4种组合全部的56种方图.在这里有两种方法求出倍增图,第1种偏心法求解幻方,在举例子中,以左上4个数字倍增为16个为例子,第2种发酵法，将4阶前后方图在周围再加上一圈数字，第3种为将4阶前后方图切割为4部分,采用中心开花的方法,将四个切割下的小方块安排到3阶幻方的4个角上,此方法简单快捷,这两种方法最后得到的数量和样貌在理论上是完全一样的,只是方法不同。
一、偏心法求解6阶倍增图
此方法将上面章节已经求出的4阶幻方前后方图中四个边角相邻四个数字遍历1、2、3、4的排列方图，这些方图都可以应用于6阶求解，其实其数字组合为保持3个倍增块上行列对角线的和值为15，可以是行列对角线和值大于等于8，小于等于12的范围内都可以，其数量远远多于这种中规中矩的排列方法，我们只是为快速求解，所以将这些在上面章节介绍过的可以直接拿来用的组合介绍给大家。
方图分为两大类，其中第一类为全等和分布（包括对角线在内的所有边），对角线的组合只有1种（10-10），
第一类我们必须借用以前介绍的4阶幻方的前后方图进行举例，
第二类组合有对角线、边和值不相同的情况，我们只取一部分着重讲述，其余如若大家有精力，介绍完方法可以自己研究一下，只简单叙述一下，，对角线和值不相同但为达到重心倍增块两条对角线和值为15，必须互补的，也就是共有两种，一种是一条9，则另一条11，另外一种为一条8，另一条12，在下面的讲解中，为求快捷，我们只介绍两条对角线的和值呈（9-11）和(8-12)并且其余各条边和值都相同的组合，除此类外的所有的其余类型，只简单叙述一下，有兴趣的读者可以自己研究。
下面首先将第一类介绍一下，前面所列出的第一类4阶方图符合条件的如下：
1、第一类第二种组合全部对角线、边和值相同如下：
第（1）组合
1 4 4 1 1 4 4 1 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 4 1 1 4 4 1 1 4
3 2 2 3 2 3 3 2 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 3 2 2 3 2 3 3 2
2 3 3 2 3 2 2 3 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 1 4 2 3 3 2 3 2 2 3
4 1 1 4 4 1 1 4 3 2 2 3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 1 4 4 1 1 4 4 1
第1对角线镜像
1 3 2 4 1 2 3 4 2 4 1 3 2 1 4 3 3 4 1 2 3 1 4 2 4 3 2 1 4 2 3 1
4 2 3 1 4 3 2 1 3 1 4 2 3 4 1 2 2 1 4 3 2 4 1 3 1 2 3 4 1 3 2 4
4 2 3 1 4 3 2 1 3 1 4 2 3 4 1 2 2 1 4 3 2 4 1 3 1 2 3 4 1 3 2 4
1 3 2 4 1 2 3 4 2 4 1 3 2 1 4 3 3 4 1 2 3 1 4 2 4 3 2 1 4 2 3 1
第（2）组合
1 4 1 4 1 4 1 4 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 4 1 4 1 4 1 4 1
3 2 3 2 2 3 2 3 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 3 2 3 2 2 3 2 3
4 1 4 1 4 1 4 1 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 1 4 1 4 1 4 1 4
2 3 2 3 3 2 3 2 1 4 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 2 3 2 3 3 2 3 2
第1对角线镜像
1 3 4 2 1 2 4 3 2 4 3 1 2 1 3 4 3 4 2 1 3 1 2 4 4 3 1 2 4 2 1 3
4 2 1 3 4 3 1 2 3 1 2 4 3 4 2 1 2 1 3 4 2 4 3 1 1 2 4 3 1 3 4 2
1 3 4 2 1 2 4 3 2 4 3 1 2 1 3 4 3 4 2 1 3 1 2 4 4 3 1 2 4 2 1 3
4 2 1 3 4 3 1 2 3 1 2 4 3 4 2 1 2 1 3 4 2 4 3 1 1 2 4 3 1 3 4 2
第（8）组合
1 3 2 4 1 3 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 4 3 2 1 4 3 2 4 1 3 2 4 1 3
2 4 1 3 3 4 1 2 3 4 1 2 2 4 1 3 4 3 2 1 1 3 2 4 4 3 2 1 1 3 2 4
3 1 4 2 2 1 4 3 2 1 4 3 3 1 4 2 1 2 3 4 4 2 3 1 1 2 3 4 4 2 3 1
4 2 3 1 4 2 3 1 4 3 2 1 4 3 2 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 4 2 3 1 4 2
第1对角线镜像相同
3 1 4 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 2 3 1 4 2 3 1 4 3 2 1 4 3 2 1
4 2 3 1 1 2 3 4 4 2 3 1 1 2 3 4 3 1 4 2 2 1 4 3 3 1 4 2 2 1 4 3
1 3 2 4 4 3 2 1 1 3 2 4 4 3 2 1 2 4 1 3 3 4 1 2 2 4 1 3 3 4 1 2
2 4 1 3 2 4 1 3 2 1 4 3 2 1 4 3 1 3 2 4 1 3 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4
第1对角线镜像相同
第（10）组合
2 4 3 1 2 1 3 4 1 3 4 2 1 2 4 3 3 4 2 1 3 1 2 4 4 3 1 2 4 2 1 3
1 3 4 2 4 3 1 2 2 4 3 1 3 4 2 1 1 2 4 3 4 2 1 3 2 1 3 4 3 1 2 4
3 1 2 4 3 4 2 1 4 2 1 3 4 3 1 2 2 1 3 4 2 4 3 1 1 2 4 3 1 3 4 2
4 2 1 3 1 2 4 3 3 1 2 4 2 1 3 4 4 3 1 2 1 3 4 2 3 4 2 1 2 4 3 1
第1对角线镜像相同
第（15）组合（仅举一例）
1 3 4 2
4 2 1 3
2 4 3 1
3 1 2 4
（1）
第1对角线镜像
1 4 2 3
3 2 1 4
4 1 3 2
2 3 1 3
（2）
在4阶幻方方图第一类第一种称之为（15）组合中上述的（1）可以用重排列将1、2、3、4再重新排列，也就是说排列4个即24种，同理，在（15）组合中上述的（2）可以用重排列，也就是说排列4个，即24种共计有48种。这种替换的方法在以后还会用到。
通过上面的分析可以得出第一类等和分布共有56+48种合计104种排列。
2、 第一类第一种的第（15）组合的48种是否都可以用上，现以第一种偏心法举例，偏心法分成4大类，包括左上、右上、左下、右下4类，现在以右下为例，方法具体介绍一下：
1）、右上到左下对角线1234数字排列的情况（即右下倍增块的第2对角线和值3的求解）
1 3 4 2 1 3 4 2 1 4
4 2 1 3 4 2 1 3 2 3
2 4 3 1 2 4 3 1
3 1 2 4 3 1 2 4
3 4 2 1
2 1 4 3
这是一个例子,由于倍增方图位于左上方,其右下的小方块中的左下到右上数字的和用于大的6阶幻方的对角线,而其和值必然影响到其余的6阶倍增图左下和右上两个小方块的数字安排,在此例中由于左上16个数字大方块的右下4个数字小方块的右上到右下对角线(以下简称第3对角线)上数字组合和值为3,为达到其对角线上数字的和值等于15,则其剩余两个方块的和值必须为12,而在1234,4个数和值为12组合中只有5+7,6+6,7+5,而为了达到行或者列的数字和值都是5，5+7或者7+5组合都被剔除，只剩下6+6组合。6+6组合换成1,2,3，4,数字表示就只有（2,4）组合，此例中右上方的倍增4个数字小方块只有1423和4132两种方式，以1423为例，这样在最右边的列上只有一种组合4+4，即（1,3）数字组合，这样在6阶大幻方最右下的4个数字倍增小方块的数字，只有一种组合2143，这样的话，对于6阶大幻方最左下的4个数字倍增小方块的数字组合为3421一种，现在我们再来看最底下的一行已填充上的数字和值为10，这样剩余的下方中间的4个数字倍增小方块（以下简称倍增块）为达到和值上下和左右都为5的情况，必然出现只能出现两对数字组合即14或23组合，违背了每个数字倍增变为4的出发点，同理可求出倍增块在中心其左下到右上对角线（以下简称第2对角线）的和值为7的情况下，没有6阶倍增图。对于这种方法我们发现在上述例子中左上16个数字的中倍增块的左上到右下对角线（以下简称第1对角线）总是保持为和值10。
2）、第1对角线1324排列情况（即第3对角线和值4的倍增图求解）
1 2 4 3 1 2 4 3 4 1 2 9 4
4 3 1 2 4 3 1 2 3 2 7 5 3
3 4 2 1 3 4 2 1 1 4 3 2 6 1 8
2 1 3 4 2 1 3 4 3 2 1 4
（10） （12）
1 3 1 3 3 4
4 2 4 2 1 2
（11）
3 1 1 2
2 4 3 4
在此图中因其第3对角线和值为4,那么第2对角线组合可以有4+7和7+4两种，现已4+7举例如上图可以得到3阶中的4号倍增块4123排列的第一种，而在4号倍增块和8号倍增块定下的情况下6号倍增块也就只有1342这1种排列， 而3号和1号倍增块可以上下翻转排列，可得到4种6阶倍增图，同样将8号倍增块排列成1234的话6阶倍增图也有4种排列。这样总有8种排列方式。外圈的3组即为3,8,6可替换的情况。
我们把左上中倍增块可简化成一个数字，这个数字即是第3对角线的和值。
用(12)+(11),可以求出（13）同时用连续和同余的十进制数字表示6阶幻方如下：
连续法求解（13）如下：
5 6 36 35 16 13
8 7 33 34 15 14
27 28 18 17 9 12
26 25 19 20 11 10
21 23 1 3 31 32
24 22 4 2 29 30
（13）
同余法求解（14）如下：
2 11 36 27 31 4
29 20 9 18 22 13
25 34 14 5 3 30
16 7 23 32 21 12
6 24 1 19 26 35
33 15 28 10 8 17
（14）
通过上面的实例我们看到可以用不同的十进制数字填充倍增块，而每一个倍增块的数字组合可以有很多种，介绍完6阶倍增方图的个数后，我们再来分析一下数字填充的组合方法。
3、第一对角线1423排列（即第3对角线和值5的倍增图求解）
1 2 3 4 1 2 3 4 4 1
3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 2 9 4
4 3 2 1 4 3 2 1 2 3 7 5 3
2 1 4 3 2 1 4 3 4 1 6 8 1
（11） （13）
1 3 3 4 1 3
4 2 2 1 2 4
（12）
这种组合是3+7组合，在这里前面已经讲了如何变为十进制幻方图，不再赘述，有兴趣的话，大家自己进行一下计算。
下面再来求4+6组合 看看有没有6阶倍增图
1 2 3 4 1 2 3 4 4 1
3 4 1 2 3 4 1 2 3 2
4 3 2 1 4 3 2 1
2 1 4 3 2 1 4 3
1 2
3 4
又出现了第1、种情况，所以在这种种没有6阶倍增图出现。
综上所述，偏心法倍增求解6阶幻方的方法只要求注意第3对角线和值，与其他的作用不大，现将这种方法叫做混沌关系理论，即只注重研究对象的相互之间关系，而不必严格求出各个分对象的数值、形状、周长或其他需要给出严格的精准的数字模型。在以后的四色原理论述中，此理论是求解出四色足够的最重要的理论依据。
由于在偏心法求解6阶倍增方图时，有的4阶方图无法使用，所以在求出6阶倍增图个数的表达中太过繁琐，在求得每一种的个数后，再分种进行乘，最后相加得出一共有多少种快速求解法，这种比较繁琐，下面介绍简单的四面开花法求解6阶倍增方图。
所以在随后我们再介绍另外2种方法，即发酵法和中心开花法求解6阶倍增方图。这3种方法最后得到的6阶幻方倍增图的个数完全一样，只是方法各异罢了。在后面的研究中，我们将详细介绍最简单实用也是最快捷的中心开花法求解6阶幻方倍增图，
二、6阶倍增方图的膨胀法（发酵法）求解
利用4阶方图作为中心，在其四周在进行添加，以（15）组合中的一个为例，方法介绍如下：
以（15）组合的一种举例
1 3 4 2
4 2 1 3
2 4 3 1
3 1 2 4
（1）
在其四周添加数字,同时满足相邻四个数遍历1,2,3,4而且行列对角线和值为5。先添加对角线再添加其余的。
2 3 1 2 3 4
4 1 3 4 2 1
1 4 2 1 3 4
3 2 4 3 1 2
4 3 1 2 4 1
1 2 4 3 2 3
（2）
（2）即是一个6阶倍增方图组合。
这种方法比较麻烦，但也是其中一种，不再详细描述，在下面着重介绍中心开花法
三、6阶倍增方图的中心开花法求解
由于偏心法和发酵法求解6阶倍增方图有其局限性和复杂性，所以我们需要另外的一个方法，就是将4阶倍增方图，从上下左右中心线切割开来，将其重新分布成相同方向的3阶中的小倍增块，即2、4、6、8共4块，现在以重心5小倍增块为研究对象对上面的104种排列4阶倍增方图进行分析，叫做中心开花法。
介绍一下：
一、第一类的6阶倍增方图的求解
第一类全相等分布6阶倍增方图的求解
1）以（15）组合的一种举例
1 3 4 2
4 2 1 3
2 4 3 1
3 1 2 4
（1）
分割中心开花后的情况如下所示：
1 3 2 4 1 3 2 4
4 2 1 3 4 2 1 3
<5> 12
3 4
2 4 3 1 2 4 3 1
3 1 2 4 3 1 2 4
（1） （2）
可以看出在<>处的重心倍增块因为4阶倍增方图的两条对角线和值都为10，所以重心倍增块的两条对角线只能为和值5，这样出现了8个组合，我们取<5>,其中中间的5表示第一对角线的和值为5，那么第二对角线的和值同样为5，为下面几个
<5>
1 2 1 3 2 1 2 4 3 1 3 4 4 2 4 3
3 4 2 4 4 3 1 3 4 2 1 2 3 1 2 1
（1） （2） （3） （4） （5） （6） (7) (8)
在<5>中的具体的（1）-（8）中，我们只研究行和列和值比较小的两个数，剩余的两个和值为从变量，不必再费周折研究，再进一步简化，我们可以再将<5>精简为行列和值为3或4的情况。
1、（3,4）有下面四个
1 2 2 1 3 4 4 3
3 4 4 3 1 2 2 1
（1） （2） （3） （4）
2、（4,3）有下面四个
1 3 3 1 2 4 4 2
2 4 4 2 1 3 3 1
(5) (6) (7) (8)
分析一下这些数字组合，我们会发现，在每个组合的4个数字里，只要确定上面两个数字就可得出下面两个数字，我们把上面的两个数字叫主变量，而下面的两个数字叫从变量，而再进行研究就发现，在需要填充的水平的其余的两个倍增块，水平的位置上只要确定两个数，为达到竖直方向的数字和达到15，其余两个数也可作为从变量，这样进一步简化求解难度，同理在竖直的方向的其余两个倍增块也类似这种情况，我们把它也进行简化，同时我们4个的数字1,2,3,4中较小的组合作为研究对象（主变量），又得出一个结论，其在水平或竖直倍增块中，只有（1,2） 和（1,3）两个组合，即其和值水平或竖直的同为3或者4两种情况，通过上面的偏心法论述我们可以的得出，在和值3的情况下，其剩余的两个倍增块的和值12的组合只能为6+6分布，其排列一共有4种情况，即2424、2442、4224、4242，而剩余的两个倍增块因为重心块的和值为4，和值11只能4+7分布，其排列一共有8种情况，即1334、1343、3134、3143、3413、3434、4313、4331，这样在6阶倍增方图中，第一类进行求解个数为104*8*4*8=25524种，其中第一个数104为第一类4阶等和倍增方图个数、第二个数字为重心块的排列数、第三个数为和为3的边的排列数、最后的8是和为4的排列数、求出来的25524就是6阶倍增方图第一类的快速求解个数。
2）第二类非全等和对角线互补6阶倍增方图的求解
一）对角线9-11分布
对角线和值9-11分布，并且剩余各边和值全部相同的4阶方图是4阶（9-11）208个方图中的一部分
包括9、10、13、14、17、18、25、26、157、158、161、162、169、170、171、172、41、42、45、46、61、62、85、86、103、104、109、110、113、114、115、116、125、126、133、134、137、138、141、142、181、182、191、192、193、194、201、202 总共48个
下面就是具体方图
以下为第一种第1对角线1134排列
1 2 4 3 1 4 3 2 1 2 3 4 1 3 2 4 3 2 1 4 3 4 1 2 4 2 1 3 4 3 1 2
4 3 2 1 2 3 4 1 3 4 1 2 2 4 3 1 4 1 2 3 2 1 3 4 3 1 2 4 2 1 4 3
3 4 1 2 4 2 1 3 4 3 1 2 3 2 1 4 1 3 4 2 1 2 4 3 1 4 3 2 1 2 3 4
2 1 3 4 3 1 2 4 2 1 4 3 4 1 2 3 2 4 3 1 4 3 2 1 2 3 4 1 3 4 2 1
（9） （10） （13） （14） （17） （18） （25） （26）
3 2 3 2 3 4 2 1 4 3 1 2 4 2 3 1 1 2 3 4 1 4 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4
4 1 4 1 2 1 4 3 2 1 4 3 3 1 4 2 3 4 2 1 2 3 2 3 2 4 1 3 4 3 1 2
2 4 1 3 3 4 1 2 3 4 1 2 1 4 1 4 2 1 3 4 3 1 4 2 3 2 3 2 1 2 4 3
1 3 2 4 2 1 3 4 1 2 4 3 2 3 2 3 4 3 2 1 4 2 3 1 4 1 4 1 4 3 2 1
（157） （158） （161） （162） （169） （170） （171） (172)
以下为第二种第一对角线1224排列
1 4 4 1 1 3 2 4 1 4 2 3 1 3 2 4 2 3 4 1 2 4 1 3 2 3 1 4 2 1 4 3
3 2 3 2 4 2 3 1 3 2 1 4 4 2 3 1 4 1 3 2 3 1 4 2 1 4 3 2 3 4 1 2
2 3 2 3 4 3 2 1 2 3 4 1 2 1 4 3 1 4 2 3 4 3 2 1 4 1 2 3 1 3 2 4
4 1 1 4 1 2 3 4 4 1 3 2 2 1 4 2 3 2 1 4 1 2 3 4 3 2 4 1 4 2 3 1
（41） （42） （45） （46） （61） （62） （85） （86）
4 1 2 3 4 3 2 1 4 3 2 1 4 1 1 4 2 1 4 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 1 3
3 2 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 3 2 3 4 1 2 1 4 4 1 4 1 1 4 3 1 4 2
2 3 1 4 2 4 1 3 1 3 2 4 2 3 2 3 2 4 1 3 4 1 1 4 1 4 4 1 2 1 4 3
1 4 3 2 3 1 4 2 4 2 3 1 1 4 4 1 3 1 4 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 1 2
（103） (104) （109） (110) （113） （114） （115） （116）
以下为第三种第一对角线1233排列
1 4 2 3 1 2 3 4 2 4 3 1 2 1 3 4 3 4 2 1 3 2 1 4 3 4 1 2 3 1 2 4
2 3 4 1 4 3 1 2 1 3 4 2 4 3 2 1 2 1 4 3 4 1 2 3 1 2 4 3 4 2 1 3
3 1 2 4 3 4 2 1 3 2 1 4 3 4 1 2 1 2 3 4 2 4 3 1 2 1 3 4 1 4 3 2
4 2 1 3 2 1 4 3 4 1 2 3 1 2 4 3 4 3 1 2 1 3 4 2 4 3 2 1 2 3 4 1
(125) (126) (133) （134） （137） （138） （141） （142）
1 4 1 4 1 2 4 3 2 1 3 4 2 4 1 3 3 4 1 2 3 2 3 2 3 1 4 2 3 4 1 2
2 3 2 3 4 3 2 1 4 3 2 1 1 3 2 4 2 1 3 4 4 1 4 1 4 2 3 1 1 2 4 3
4 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 3 2 3 4 2 1 1 3 2 4 1 4 1 4 4 3 1 2
3 1 4 2 4 3 1 2 3 4 2 1 4 1 4 1 2 1 4 3 2 4 1 3 2 3 2 3 2 1 4 3
（181） （182） （191） （192） （193） （194） （201） （202）
综上所述，对角线9、11组合中，（对角线9-11）组合其余边和全相等方图共有48个，其余的（对角线11-9）48个为左右镜像可求得。
下面介绍其快速求解6阶倍增方图个数以中心开花法为例：
1 2 4 3 1 2 4 3
4 3 2 1 4 3 2 1
3 4 1 2 <6>
2 1 3 4 3 4 1 2
2 1 3 4
(1) (1)
其中<6>的组合有下面4个:
<6>
2 1 4 3 2 3 4 1
3 4 1 2 1 4 2 3
(1) (2) (3) (4)
由上面可以看出,其重心倍增块排列中有两种,第一种是即其和值水平或竖直的为3或者5, 在和值3的情况下，其剩余的两个倍增块的和值12的组合只能为6+6分布，其排列一共有4种情况，即2424、2442、4224、4242，而剩余的两个倍增块因为重心块的和值为5，和值10却有2种组合即3+7和4+6分布，每一个组合其排列都有8种情况，即4*2=8种,3+7组合中有1234、1243、2134、2143、3412、3421、4312、4213共8个，4+6组合有1324、1342、3124、3142、2413、2431、4213、4231共8种，所以在上面的对角线8+12组合中排列的总6阶倍增方图的个数为40*4*8*2*4*2=20480个6阶倍增方图。第一个40为对角线9-11分布，4为重心倍增块排列，8*2是行列倍增块两种分布3+7和4+6组合各8种，第二个4表示行列倍增块6+6的组合排列数量最后面2是加上对角线11-9分布的总数。这就求出了快速求9+11对角线其余等和分布的6阶倍增方图的个数20480个。
二）对角线8-12分布
对角线和值12-8分布，并且剩余各边和值全部相同的4阶方图是4阶（14-6） 80个方图中的一部分，
计有41、42、49、50、61、62、67、68总共8个（将2、3互换）
下面是具体方图：
3 2 4 1 3 1 4 2 3 1 4 2 3 2 3 2 4 1 4 1 4 2 3 1 4 1 3 2 4 2 3 1
1 4 2 3 2 4 1 3 2 4 1 3 1 4 1 4 2 3 2 3 1 3 2 4 2 3 1 4 1 3 2 4
4 1 3 2 4 2 3 1 3 1 4 2 4 1 4 1 3 2 3 2 4 2 3 1 3 2 4 1 3 1 4 2
2 3 1 4 1 3 2 4 2 4 1 3 2 3 2 3 1 4 1 4 1 3 2 4 1 4 2 3 2 4 1 3
（41） （42） （49） （50） （61） （61） （67） (68)
转换为下面8个
在（对角线12-8）组合中3344和1122组合共有8种，其余的（对角线8-12）8个为左右镜像可求得。
其余边和全相等方图各有8个
2 3 4 1 2 1 4 3 2 1 4 3 2 3 2 3 4 1 4 1 4 3 2 1 4 1 2 3 4 3 2 1
1 4 3 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 4 1 4 3 2 3 2 1 2 3 4 3 2 1 4 1 2 3 4
4 1 2 3 4 3 2 1 2 1 4 3 4 1 4 1 2 3 2 3 4 3 2 1 2 3 4 1 2 1 4 3
3 2 1 4 1 2 3 4 3 4 1 2 3 2 3 2 1 4 1 4 1 2 3 4 1 4 3 2 3 4 1 2
(1) (2) (3 ) (4) (5) (6) (7) (8)
这就又得到了求解前后方图一个很重要的方法，数字替换法则。上面8个镜像成下面的1133组合共8个，重新命名为（209）-（216）
同理通过对1234四个数字幻方数字的互换可以把上面的9-11分布的4阶可以把对角线和值8-12分布，并且剩余各边和值全部相同的4阶方图是4阶，所得出4阶幻方方图如下：
第一种第1对角线1134排列，需要把2,3数字互换，变成1124组合
1 3 4 2 1 4 2 3 1 3 2 4 1 2 3 4 2 3 1 4 2 4 1 3 4 3 1 2 4 2 1 3
4 2 3 1 3 2 4 1 2 4 1 3 3 4 2 1 4 1 3 2 3 1 2 4 2 1 3 4 3 1 4 2
2 4 1 3 4 3 1 2 4 2 1 3 2 3 1 4 1 2 4 3 1 3 4 2 1 4 2 3 1 3 2 4
3 1 2 4 2 1 3 4 3 1 4 2 4 1 3 2 3 4 2 1 4 2 3 1 3 2 4 1 2 4 3 1
（9） （10） （13） （14） （17） （18） （25） （26）
2 3 2 3 2 4 3 1 4 2 1 3 4 3 2 1 1 3 2 4 1 4 1 4 1 2 3 4 1 3 2 4
4 1 4 1 3 1 4 2 3 1 4 2 2 1 4 3 4 2 1 3 3 2 3 2 3 4 1 2 4 2 1 3
3 4 1 2 2 4 1 3 2 4 1 3 1 4 1 4 1 3 4 2 2 1 4 3 2 3 2 3 1 3 4 2
1 2 3 4 3 1 2 4 1 3 4 2 3 2 3 2 4 2 3 1 4 3 2 1 4 1 4 1 4 2 3 1
（157） （158） （161） （162） （169） （170） （171） (172)
第三种第一对角线1233排列，也需要把2,3数字互换，变成1223组合
3 4 2 1 3 1 2 4 2 4 3 1 2 3 1 4 2 4 1 3 2 1 3 4 1 4 3 2 1 3 2 4
1 2 4 3 4 2 3 1 3 1 4 2 4 1 3 2 1 3 4 2 4 3 1 2 3 2 4 1 4 2 1 3
2 3 1 4 2 4 1 3 1 3 2 4 3 4 2 1 3 1 2 4 1 4 2 3 2 1 3 4 2 4 3 1
4 1 3 2 1 3 4 2 4 2 1 3 1 2 4 3 4 2 3 1 3 2 4 1 4 3 1 2 3 1 4 2
(125) (126) (133) （134） （137） （138） （141） （142）
1 4 1 4 1 3 4 2 3 1 2 4 3 4 1 2 2 4 1 3 2 3 2 3 2 1 4 3 2 4 1 3
3 2 3 2 4 2 3 1 4 2 3 1 1 2 3 4 3 1 2 4 4 1 4 1 4 3 2 1 1 3 4 2
4 3 2 1 1 3 2 4 1 3 2 4 2 3 2 3 2 4 3 1 1 2 3 4 1 4 1 4 4 2 1 3
2 1 4 3 4 2 1 3 2 4 3 1 4 1 4 1 3 1 4 2 3 4 1 2 3 2 3 2 3 1 4 2
（181） （182） （191） （192） （193） （194） （201） （202）
第二种第一对角线1224排列无法通过互换方法求出8-12排列求出，现改为1133组合，由最上面的12-8组合左右镜像可得到，下面就是具体的4阶倍增图;
1 4 3 2 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 3 2 1 4 1 4 3 4 1 2 3 4 1 2 3 2 1 4
2 3 4 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 1 4 1 2 3 2 3 2 1 4 3 2 1 4 3 4 1 2 3
3 2 1 4 3 4 1 2 1 2 3 4 1 4 1 4 3 2 3 2 3 4 1 2 1 2 3 4 1 4 3 2
4 1 2 3 2 1 4 3 4 3 2 1 2 3 2 3 4 1 4 1 2 1 4 3 4 3 2 1 2 3 4 1
（209） （210） (211) (212) (213) （214） （215） （216）
综上所述，对角线8-12组合中，（对角线8-12）组合其余边和全相等方图共有40个，其余的（对角线12-8）40个为左右镜像可求得。
下面介绍其快速求解6阶倍增方图个数以中心开花法为例：
1 3 4 2 1 3 4 2
4 2 3 1 4 2 3 1
2 4 1 3 <7>
3 1 2 4 2 4 1 3
3 1 2 4
(1) (1)
其中<7>的组合有下面4个:
<7>
3 1 4 2 3 2 4 1
2 4 1 3 1 4 2 3
(1) (2) (3) (4)
由上面可以看出,其重心倍增块排列中有两种,第一种是即其和值水平或竖直的为4或者5, 在和值4的情况下，其剩余的两个倍增块的和值11的组合只能为4+7分布，其排列一共有8种情况，即1334、1343、3134、3143、3413、3431、4312、4331，而剩余的两个倍增块因为重心块的和值为5，其和值10有2种组合即3+7和4+6分布，每一个组合其排列都有8种情况，即4*2=8种,3+7组合中有1234、1243、2134、2143、3412、3421、4312、4213共8个，4+6组合有1324、1342、3124、3142、2413、2431、4213、4231共8种，所以在上面的对角线8+12组合中排列的总6阶倍增方图的个数为40*4*8*2*4*2=20480个6阶倍增方图。第一个40为对角线8-12分布，4为重心倍增块排列，8*2是两种分布3+7和4+6组合各8种，第二个8表示4+7组合的排列数量，最后面2是加上对角线12-8分布的总数。这就求出了快速8-12对角线其余等和分布的6阶倍增方图的个数40960个。
这就是可用于6阶幻方8-12对角线互补幻方倍增方图的组合，大家有兴趣可以自己验证一下。
第二节
6阶幻方倍增图的通用形式求解
我们总结一下在上面的所有介绍6阶倍增方图的快速求解方法，仅适用于特殊的情况亦即所有行列和值都为10，而实际上只要倍增块里的数字遍历1234这4个数，而且又保持每行、列、对角线上倍增数字1234相加的和等于15，即可满足6阶倍增方图。在这一节中再简单讲解一下：
一、中心开花法举例进行求解，
一、 重心倍增块的排列个数
将1234排列可得出排列4种共计24种如下：
其原理为前面3个数字排列为主变量，而后一个变为从变量，当前面3个数字已经排列完毕后，不再考虑其变化。所以出现第一个数字可以有4种变化、第二个有3种变化、第三个数字有2种变化、最后个数字是从变量只有一个，所以排列24个。
1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 2 1 2 1 2 3 2 3 2 4 2 4
3 4 4 3 2 4 4 2 2 3 3 2 3 4 4 3 1 4 4 1 1 3 3 1
（1） （2） （3） （4） （5） （6） (7) (8) (9) （10） (11) (12)
3 1 3 1 3 2 3 2 3 4 3 4 4 1 4 1 4 2 4 2 4 3 4 3
4 2 2 4 1 4 4 1 1 2 2 1 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
(13) (14) (15) （16） （17） （18）（19） （20） （21）（22） （23） （24）
在以上的排列中用混沌关系理论来分析的话，其第一对角线上的倍增数字的和值为研究对象，都可表示为1个数字，即第一对角线和，剩余的另一条对角线和为从变量(即用10减去第一对角线和值)，为精简其研究不在考虑范围。着重研究这些方面，将上面24个组合按照第一对角线和值分为下面5个组合，用<第一对角线和值>表示,共有下面5个,即<3>,<4>,<5>,<6>,<7>。
<5>
1 2 2 1 3 4 4 3 1 3 3 1 2 4 4 2
3 4 4 3 1 2 2 1 2 4 4 2 1 3 3 1
<3>
1 3 2 4 1 4 2 3
4 2 3 1 3 2 4 1
<7>
3 1 4 2 3 2 4 1
2 4 1 3 1 4 2 3
<4>
1 4 3 2 1 2 3 4
2 3 4 1 4 3 2 1
<6>
2 1 4 3 2 3 4 1
3 4 1 2 1 4 2 3
而对于行和列上，我们还必须将其再分类，用（行和值，列和值）表示，其中和值以相加值较小的为准，相等的话就写5，比如说在一个倍增块里一行或一列4另一行或列为6，则用4表示。同理3或7的话写3.
在上里例子中，研究行和列的数字和的时候可以丢弃对角线的作用，，每一个表示为为（行和值数字，列和值数字）表示，其中第一个数字表示行和值较小数字或5，第二个数字表示列和值较小的数字或5。
将上面的排列的24种组合再进行分类，下面进行分类讲解：
1、（3,4）有下面四个
1 2 2 1 3 4 4 3
3 4 4 3 1 2 2 1
（1） （2） （3） （4）
2、（4,3）有下面四个
1 3 3 1 2 4 4 2
2 4 4 2 1 3 3 1
(5) (6) (7) (8)
3、（4,5）有下面四个
1 3 2 4 2 4 4 2
4 2 3 1 3 1 1 3
(9) (10) (11) (12)
4、（5,4）有下面四个
3 2 2 3 4 1 1 4
1 4 4 1 2 3 3 2
（13） （14） （15） （16）
5、（3,5）有下面四个
1 2 2 1 3 4 4 3
4 3 3 4 2 1 1 2
（17） (18) (19) (20)
6、（5,3）有下面四个
2 3 3 2 4 1 1 4
1 4 4 1 3 2 2 3
(21) (22) (23) (24)
在研究这些6阶换房倍增组合的时候，其实可以在用中心开花的方法前，将4阶的倍增块进行分类用5个数来定义这个4阶倍增块的结构，用{}表示，里面5个数分别是以第一对角线数字，第一行倍增块的数字较小数字，第二行倍增块的数字较小数字，第一列倍增块的数字较小数字，第二列倍增块的数字较小数字，对于第二对角线和值为使重心块倍增数字遍历，只有和第一对角线和值互补，所以为从变量，为简化研究不在进行书写，用20减去第一对角线和值即可得到，如上面前几节所讲的3个特例即对角线互补，行列对角线和均为10，用{10,10,10,10,10}、{9,10,10,10,10}、{8,10,10,10,10}表示。为达到6阶倍增方图的每边包括对角线和值均为15，则必须满足和值大于等于8小于等于12，即8,9,10,11,12一共5种组合，在这5个数字组合里可以在{}里随便组合，一共有5的5次方个，即30125种组合。
为方便研究，我们将重心块按第一对角线和值进行分类，分成上面<>表示的5类
为便于讲解，将剩余的8个倍增块分为两种第一种对角线上余下的4个倍增块（以下简称边角倍增块），第二个剩余的中心线上所余的倍增块（以下简称中间倍增块）。
还是用九宫图举例
2 9 4
7 5 3
6 1 8
(1)
其中的5为重心倍增块,2、4、6、8为边角倍增块,而1、3、7、9为中间倍增块，在下面章节将以重心倍增块为第一个研究对象，以边角倍增块为第二研究对象，以中间倍增块为第三研究对象，对这个6阶倍增方图进行研究，
这样上面（1）九宫图就可以用下面形式：
{边角倍增块} {中间倍增块} {边角倍增块}
{中间倍增块} {重心倍增块} {中间倍增块}
{边角倍增块} {中间倍增块} {边角倍增块}
１）<5>组合
与对角线关联的4个倍增块的排列个数分成5组,由于其可以用镜像再求得其他的组合所以可以分成3大类
1、 已知重心对角线的和值排列为5-5，所以为达到6个倍增数字相加和等于15，每条对角线上剩余的2个边角倍增块各有5种和值组合用[]表示，里面3个数字分别表示6阶倍增方图中第一对角线或第二对角线依次排列的倍增块的第一对角线或第二对角线的和值，1[3,5,7]=<3>+<5>+<7>,2[4,5,6]=<4>+<5>+<6>,3[5,5,5]=<5>+<5>+<5>，4[6,5,4]=<6>+<5>+<4>,5[7,5,3]=<7>+<5>+<3>,在这里第1个和第5个、第2个和第4个可以看做第二对角线镜像，而第3个中<5>有（3,4）和（4,3）两种组合也可看做第一对角线镜像。
为达到快速求解个数要求我们把<5>分成(3,4)、(4,3)两种带入重心倍增块里用混沌关系理论进行研究,最后可求出一共有多少个6阶倍增方图,较为繁琐,不再详述。
2、同理，我们可以求出重心倍增块第一对角线和值为3的几个组合，包括1[6,3,6],2[5,3,7],3[7,3,5]一共3种组合，2和3为第二对角线镜像。求出这一类组合后，用数字5去减就可以求出第一对角线和值为7的组合包括1[4,7,4],2[5,7,3],3[3,7,5]这3组组合。
3、同样的，我们可以求出重心倍增块第一对角线和值为4的几组组合，包括1[4,4,7],2[5,4,6],3[6,4,5],4[7,4,4]4种组合，其中1和4，2和3是第二对角线镜像。求出这一类组合后，可以用5去减倍增方图上面的数字就可以求出重心倍增块第一对角线和值为6的4种组合即1[6,6,3],2[5,6,4],3[4,6,5],4[3,6,6]，求证过程很繁琐，但需要记住<3>,<4>,<5>,<6>,<7>表示的是第一对角线的和值,而对于行列和值表示的()里面的数值却是取最小值的,比如(3,4)和(3,4)在一行或列上,其和值不一定是6，许是10,10、10,8、8,10组合等等，但如果是6的话，其中间块和值无法达到9，最多为3和4组合是7，幻方倍增方图不成立。
其余的中间的4个倍增块的排列个数由于对角线的错综复杂，不再详细介绍。
综上所述，这一章节最为复杂，没有完善，有兴趣的朋友可以自己研究。
第六章
填充数字的抽取方法
在上面所讲述的乘法或倍增法求解幻方时，牵扯到一个问题，那就是每个小幻方块里数字如何安排，对于将所有幻方数字罗列出来，将其分段后依次安排到每个小幻方里，使每个数字遍历，这个过程，我们叫数字的抽取，前面讲过的连续法和同余法其实都是他的两个特殊分类，即最大等差抽取法。下面我们再讲述一个等差法，以及如何抽取数字。
第一节
填充方法分类
在前面我们讲过幻方倍增块数字填充的方法是连续法和同余法两种，除了上面这两种，利用连续的数字或同余的数字再将这些数字再进行按相同的个数分段，那就还有很多种填充方法，这种方法叫等差法在下面的论述中，我们将一一将其介绍，这样就有了3大类4种数字组合填充方法即第一类连续法、第二类同余法，第三类等差法（分成两种第一种连续等差法、第二种同余等差法）。
第二节
6阶幻方(可用于乘因子为3的乘法求解的所有幻方)数字填充等差法
将6阶幻方的十进制数字1-36分为18组，连续法每组为1,2 、3,4、……、17,18一共九组也就是差4等差法抽取，同余法每组为1,10 、2,11……9,18同样也是九组也就是差2等差法抽取。而对于求出的这些组合还可以用于乘因子为3的乘法求幻方里应用。
6阶倍增块共有9个小倍增块组成，每块有4个数字，现在我们将4个数字定义为两个一组，1,2为一组，3,4为一组，将这两组以2个10进制数字定义，则共有18对数字，以1、2、3直至18来命名定义，这样每2个数字为一个倍增块，共有9对组合，分别由等差的差距距从0开始一直到差4组合（也就是连续法）,而这些组合排列可以在9阶乘法求解幻方中使用，每一组2个数字再填上1个数字就可以得出3种不同的组合方式，9阶乘法中数字排列组合可参照下面的例子。
一、差0组合
为使每一组数字相同，则有下面所列9对组合：
1,18 2,17 3,16 4,15 5,14 6,13 7,12 8，11 9,10
（1） (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
分别称为1,2,3,4,5,6,7,8,9倍增块，由于在这些倍增块里14,23相加和值相同，所以尽量以此作为两条对角线的数字，这样剩余的排列中，行或者列中总会有一对出现12，和3,4 ，这样在内部无法达到内对齐的情况下，我们只好采用外对齐的方法，使这些倍增块中为达到其组合各边对角线和值相同还需把对角线或行列上的所有数字和相同，为达到此目的，需要把3个倍增块块外部对齐，这就用到3个数字的情况，就把8个3阶方图拿出来，进行外部对齐，这样在下面将6阶差0倍增方图论述一下，看幻方是否成立。
1 2 3 4 4 1
3 4 1 2 2 3 2 9 4
4 3 2 1 2 3 7 5 3
2 1 4 3 4 1 6 1 8
（12）
1 3 3 4 1 3
4 2 2 1 2 4
（11）
将1-9的9对数字按（12）顺序带入（11）中得出十进制数字：
3 4 19 20 30 7
我们看出，在此第一行即告幻方求解失败，所以6阶幻方倍增方图差0组合不存在，也就是说即达不到内对齐也达不到外对齐还不能内外组合对齐，所以为0个方图。
一、差1组合
差一组合的各个数值，中心数值为（1+18）=19，每个组合差1的话就前进四步加上1,2,3,4、后退4步减去1,2,3,4，也就是说从23,22,21，……15，现在把数字列出下面,()内为和值：
（23） （22） （21） （20） （19） （18） （17） (16) (15)
11 12 10 12 10 11 9 11 9 10 8 10 8 9 7 9 7 8
10 13 9 13 9 12 8 12 8 11 7 11 7 10 6 10 6 9
9 14 8 14 8 13 7 13 7 12 6 12 6 11 5 11 5 10
8 15 7 15 7 14 6 14 6 13 5 13 5 12 4 12 4 11
7 16 6 16 6 15 5 15 5 14 6 14 4 13 3 13 3 12
6 17 5 17 5 16 4 16 4 15 7 13 3 14 2 14 2 13
5 18 4 18 4 17 3 17 3 16 6 14 2 13 1 15 1 14
下面第一组和值23的组合（5,18）如下：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14)
5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18
6,16 6,16 6,16 6,16 6,16 6,16 6,16 6,16 6,16 6,16 6,16 6,16 6,16 6,16
4,17 4,17 7,14 7,14 8,13 8,13 8,13 9,12 9,12 10,11 10,11 10,11 10,11 10 11
9,11 8,12 8,12 9,11 3,17 9,11 9,11 3,17 7,13 7,13 7,13 8,12 8,12 3,17
7,12 9,10 9,10 2,17 9,10 2,17 4,15 8,11 2,17 2,17 4,15 4,15 2,17 7,12
8,10 7,11 1,17 8,10 7,11 3,15 1,17 4,14 8,10 4,14 1,17 1,17 3,15 4,14
2,15 3,14 2,15 4,13 2,15 7,10 7,10 7,10 3,14 8, 9 8, 9 3,14 4,13 8, 9
3,13 1,15 3,13 1,15 4,12 4,12 2,14 1,15 1,15 1,15 2,14 7, 9 7, 9 1,15
1,14 2,13 4,11 3,12 1,14 1,14 3,12 2,13 4,11 3,12 3,12 2,13 1,14 2,13
(15) (16) (17) (18) (19) (20) (21）（22） (23) (24) (25) (26)
5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18
7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15
4,17 4,17 8,13 8,13 8,13 9,12 9,12 9,12 10,11 10,11 10,11 10,11
8,12 9,11 3,17 4,16 9,11 4,16 4,16 6,14 3,17 6,14 4,16 8,12
9,10 6,13 9,10 9,10 2,17 2,17 8,11 2,17 6,13 3,16 6,13 2,17
2,16 8,10 2,16 1,17 4,14 8,10 1,17 8,10 2,16 1,17 1,17 4,14
6,11 1,16 6,11 6,11 1,16 6,11 3,14 1,16 8,9 8, 9 8,9 1,16
3,13 2,14 4,12 2,14 6,10 3,13 6,10 3,13 4,12 4,12 2,14 3,13
1,14 3,12 1,14 3,12 3,12 1,14 2,13 4,11 1,14 2,13 3,12 6, 9
(27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37)
5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18
8,14 8,14 8,14 8,14 8,14 8,14 8,14 8,14 8,14 8,14 8,14
4,17 4,17 6,15 6,15 6,15 9,12 9,12 10,11 10,11 10,11 10,11
7,13 9,11 3,17 9,11 9,11 3,17 3,17 3,17 4,16 4,16 3,17
9,10 3,16 9,10 3,16 6,13 4,15 6,13 4,15 6,13 7,12 7,12
2,16 6,12 7,11 1,17 2,16 7,11 2,16 6,12 1,17 1,17 2,16
6,11 7,10 1,16 7,10 7,10 1,16 7,10 1,16 2,15 2,15 4,13
1,15 1,15 4,12 4,12 1,15 6,10 1,15 7, 9 7, 9 3,13 1,15
3,12 2,13 2,13 2,13 3,12 2,13 4,11 2,13 3,12 6, 9 6, 9
(38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) （48） (49)
5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18
9,13 9,13 9,13 9,13 9,13 9,13 9,13 9,13 9,13 9,13 9,13 9,13
4,17 4,17 6,15 6,15 6,15 7,14 6,15 10,11 10,11 10,11 10,11 10,11
6,14 8,12 3,17 3,17 8,12 8,12 4,16 3,17 3,17 4,16 6,14 6,14
8,11 3,16 8,11 7,12 3,16 2,17 8,11 4,15 4,15 2,17 2,17 3,16
2,16 7,11 2,16 8,10 1,17 3,15 1,17 6,12 6,12 6,12 3,15 1,17
7,10 2,15 7,10 1,16 7,10 1,16 7,10 1,16 1,16 3,14 1,16 2,15
1,15 6,10 4,12 2,14 2,14 6,10 2,14 2,14 2,14 1,15 4,12 4,12
3,12 1,14 1,14 4,11 4,11 4,11 3,12 7, 8 7, 8 7, 8 7, 8 7, 8
(50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64)
5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18 5,18
10,12 10,12 10,12 10,12 10,12 10,12 10,12 10,12 10,12 10,12 10,12 10,12 10,12 10,12 10,12
4,17 4,17 4,17 4,17 6,15 6,15 6,15 6,15 6,15 6,15 7,14 7,14 8,13 8,13 8,13
7,13 9,11 6,14 6,14 3,17 4,16 4,16 9,11 7,13 9,11 3,17 3,17 3,17 6,14 4,16
8,11 6,13 3,16 8,11 8,11 8,11 2,17 2,17 3,16 3,16 6,13 8,11 4,15 2,17 2,17
2,16 2,16 7,11 3,15 4,14 7,11 1,17 4,14 1,17 1,17 2,16 2,16 2,16 3,15 7,11
3,14 3,14 8, 9 1,16 1,16 3,14 8, 9 1,16 8, 9 4,13 8, 9 4,13 6,11 1,16 3,14
1,15 1,15 1,15 7，9 7, 9 7，9 3,13 3,13 2,14 2,14 1,15 1,15 7, 9 7, 9 1,15
6, 9 7, 8 2,13 2,13 2,13 2,13 1,14 7, 8 4,11 7, 8 4,11 6, 9 1,14 4,11 6, 9
下面第一组和值23的组合（6,17）如下：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16)
6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17
4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18
5,16 5,16 5,16 5,16 8,13 8,13 8,13 7,14 7,14 9,12 9,12 9,12 8,13 9,12 10,11 10,11
8,12 9,11 9,11 8,12 5,15 9,11 9,11 7,13 8,12 7,13 7,13 5,15 9,11 7,13 5,15 8,12
9,10 7,12 7,12 9,10 9,10 5,14 7,12 3,16 9,10 3,16 8,14 8,11 7,12 8,11 7,12 3,16
7,11 8,10 8,10 7,11 7,11 2,16 2,16 8,10 3,15 8,10 3,15 2,16 3,15 2,16 2,16 5,13
2,15 3,14 3,14 3,14 4,13 7,10 3,14 5,12 1,16 2,15 1,16 7,10 1,16 3,14 8, 9 2,15
3,13 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 5,11 5,11 2,14 3,13 2,14 1,15 3,13 7, 9
1,14 2,13 2,13 2,13 3,12 3,12 5,10 2,13 2,13 1,14 5,10 1,14 5,11 5,10 1,14 1,14
(17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26)
6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17
7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15
3,18 3,18 3,18 5,16 5,16 8,13 8,13 9,12 9,12 10,11
8,12 8,12 9,11 9,11 9,11 2,18 9,11 2,18 2,18 2,18
9,10 9,10 5,14 1,18 1,18 9,10 1,18 3,16 8,11 3,16
4,11 2,16 8,10 2,13 3,12 3,12 5,10 1,14 5,10 1,14
1,16 4,13 1,16 3,14 2,15 4,13 3,14 4,13 1,16 8, 9
2,14 5,11 4,12 4,12 2,14 7, 9 4,12 5,11 3,13 4,12
5,13 1,14 2,13 8,10 8,10 4,14 2,16 8,10 4,14 5,13
(27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34)（35） (36) (37) (38)
6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17
8,14 8,14 8,14 8,14 8,14 9,13 9,13 9,13 9,13 9,13 9,13 9,13
3,18 5,16 9,12 10,11 10,11 3,18 3,18 3,18 5,16 7,14 7,14 10,11
4,16 2,18 5,15 4,16 2,18 5,15 8,12 8,12 8,12 2,18 2,18 2,18
9,10 9,10 1,18 1,18 4,15 7,12 4,15 4,15 1,18 3,16 8,11 5,14
7,11 7,11 2,16 3,15 5,13 8,10 2,16 7,11 3,15 8,10 3,15 3,15
5,12 4,13 7,10 5,12 1,16 1,16 7,10 1,16 7,10 5,12 1,16 1,16
1,15 1,15 3,13 7, 9 7, 9 2,14 5,11 2,14 2,14 1,15 4,12 4,12
2,13 3,12 4,11 2,13 3,12 4,11 1,14 5,10 4.11 4,11 5,10 7, 8
(39) (40) (41) (42) (43) (44) (45)
6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17
10,12 10,12 10,12 10,12 10,12 10,12 10,12
3,18 3,18 3,18 5,16 5,16 5,16 7,14
4,16 5,15 7,13 2,18 2,18 7,13 4,16
8,11 8,11 4,15 8,11 4,15 1,18 1,18
5,13 2,16 2,16 3,15 7,11 3,15 3,15
2,15 4,13 8, 9 4,13 8, 9 8, 9 8, 9
7, 9 7, 9 5,11 7, 9 3,13 2,14 5,11
1,14 1,14 1,14 1,14 1,14 4,11 2,13
下面第一组和值23的组合（7,16）如下：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16
4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18
6,15 6,15 6,15 8,13 8,13 9,12 9,12 9,12 9,12 10,11
3,17 8,12 9,11 3,17 3,17 3,17 3,17 5,15 5,15 5,15
7,12 9,10 2,17 9,10 8,11 5,14 6,13 9,10 8,11 2,17
2,16 1,17 8,10 6,12 5,13 8,10 8,10 1,17 2,16 6,12
8, 9 3,14 5,12 2,15 2,15 6,11 4,13 6,11 7,10 8, 9
5,11 5,11 3,13 5,11 6,10 1,15 5,11 2,14 3,13 3,13
1.14 2,13 1,14 1,14 1,14 2,13 1,14 3,12 1,14 1,14
(11) (12) (13) (14) (15) (16) （17） (18) (19) (20) (21)
7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16
5,17 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17
3,18 3,18 6,15 8,13 8,13 9,12 9,12 9,12 10,11 10,11 10,11
8,12 9,11 9,11 2,18 4,16 2,18 2,18 6,14 2,18 2,18 8,12
9,10 6,13 1,18 9,10 9,10 4,15 8,11 1,18 4,15 6,13 1,18
4,14 8,10 8,10 4,14 1,17 8,10 3,15 8,10 6,12 3,15 4,14
6,11 1,16 3,14 6,11 6,11 6,11 4,13 2,15 8, 9 8, 9 2,15
1,15 2,14 4,12 1,15 2,14 3,13 6,10 3,13 3,13 4,12 3,13
2,13 3,12 2,13 3,12 3,12 1,14 1,14 4,11 1,14 1,14 6, 9
(22) (23) (24) (25)（26） （27）（28）（29）（30）（31） （32）（33） (34) (35) (36) (37) (38) (39)
7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16 7,16
8,14 8,14 8,14 8,14 8,14 8,14 8,14 9,13 9,13 9,13 9,13 9,13 9,13 10,12 10,12 10,12 10,12 10,12
3,18 4,17 6,15 9,12 9,12 10,11 10,11 3,18 3,18 3,18 4,17 6,15 6,15 3,18 3,18 4,17 6,15 8,13
5,15 9,11 2,18 2,18 3,17 2,18 8,12 5,15 8,12 6,14 2,18 2,18 3,17 5,15 6,14 2,18 3,17 3,17
9,10 1,18 9,10 4,15 1,18 4,15 1,18 2,17 2,17 8,11 8,11 8,11 1,18 6,13 4,15 6,13 1,18 1,18
1,17 3,15 1,17 1,17 5,13 1,17 4,14 8,10 4,14 1,17 6,12 1,17 8,10 1,17 1,17 3,15 5,13 4,14
6,11 5,12 5,12 6,11 2,15 5,12 2,15 6,11 6,11 2,15 3,14 3,14 5,12 8, 9 8, 9 8, 9 8, 9 2,15
4,12 6,10 3,13 4,12 6,10 3,13 3,13 4,12 1,15 4,12 1,15 4,12 2,14 2,14 5,11 5,11 2,14 5,11
2,13 2,13 4,11 5,10 4,11 6, 9 6, 9 1,14 5,10 5,10 5,10 5,10 4,11 4,11 2,13 1,14 4,11 6, 9
下面第一组和值23的组合（8,15）如下：
(1) （2） （3） （4） (5）
8,15 8,15 8,15 8,15 8,15
4,18 4,18 4,18 4,18 4,18
5,16 7,14 9,12 9,12 10,11
9,11 9,11 3,17 3,17 3,17
2,17 3,16 6,13 6,13 6,13
6,12 1,17 2,16 7,11 2,16
7,10 5,12 7,10 1,16 5,12
3,13 6,10 5,11 2,14 7, 9
1,14 2,13 1,14 5,10 1,14
（6） （7） (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) （16）
8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15
5,17 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17
3,18 3,18 3,18 7,14 9,12 9,12 9,12 10,11 10,11 10,11 10,11
6,14 9,11 9,11 9,11 2,18 4,16 7,13 2,18 2,18 4,16 6,14
9,10 7,12 7,12 1,18 3,16 1,18 1,18 6,13 3,16 1,18 1,18
7,11 2,16 4,14 2,16 7,11 7,11 2,16 4,14 6,12 6,12 2,16
1,16 4,13 1,16 4,13 4,13 3,14 3,14 1,16 4,13 3,14 4,13
4,12 6,10 6,10 6,10 6,10 6,10 6,10 7, 9 7, 9 7, 9 7, 9
2,13 1,14 2,13 3,12 1,14 2,13 4,11 3,12 1,14 2,13 3,12
(17）（18） （19）（20） （21） (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33)
8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15 8,15
6,16 6,16 6,16 6,16 6,16 6,16 6,16 6,16 9,13 9,13 9,13 9,13 9,13 9,13 10,12 10,12 10,12
3,18 3,18 4,17 4,17 7,14 9,12 9,12 10,11 3,18 3,18 4,17 5,16 5,16 7,14 3,18 4,17 7,14
9,11 9,11 2,18 9,11 2,18 2,18 3,17 3,17 4,16 4,16 6,14 2,18 3,17 3,17 4,16 7,13 3,17
2,17 7,12 9,10 1,18 9,10 5,14 1,18 1,18 2,17 7,12 1,18 7,12 1,18 1,18 2,17 1,18 1,18
5,13 1,17 7,11 5,13 1,17 1,17 4,14 4,14 7,11 1,17 2,16 1,17 2,16 6,12 5,13 2,16 2,16
7,10 4,13 5,12 7,10 4,13 7,10 7,10 5,12 5,12 6,11 7,10 3,14 6,11 6,11 7,10 3,14 4,13
4,12 2,14 3,13 2,14 5,11 3,13 5,11 7, 9 6,10 2,14 5,11 6,10 4,12 7, 9 2,14 5,11 5,11
1,14 5,10 1,14 3,12 3,12 4,11 2,13 2,13 1,14 5,10 3,12 4,11 5,10 1,14 4,11 6, 9 6, 9
下面第一组和值23的组合（9,14）如下：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)
9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14
4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17 5,17
5,16 5,16 5,16 6,15 8,13 8,13 10,11 3,18 3,18 3,18 6,15 8,13 10,11 10,11 10,11 10,11
3,17 3,17 7,13 8,12 3,17 5,15 5,15 4,16 8,12 8,12 2,18 2,18 2,18 2,18 2,18 4,16
7,12 8,11 8,11 2,17 7,12 2,17 2,17 7,12 6,13 4,15 7,12 7,12 6,13 4,15 3,16 1,18
8,10 6,12 1,17 7,11 2,16 7,11 6,12 8,10 2,16 7,11 8,10 3,15 3,15 6,12 6,12 6,12
6,11 7,10 2,15 1,16 6,11 1,16 1,16 6,11 7,10 1,16 1,16 1,16 1,16 1,16 4,13 2,15
1,15 1,15 6,10 3,13 1,15 6,10 3,13 1,15 1,15 6,10 3,13 6,10 4,12 3,13 1,15 3,13
2,13 2,13 3,12 5,10 5,10 3,12 7, 8 2,13 4,11 2,13 4,11 4,11 7, 8 7, 8 7, 8 7, 8
(16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30)
9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14 9,14
7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15 6,11 6,16 6,16 6,16 6,16 6,16 10,12 10,12
8,13 8,13 5,16 5,16 3,18 3,18 4,17 3,18 3,18 4,17 8,13 10,11 10,11 3,18 4,17
2,18 3,17 2,18 3,17 4,16 8,12 2,18 5,15 8,12 8,12 2,18 2,18 3,17 4,16 2,18
3,16 1,18 8,11 1,18 8,11 2,17 8,11 8,11 2,17 1,18 4,15 4,15 1,18 2,17 3,16
1,17 2,16 1,17 8,10 1,17 5,13 5,13 1,17 7,11 7,11 1,17 1,17 5,13 5,13 5,13
6,11 5,12 4,13 6,11 5,12 1,16 1,16 7,10 4,13 2,15 7,10 5,12 2,15 6,11 6,11
4,12 6,10 6,10 4,12 6,10 6,10 6,10 4,12 1,15 3,13 5,11 3,13 4,12 1,15 1,15
5,10 4,11 3,12 2,13 4,11 4,11 3,12 2,13 5,10 5,10 3,12 7, 8 7, 8 7, 8 7，8
下面第一组和值23的组合（10,13）如下
(1) (2) (3) (4) （5） (6) (7) (8) (9)
10,13 10,13 10,13 10,13 10,13 10,13 10,13 10,13 10,13
4,18 6,16 6,16 6,16 6,16 4,18 4,18 4,18 4,18
5,16 7,14 3,18 4,17 4,17 6,15 5,16 6,15 6,15
3,17 2,18 5,15 2,18 5,15 3,17 8,12 9,11 3,17
8,11 4,15 2,17 7,12 1,18 8,11 2,17 3,16 7,12
6,12 1,17 7,11 3,15 7,11 2,16 3,15 8,10 2,16
2,15 8, 9 8, 9 8, 9 8, 9 5,12 6,11 4,13 8, 9
7, 9 5,11 4,12 5,11 5,11 7, 9 7, 9 1,15 5,11
1,14 3,12 1,14 1,14 3,12 1,14 1,14 6, 9 1,14
(10) (11) (12) (13) (14)
10,13 10,13 10,13 10,13 10,13
8,14 8,14 8,14 8,14 8,14
4,17 4,17 5,16 6,15 3,18
6,14 2,18 3,17 3,17 4,16
1,18 7,12 1,18 1,18 7,12
2,16 3,15 6,12 2,16 1,17
6,11 1,16 2,15 5,12 2,15
7, 9 5,11 7, 9 7, 9 5,11
3,12 6, 9 4,11 4,11 6, 9
下面第一组和值23的组合（11,12）如下
(1) (2) (3) (4) （5） (6) (7) (8)
11,12 11,12 11,12 11,12 11,12 11,12 11,12 11,12
4,18 4,18 4,18 4,18 4,18 5,17 5,17 5,17
5,16 5,16 6,15 8,13 8,13 3,18 6,15 7,14
3,17 7,13 7,13 6,14 6,14 7,13 2,18 2,18
6,13 2,17 3,16 3,16 2,17 4,15 3,16 3,16
8,10 3,15 1,17 1,17 3,15 2,16 8,10 8,10
2,15 8, 9 8, 9 2,15 1,16 8, 9 4,13 4,13
7, 9 6,10 2,14 7, 9 7, 9 6,10 7, 9 1,15
1,14 1,14 5,10 5,10 5,10 1,14 1,14 6, 9
（9） （10） (11) (12) （13） (14) (15) （16） （17） （18）
11,12 11,12 11,12 11,12 11,12 11,12 11,12 11,12 11,12 11,12
6 16 6,16 6,16 6,16 6,16 7,15 7,15 7,15 7,15 7,15
3,18 3,18 3,18 4,17 7,14 3,18 3,18 3,18 4,17 4,17
5,15 7,13 7,13 7,13 2,18 4,16 4,16 4,16 2,18 6,14
2,17 2,17 4,15 1,18 4,15 2,17 5,14 6,13 3,16 1,18
8,10 4,14 1,17 3,15 1,17 5,13 1,17 1,17 5,13 2,16
4,13 8, 9 8, 9 8, 9 8, 9 8, 9 8, 9 8, 9 8, 9 8, 9
7, 9 1,15 2,14 2,14 3,13 6,10 6,10 2,14 6,10 3,13
1,14 5,10 5,10 5,10 5,10 1,14 2,13 5,10 1,14 5,10
上面的例子中求出一个组合来就可以同时求出另一个来,用19去减这些数字,余数多数情况下为另外一组组合,而特殊情况下适合原来的数列是相同的。
在上面的例子中,间隔差距为0,我们可以把它用于9阶乘法快速求解幻方中,只要在后面加上一排顺向向下排列为差2组合,逆向从下往上排列即为差0组合,也可以把上面的数字同加9,在前面再来一列1-9这9个数字,也想上面所说顺向向下排列为差2组合,逆向从下往上排列即为差0组合,在下面在介绍一下这种存在幻方没有
1 2 3 4 4 1
3 4 1 2 2 3 2 9 4
4 3 2 1 2 3 7 5 3
2 1 4 3 4 1 6 1 8
（12）
1 3 3 4 1 3
4 2 2 1 2 4
（11）
将第一组和值23的组合（5,18）的第(1)组9对数字5,18 8,14 4,17 9,11 3,16 6,12 7,10 1,15 2,13按（12）顺序带入（11）中得出十进制数字：
来看看第一列的排列
1 2 35 36 22 17
我们看出，在此第一行即告幻方求解失败，所以6阶幻方倍增方图差1组合不存在，也就是说即达不到内对齐也达不到外对齐，所以为0个方图。
三、差2组合
各数字组合如下
（27） （25） （23） （21） （19） （17） （15） （13） （11）
9,18 7,18 5,18 3,18 1,18 1,16 1,14 1,12 1,10
10,17 8,17 6,17 4,17 2,17 2,15 2,13 2,11 2 ,9
11,16 9,16 7,16 5,16 3,16 3,14 3,12 3,10 3 ,8
12,15 10,15 8,15 6,15 4,15 4,13 4,11 4, 9 4, 7
13,14 11,14 9,14 7,14 5,14 5,12 5,10 5, 8 5, 6
12,13 10,13 8,13 6,13 6,11 6, 9 6, 7
11,12 9,12 7,12 7,10 7, 8
10,11 8,11 8, 9
9,10
差2组合在乘以3阶幻方 ,倍增或乘法求解其余幻方有重要作用,下面介绍的倍增方块的每组2个数字,可以用于倍增法求解6阶幻方的倍增块的求值,而到了乘法求解幻方时,以9阶为例,除下面的2组,其余一组可以再排列数字剩余数字19-27,或者2组同加9后再排列1-9,再或者第二列加9后,加中间一列9-18,可以求出顺排差3或逆排差1组合,还可以用于其余幻方的快速求解,以4阶为例,再加一组每组也是两个数字,顺排差4,逆排差0, 还可以和其余的组合再进行组合可以求出很多种数字排列,在此不再赘述
下面按照最小数到最大数排列
一、下面第一组和值11的组合（1,10）如下：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10
2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11
3,12 3,12 6, 9 6, 9 6,9 7,8 7,8 7,8 7,8
4,13 8,9 4,13 4,13 5,12 5,12 4,13 3,14 3,14
5,14 4,15 5,14 3,16 4,15 4,15 5,14 4,14 6,13
6,15 5,16 3,18 7,14 3,18 3,18 3,18 5,16 4,17
7,16 6,17 7,16 5,18 7,16 6,17 6,17 6,17 5,18
8,17 7,18 8,17 8,17 8,17 9,16 9,16 12,13 9,16
9,18 13,14 9,18 9,18 9,18 13,14 12,15 9,18 12,15
(10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18)
1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10
4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9
2,13 2,13 2,13 2,13 3,12 3,12 3,12 3,12 7,8
3,14 3,14 6,11 6,11 6,11 2,15 2,15 2,15 2,15
7,12 8,11 3,16 5,14 2,17 6,13 5,14 8,11 5,14
6,15 5,16 7,14 3,18 5,16 7,14 8,13 5,16 3,18
5,18 6,17 5,18 7,16 8,15 5,18 6,17 6,17 6,17
8,17 7,18 8,17 8,17 7,18 8,17 7,18 7,18 12,13
11,16 12,15 12,15 12,15 13,14 11,16 11,16 13,14 11,16
(19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27)
1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10
5,8 5,8 5,8 5,8 5,8 5,8 5,8 5,8 5,8
2,13 2,13 2,13 3,12 3,12 4,11 4,11 6,9 6,9
3,14 6,11 6,11 2,15 4,13 2,15 3,14 2,15 4,13
4,15 3,16 3,16 6,13 2,17 3,16 2,17 3,16 2,17
9,12 4,17 4,17 4,17 6,15 7,15 6,15 4,17 3,18
6,17 9,14 9,14 9,14 7,16 6,17 7,16 11,12 7,16
7,18 7,18 7,18 7,18 11,14 12,13 12,13 7,18 11,14
11,16 12,15 12,15 11,16 9,18 9,18 9,18 13,14 12,15
(28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38)
1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10
6,7 6,7 6,7 6,7 6,7 6,7 6,7 6,7 6,7 6,7 6,7
2,13 2,13 2,13 2,13 2,13 2,13 3,12 4,11 4,11 4,11 4,11
3,14 3,14 3,14 5,12 5,12 8,9 4,13 2,15 3,14 3,14 5,12
4,15 4,15 8,11 3,16 4,15 3,16 2,17 3,16 2,17 2,17 2,17
5,16 9,12 4,17 4,17 3,18 4,17 5,16 9,12 5,16 8,13 3,18
11,12 5,18 5,18 8,15 9,14 5,18 8,15 5,18 8,15 5,18 8,15
8,17 8,17 9,16 11,14 8,17 11,14 11,14 8,17 12,13 9,16 9,16
9,18 11,16 12,15 9,18 11,16 12,15 9,18 13,14 9,18 12,15 13,14
下面第一组和值11的组合（2,9）如下：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
2,9 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9
1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12
4,11 4,11 5,10 7,8 7,8 7,8 7,8
3,14 7,10 3,14 3,14 4,13 4,13 6,11
6,13 3,16 6,13 6,13 3,16 5,14 3,16
5,16 6,15 4,17 4,17 6,15 3,18 4,17
8,15 5,18 8,15 5,18 5,18 6,17 5,18
7,18 8,17 7,18 10,15 11,14 10.15 10.15
10,17 13,14 11,16 11,16 10,17 11,16 13,14
(8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17)
2,9 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9
3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10
1,14 1,14 1,14 1,14 4,11 4,11 4,11 4,11 7,8 7,8
4,13 4,13 5,12 5,12 1,16 1,16 1,16 5,12 1,16 4,13
7,12 8,11 4,15 6,13 5,14 6,13 7,12 1,18 6,13 1,18
6,15 5,16 8,13 4,17 8,13 7,14 6,15 6,15 4,17 5,16
5,18 6,17 6,17 8,15 6,17 5,18 5,18 7,16 5,18 6,17
8,17 7,18 7,18 7,18 7,18 8,17 8,17 8,17 11,14 11,14
11,16 12,15 11,16 11,16 12,15 12,15 13,14 13,14 12,15 12,15
(18) (19) (20) (21) (22) (23) (24)
2,9 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9
5,8 5,8 5,8 5,8 5,8 5,8 5,8
1,14 1,14 3,12 3,12 3,12 3,12 4,11
4,13 4,13 1,16 4,13 4,13 6,11 1,16
3,16 7,12 4,15 1,18 1,18 1,18 7,12
6,15 3,18 10,11 6,15 7,14 4,17 3,18
11,12 6,17 6,17 7,16 6,17 7,16 6,17
7,18 10,15 7,18 11,14 10,15 10,15 10,15
10,17 11,16 13,14 10,17 11,16 13,14 13,14
(25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33)
2,9 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9
6,7 6,7 6,7 6,7 6,7 6,7 6,7 6,7 6,7
1,14 1,14 3,12 3,12 3,12 4,11 4,11 4,11 4,11
4,13 5,12 1,16 1,16 4,13 1,16 1,16 3,14 3,14
3,16 4,15 8,11 4,15 1,18 5,14 5,14 1,18 1,18
10,11 3,18 4,17 8,13 5,16 3,18 3,18 5,16 5,16
5,18 10,13 5,18 5,18 8,15 10,13 8,15 8,15 10,13
8,17 8,17 10,15 11,14 11,14 8,17 12,13 12,13 8,17
12,15 11,16 13,14 10,17 10,17 12,15 10,17 10,17 12,15
下面第一组和值11的组合（3,8）如下：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8
1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12
2,13 2,13 2,13 2,13 4,11 4,11 4,11 4,11 5,10 5,10
6,11 6,11 6,11 7,10 2,15 2,15 7,10 2,15 2,15 4,13
4,15 4,15 5,14 4,15 6,13 6,13 2,17 9,10 6,13 2,17
7,14 5,16 4,17 5,16 5,16 7,14 6,15 5,16 4,17 6,15
5,18 9,14 7,16 6,17 9,14 5,18 5,18 6,17 7,16 9,14
9,16 7,18 10,15 11,14 7,18 9,16 9,16 7,18 11,14 7,18
10,17 10,17 9,18 9,18 10,17 10,17 13,14 13,14 9,18 11,16
(11) (12) (13) （14）
3,8 3,8 3,8 3,8
1,12 1,12 1,12 1,12
5,10 5,10 6,9 6,9
4,13 2,15 2,15 4,13
2,17 6,13 5,14 2,17
6,15 4,17 4,17 7,14
7,16 7,16 10,13 5,18
11,14 11,14 7,18 10,15
9,18 9,18 11,16 11,16
(15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26)
3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8
2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11
1,14 1,14 1,14 1,14 1,14 1,14 5,10 5,10 5,10 6,9 6,9 6,9
4,13 4,13 4,13 5,12 7,10 7,10 1,16 1,16 4,13 5,12 1,16 1,16
7,12 7,12 9,10 6,13 4,15 6,13 4,15 6,13 1,18 1,18 7,12 5,14
5,16 6,15 5,16 4,17 5,16 4,17 7,14 4,17 7,14 4,17 4,17 4,17
6,17 5,18 6,17 7,16 6,17 5,18 6,17 9,14 6,17 7,16 5,18 10,13
10,15 9,16 7,18 10,15 12,13 9,16 12,13 7,18 9,16 10,15 10,15 7,18
9,18 10,17 12,15 9,18 9,18 12,15 9,18 12,15 12,15 13,14 13,14 12,15
(28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37)
3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8
4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9
1,14 1,14 1,14 2,13 2,13 2,13 2,13 2,13 5,10 5,10
2,15 5,12 6,11 1,16 1,16 5,12 5,12 7,10 1,16 2,15
6,13 2,17 2,17 5,14 5,14 1,18 1,18 1,18 2,17 1,18
5,16 6,15 5,16 6,15 10,11 6,15 7,14 5,16 6,15 7,14
11,12 10,13 10,13 11,12 6,17 7,16 6,17 6,17 11,12 6,17
7,18 7,18 7,18 7,18 7,18 11,14 10,15 11,14 7,18 12,13
10,17 11,16 12,15 10,17 12,15 10,17 11,16 12,15 13,14 11,16
(38) (39) (40) (41) (42) (43) (44)
3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8
6,7 6,7 6,7 6,7 6,7 6,7 6,7
1,14 1,14 1,14 2,13 4,11 4,11 4,11
2,15 4,13 4,13 1,16 5,12 1,16 2,15
9,10 2,17 2,17 5,14 1,18 2,17 1,18
4,17 5,16 10,11 4,17 4,17 9,12 5,16
5,18 11,12 5,18 11,12 9,14 5,18 9,14
12,13 10,15 9,16 10,15 10,15 10,15 12,13
11,16 9,18 12,15 9,18 11,16 13,14 10,17
下面第一组和值11的组合（4,7）如下：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
4,7 4,7 4,7 4,7 4,7 4, 7 4,7 4,7 4, 7 4,7 4,7
1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12
2,13 2,13 2,13 2,13 2,13 5,10 5,10 5,10 5,10 6,9 6,9
3,14 3,14 3,14 8,9 8,9 2,15 2,15 2,15 6,11 2,15 3,14
8,11 8,11 9,10 3,16 5,14 3,16 6,13 8,11 2,17 3,16 2,17
5,16 6,15 6,15 6,15 3,18 8,13 3,18 3,18 3,18 10,11 8,13
6,17 5,18 5,18 5,18 6,17 6,17 9,14 6,17 8,15 5,18 5,18
10,15 9,16 8,17 11,14 10,15 11,14 8,17 9,16 9,16 8,17 10,15
9,18 10,17 11,16 10,17 11,16 9,18 11,16 13,14 13,14 13,14 11,16
(12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) （20）
4,7 4,7 4,17 4,7 4,7 4, 7 4,7 4,7 4,17
2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11
1,14 1,14 1,14 1,14 3,12 3,12 5,10 5,10 6,9
5,12 5,12 5,12 8,9 1,16 8,9 1,16 3,14 1,16
3,16 3,16 6,13 3,16 5,14 1,18 6,13 1,18 3,14
6,15 8,13 3,18 6,15 8,13 5,16 3,18 8,13 5,16
10,13 6,17 8,15 5,18 6,17 6,17 9,14 6,17 8,15
8,17 10,15 9,16 12,13 10,15 10,15 8,17 9,16 12,13
9,18 9,18 10,17 10,17 9,18 13,14 12,15 12,15 10,17
(21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30)
4,7 4,7 4,7 4,7 4,7 4, 7 4,7 4,7 4,7 4,7
3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10
1,14 1,14 1,14 1,14 2,13 2,13 2,13 2,13 6,9 6,9
2,15 2,15 6,11 8,9 1,16 5,12 6,11 8,9 1,16 2,15
8,11 6,13 2,17 2,17 5,14 1,18 1,18 1,18 2,17 1,18
5,16 5,16 5,16 6,15 6,15 6,15 5,16 5,16 8,13 5,16
6,17 11,12 8,15 5,18 11,12 9,14 9,14 6,17 5,18 11,12
12,13 8,17 12,13 12,13 8,17 8,17 8,17 11,14 11,14 8,17
9,18 9,18 9,18 11,16 9,18 11,16 12,15 12,15 12,15 13,14
(31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) （38）
4,7 4,7 4,7 4,7 4,7 4, 7 4,7 4,7
5,8 5,8 5,8 5,8 5,8 5,8 5,8 5,8
1,14 1,14 2,13 2,13 3,12 3,12 6,9 6,9
6,11 2,15 1,16 3,14 1,16 2,15 1,16 1,16
2,17 3,16 9,10 1,18 2,17 1,18 2,17 2,17
3,18 10,11 3,18 9,12 6,15 10,11 3,18 3,18
10,13 6,17 6,17 6,17 10,13 6,17 10,13 11,12
9,16 12,13 11,14 10,15 11,14 9,16 11,14 10,15
12,15 9,18 12,15 11,16 9,18 13,14 12,15 13,14
、下面第一组和值11的组合（5,6）如下：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6
1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12
2,13 2,13 2,13 2,13 2,13 2,13 4,11 4,11 4,11 4,11
3,14 3,14 3,14 7,10 7,10 8,9 2,15 2,15 2,15 3,14
4,15 8,11 9,10 3,16 4,15 4,15 3,16 3,16 9,10 2,17
10,11 4,17 4,17 4,17 3,18 3,18 7,14 8,13 3,18 8,13
7,16 7,16 8,15 8,15 9,14 7,16 10,13 9,14 7,16 7,16
8,17 10,15 7,18 11,14 8,17 11,14 8,17 7,18 8,17 10,15
9,18 9,18 11,16 9,18 11,16 10,17 9,18 10,17 13,14 9,18
(10） （11） （12） （13）
5,6 5,6 5,6 5,6
1,12 1,12 1,12 1,12
4,11 4,11 7,8 7,8
7,10 8,9 2,15 2,15
2,17 2,17 3,16 3,16
3,18 3,18 4,17 4,17
8,15 7,16 10,13 11,12
9,16 10,15 11,14 10,15
13,14 13,14 12,15 13,14
（14） (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23)
5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6
2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11
1,14 1,14 1,14 1,14 1,14 1,14 3,12 3,12 3,12 3,12
4,13 4,13 4,13 7,10 8,9 8,9 1,16 1,16 1,16 4,13
3,16 7,12 9,10 3,16 3,16 4,15 4,15 4,15 9,10 1,18
9,12 3,18 3,18 4,17 4,17 3,18 7,14 8,13 4,17 7,14
8,15 8,15 7,16 8,15 10,13 7,16 10,13 9,14 8,15 8,15
7,18 9,16 8,17 12,13 7,18 12,13 8,17 7,18 7,18 9,16
10,17 10,17 12,15 9,18 12,15 10,17 9,18 10,17 13,14 10,17
（24） （25） （26） （27）
5,6 5,6 5,6 5,6
2,11 2,11 2,11 2,11
3,12 3,12 7,8 7,8
7,10 8,9 1,16 3,14
1,18 1,18 4,15 1,18
4,17 4,17 3,18 4,17
8,15 7,16 9,14 10,13
9,16 10,15 12,13 9,16
13,14 13,14 10,17 12,15
（28） (29) (30) （310 (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38)
5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6
3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10
1,14 1,14 2,13 2,13 2,13 4,11 4,11 4,11 4,11 7,8 7,8
2,15 4,13 1,16 1,16 1,16 1,16 1,16 1,16 2,15 1,16 2,15
8,11 2,17 4,15 7,12 8,11 7,14 8,13 9,12 9,12 4,17 4,17
7,16 8,15 11,12 8,15 9,14 8,15 9,14 8,15 7,16 11,12 9,14
12,13 7,18 8,17 11,14 7,18 12,13 7,18 7,18 8,17 9,16 12,13
9,18 11,16 9,18 9,18 12,15 9,18 12,15 13,14 13,14 13,14 11,16
(39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49)
5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6 5,6
4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9 4,9
1,14 1,14 1,14 2,13 2,13 3,12 3,12 3,12 3,12 7,8 7,8
2,15 2,15 2,15 1,16 3,14 1,16 2,15 2,15 2,15 1,16 1,16
3,16 7,12 8,11 7,12 1,18 2,17 1,18 1,18 1,18 2,17 2,17
8,13 3,18 3,18 3,18 10,11 10,11 7,14 8,13 10,11 3,18 3,18
11,12 10,13 7,16 8,15 7,16 8,15 10,13 7,16 7,16 10,13 11,12
7,18 8,17 12,13 11,14 8,17 7,18 8,17 11,14 8,17 11,14 10,15
10,17 11,16 10,17 10,17 12,15 13,14 11,16 10,17 13,14 12,15 13,14
6阶幻方倍增方图差2组合不存在，也就是说即达不到内对齐也达不到外对齐，还不能达到内外组合对齐，所以为0个方图。
四、差3组合
各数字组合如下
（31） (28) (25) (22) （19） （16） （13） （10） （7）
13,18 10,18 7,18 4,18 1,18 1,15 1,12 1,9 1,6
14,17 11,17 8,17 5,17 2,17 2,14 2,11 2,8 2,7
15,16 12,16 9,16 6,16 3,16 3,13 3,10 3,7 3,5
13,15 10,15 7,15 4,15 4,12 4,9 4,6
11,14 8,14 5,14 5,11 5,8
12,13 9,13 6,13 6,10 6,7
10,12 7,12 7,9
8,11
9,10
差2组合在乘以3阶幻方 ,倍增或乘法求解其余幻方有重要作用,下面介绍的倍增方块的每组2个数字,可以用于倍增法求解6阶幻方的倍增块的求值,而到了乘法求解幻方时,以9阶为例,除下面的2组,其余一组可以再排列数字剩余数字19-27,或者2组同加9后再排列1-9,再或者第二列加9后,加中间一列9-18,可以求出顺排差4或逆排差2组合,还可以用于其余幻方的快速求解,以4阶为例,再加一组每组也是两个数字,顺排差6,逆排差0,还可以与其余组合再进行组合可以求出很多种数字排列,在此不再赘述。
按照最小数到最大数排列
一、下面第一组和值7的组合（1,6）如下：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) （12） (13)
1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6
2,8 2,8 2,8 2,8 2,8 2,8 2,8 2,8 2,8 3,7 3,7 3,7 3,7
3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 4,9 4,9 4,9 4,9 2,11 2,11 4,9
4,12 5,11 7,9 5,11 7,9 5,11 3,13 3,13 5,11 5,11 4,12 4,12 5,11
5,14 4,15 4,15 7,12 5,14 7,12 5,14 7,12 3,16 3,16 5,14 5,14 2,17
9,13 9,13 5,17 4,18 4,18 4,18 10,12 5,17 10,12 7,15 9,13 7,15 8,14
7,18 7,18 11,14 9,16 12,13 9,16 7,18 11,14 7,18 12,13 8,17 8,17 12,13
11,17 12,16 12,16 13,15 11,17 13,15 11,17 10,18 13,15 10,18 10,18 12,16 10,18
15,16 14,17 13,18 14,17 15,16 14,17 15,16 15,16 14,17 14,17 15,16 13,18 15,16
(14) (15) (16) (17) (18) (19) (20)
1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6
3,7 3,7 3,7 3,7 3,7 3,7 3,7
4,9 5,8 5,8 5,8 4,9 4,9 4,9
2,14 2,14 2,14 4,12 2,14 5,11 2,14
8,11 4,15 9,10 2,17 8,11 2,17 8,11
5,17 10,12 4,18 9,13 5,17 8,14 5,17
10,15 9,16 12,13 11,14 12,13 10,15 12.,13
12,16 11,17 11.17 10,18 10,18 12,16 10,18
13,18 13,18 15,16 15,16 15,16 13,18 15,16
二、下面第一组和值7的组合（2,5）如下
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)
2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5
1,9 1,9 1,9 1,9 3,7 3,7 3,7 3,7 4,6 4,6 4,6 4,6
3,10 3,10 6,7 6,7 1,12 1,12 4,9 4,9 1,12 1,12 1,12 3,10
4,12 4,12 3,13 4,12 6,10 6,10 1,15 6,10 3,13 3,13 7,9 1,15
6,13 8,11 8,11 3,16 8,11 4,15 8,11 1,18 8,11 9,10 3,16 8,11
8,14 6,16 4,18 8,14 4,18 8,14 6,16 8,14 7,15 8,14 8,14 9,13
7,18 7,18 10,15 10,15 9,16 9,16 12,13 12,13 9,16 7,18 10,15 7,18
11,17 13,15 12,16 11,17 13,15 11,17 10,18 11,17 10,18 11,17 11,17 12,16
15,16 14,17 14,17 13,16 14,17 13,18 14,17 15,16 14,17 15,16 13,18 14,17
(13) (14)
2,5 2,5
4,6 4,6
3,10 3,10
1,15 7,9
7,12 1,18
8,14 8,14
9,16 12,13
11,17 11,17
13,18 15,16
三、下面第一组和值7的组合（3,4）如下
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)
3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4
1,9 1,9 1,9 1,9 1,9 1,9 2,8 2,8 2,8 2,8 2,8 2,8
2,11 5,8 5,8 5,8 6,7 6,7 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12 1,12
6,10 2,14 2,14 6,10 2,14 5,11 5,11 5,11 6,10 6,10 7,9 7,9
5,14 6,13 7,12 2,17 8,11 2,17 6,13 9,10 5,14 5,14 6,13 5,14
7,15 10,12 6,16 7,15 5,17 8,14 7,15 6,16 7,15 9,13 5,17 6,16
8,17 7,18 10,15 11,14 10,15 10,15 9,16 7,18 9,16 7,18 11,14 10,15
12,16 11,17 11,17 12,16 12,16 12,16 10,18 13,15 11,17 11,17 10,18 11,17
13,18 13,18 13,18 13,18 13,18 13,18 14,17 14,17 13,18 15,16 15,16 13,18
(13) (14) (15) (16)
3,4 3,4 3,4 3,4
2,8 2,8 2,8 2,8
6,7 6,7 6,7 6,7
1,15 1,15 5,11 5,11
5,14 9,10 1,18 1,18
10,12 5,17 9,13 10,12
9,16 11,14 10,15 9,16
11,17 12,16 12,16 13,15
13,18 13,18 14,17 14,17
上面就是差3组合，同理可以用19减去每个数字可以验证一下有无遗漏组合，6阶幻方倍增方图差3组合不存在，也就是说即达不到内对齐也达不到外对齐，所以为0个方图。
四、差4组合
差4组合在乘以3阶幻方 ,倍增或乘法求解其余幻方有重要作用,下面介绍的倍增方块的每组2个数字,可以用于倍增法求解6阶幻方的倍增块的求值,而到了乘法求解幻方时,以9阶为例,除下面的2组,其余一组可以再排列数字剩余数字19-27,或者2组同加9后再排列1-9,再或者第二列加9后,加中间一列9-18,可以求出顺排差5或逆排差3组合,还可以用于其余幻方的快速求解,以4阶为例,再加一组每组也是这两个数字,顺排差8逆排差0,还可以与其余组合再进行组合可以求出很多种数字排列,在此不再赘述
差4组合
这个组合就一组，排列如下：
1,2 3,4 5,6 7,8 9,10 11,12 13,14 15,16 17,18
在这个组合里是和连续法相同，在进行验证，看幻方成立与否
举例如下：
1 2 3 4 4 1
3 4 1 2 2 3 2 9 4
4 3 2 1 2 3 7 5 3
2 1 4 3 4 1 6 8 1
1 3 3 4 1 3
4 2 2 1 2 4
（11） （12）
5 6 36 35 16 13
8 7 33 34 15 14
27 28 18 17 9 12
26 25 19 20 11 10
21 23 1 3 31 32
24 22 4 2 29 30
（13）
上面的（13）即为求出的差4组合也就是连续法求解的6阶幻方。
五、对于乘法求解包含乘因子为3的其余幻方
由上面求出的等差数列可以应用于其他的一个乘因子为3数字抽取，对于上面的等差数列不论是差0、差1、差2、差3、差4，在求解其余的乘3的乘法求解幻方都可再次用到，可以立即求出3列不同的组合，前面同加9，最前列加上1-9这组数字是第一种，第二种后排直接加上19-27这组数字，中间加上9，再将10-19这组数字加入得到第三种。顺向排列，即是上面等差的数字再加1，逆排列就是上面的等差排列再减去1，对于等差为0的排列数组后面，无论怎么排列都是差1组合。而在求其余一个乘因子为3的倍数的时候，也可以互相组合快速求出数列。比如乘法求解24阶幻方，用6*4的方法，边长6的小幻方块里面的数字为36个，将上面的数字组合两两互相随便组合，不论等差为几都可以应用到，而其数列的位置不同，有可得到不同的数字抽取组合，比方说在差1组合第一个里，可以在逆排列一列，这样就得到了差0组合的4组数字，而对于其数值的填写，就可以有几种方法，第一种第一列不变，第二列的每组两个数字同加18，第二种第一列第一个数字不变，第二列数字的第一个数字加9，第一列第二个数字加9，第二列第二个数字加18，还有第二列第一个数字不变，第一列数字同加9，第二列第二个数字同加18，等等好多种，在这里还要注意排列中的10或者9发生位移，不再其本来应该在的列数字中的情况，那就要求列数字不像上面的将其拆开分布，只能不变或同加一个数字18，也有特殊的就是把两列相同错列情况的组合一起，上面方法即可以用，不管如何，只要遍历所有数字，这种抽取数字就成立，幻方即可成立。而对于对于其余幻方不在介绍，有兴趣的话，大家可以自行研究。
六、等差排列里面每的组合的自排列
上面求解出来的数字排列，可以在其内部在进行自排列，这样就可以得到不同的等差数字组合，例如差1排列里面的相邻3组数字可以组成6个数字的组合，这样可以应用到差3排列乘因子为6的幻方的求解，在这里不详细说明。
第七章 8阶幻方的特殊解法外倍增法
8阶幻方除了上面章节所说的倍增法求解，还有最前面前后方图求解外，还有一个特殊的但是快捷的求解方法，那就是内对齐后的外倍增的方法，将8阶幻方中心线割裂为4个相连的4阶幻方块，只要保证每个幻方块的内部行列以及大幻方的对角线上的数字和值全相同，即可得出8阶幻方，这样就需要将64个数字按照连续或同余每8个、4个、2个3种方式进行分组，每组编号从1到8、1到16、 1到32再将这些数字组进行不同组合即可快速得出8阶幻方，这样在上面着重介绍的4阶幻方的具体幻方图可以用到，他的快速求解幻方个数就是小幻方数字组合种类乘以排列4，再乘每一个小幻方块的排列个数的4次方。这个数字数值很大，有兴趣自己求解，在此不做介绍。
第一节
借用4阶幻方第一类第二类前后方图图表快速求解小幻方块数字的抽取
而对于8阶幻方外倍增法求解时的小幻方数字的组合，在以前求出的第一类全等和15种组合可以用于小幻方的求解，借用以前所求出的表格，在下表中，只要除了0个不能求解的幻方，有数字个数的都可以用来求解小幻方数字的组合，可以将这个幻方行或列的4个数字拿出来，每个数字变成相连的4个数字或同余的4个数字。或者随便拿出任意两个组合，将一个作为1-16，而另一个作为17-32，里面随便的一条边中的4个数字拿出来，每个数字变成2个，每个数字变成相连的2个数字或同余的2个数字，再进行组合，可以得到很多种组合。
借用表格如下：
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
1 |
16*8 |
16*8 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
16*16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
16*8 |
16*8 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*8 |
16*2 |
16*2 |
16*2 |
16*2 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*2 |
0 |
0 |
16*2 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*2 |
16*2 |
0 |
0 |
|
5 |
16*8 |
16*8 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
16*2 |
16*2 |
16*2 |
16*2 |
0 |
|
6 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*2 |
0 |
16*2 |
0 |
0 |
|
7 |
0 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*2 |
16*2 |
0 |
|
8 |
16*16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*4 |
16*4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
16*4 |
0 |
8*8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
10 |
0 |
16*8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16*4 |
8*8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
11 |
0 |
16*2 |
16*2 |
0 |
16*2 |
16*2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
12 |
0 |
16*2 |
0 |
16*2 |
16*2 |
0 |
16*2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
13 |
0 |
16*2 |
0 |
16*2 |
16*2 |
0 |
16*2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
14 |
0 |
16*2 |
16*2 |
0 |
16*2 |
16*2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
24*48 |
同理，在第2类非等和对角线互补的组合中，也可以把上面章节的图表借用，也可以用上面的方法再进行小幻方中的数字抽取,每种组合都可以行和列两种抽取方法，在这里，图表不再罗列，有兴趣的可以自己研究。
第二节
8阶外倍增小幻方中按照单个数字的抽取
像前面第一节所讲的一样，对于小幻方中精准到每个数字也就是说在一个小幻方块里，每个数字都在各自的位置单独存在，可以把4阶幻方的7040个幻方图，做成4个依次数字递增的小幻方，第1个是1-16，第2个17-32，第3个33-48，第4个49-64，将4个小幻方按照和值为5进行数值的抽取，比方说1和4互补，2和3互补，然后抽取每个小幻方上对角线上的数字与对角线数值互补的小幻方替换，这样保证了每一条边都包含1,2,3,4并且对角线可以互补和值不变，这4个小幻方的所有边和对角线就达到了外对齐的要求，这样幻方成立，快速求解这类幻方的数量为7040的4次方乘以排列4共有24种排列。
以第一类第一种的1个举例一下，
1）先第二对角线求出（11）
（11）
2 3 1 4
4 1 3 2
3 2 4 1
1 4 2 3
2）第2对角线镜像得出（21）
（21）
3 1 2 4
2 4 3 1
4 2 1 3
1 3 4 2
3）幻方数字方图（31）
23 31 12 44
42 14 33 21
34 22 41 13
11 43 24 32
（31）
4）转换成十进制数字幻方（1）：
7 9 2 16
14 4 11 5
12 6 13 3
1 15 8 10
（1）
5）求出其余外倍增的3个小幻方块
23 25 18 32 39 41 34 48 55 57 50 64
30 20 27 21 46 36 43 37 62 52 59 53
28 22 29 19 44 38 45 35 60 54 61 51
17 31 24 26 33 47 40 42 49 63 56 58
（２） （３） （４）
6) 将（1）,（2）,（3）,（4）以<5>方式排列加入外倍增的小幻方块中，此例子为1,2,3,4顺序。
7 9 2 16 23 25 18 32
14 4 11 5 30 20 27 21
12 6 13 3 28 22 29 19
1 15 8 10 17 31 24 26
39 41 34 48 55 57 50 64
33 47 40 42 49 63 56 58
44 38 45 35 60 54 61 51
46 36 43 37 62 52 59 53
（ 41）
7)将小幻方对角线按小幻方块和值5互补，进行对角线互换，
55 9 2 64 39 25 18 48
14 63 56 5 30 47 40 21
12 54 61 3 28 38 45 19
62 15 8 53 46 31 24 37
23 41 34 32 7 57 50 16
33 20 27 42 49 4 11 58
44 22 29 35 60 6 13 51
17 36 43 26 1 52 59 10
（51）
8) (51)就是一个8阶外倍增法单个数字抽取的一个快速求解例子。幻方成立。
第三节
8阶数字的等差抽取
按照乘因子分解16可以分解成8个数字或4个数字或者2个数字，我们可以按照上面求解6阶幻方数字抽取的方法，但因为其为偶数，没有重心，所以只有第差数字为偶数的组合，等差数字为奇数的组合不成立。
一 8个数字一组的组合方式
一共有8个数字，数字数量很少，不必用上面章节所描述的每一个组合罗列数字
1、差0组合
这类组合就一种即1,8 、2,7 、3,6、4,5
2、差2组合
这类组合只有1,5、2,6、3,7、4,8一种组合
3、差4组合
这类组合只有1,2、3,4、5,6、7,8、一种组合。
上面的各个组合可以用于外倍增的数字抽取。
二、4个数字一组的组合方式
一共有16个数字，需要数字列表
1、差0组合
这类组合就一种即1,16、2,15、3,14、4,13、5,12、6,11、7,10、8,9。
2、差2组合
数字排列图表如下
(10) (12) (14) (16) (18) (20) (22) (24)
1, 9 1,11 1,13 1,15
2, 8 2,10 2,12 2,14 2,16
3, 7 3, 9 3,11 3,13 3,15
4, 6 4, 8 4,10 4,12 4,14 4,16
5, 7 5, 9 5,11 5,13 5,15
6, 8 6,10 6,12 6,14 6,16
7, 9 7,11 7,13 7,15
8,10 8,12 8,14 8,16
9,11 9,13 9,15
10,12 10,14
11,13
1)和值10的1,9组合
（1） （2） （3） （4） （5）
1, 9 1, 9 1, 9 1, 9 1, 9
2,10 4, 8 4, 8 5, 7 5, 7
3,11 2,12 2,12 2,12 4,10
4,12 3,13 5,11 6,10 2,14
5,13 7,11 3,15 3,15 3,15
6,14 5,15 7,13 4,16 8,12
7,15 6,16 6,16 8,14 6,16
8,16 10,14 10,14 11,13 11,13
2) 和值10的2,8组合
（1） （2） （3） （4） (5)
2, 8 2, 8 2, 8 2, 8 2, 8
1,11 1,11 3, 9 3, 9 5, 7
5, 9 5, 9 1,13 1,13 1,13
3,13 4,12 4,12 5,11 4,12
6,12 3,15 7,11 6,12 3,15
4,16 7,13 5,15 4,16 9,11
7,15 6,16 6,16 7,15 6,16
10,14 10,14 10,14 10,14 10,14
3)和值10的3,7组合
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
3, 7 3, 7 3, 7 3, 7 3, 7 3, 7 3, 7 3, 7 3, 7
1,11 1,11 1,11 1,11 1,11 2,10 2,10 2,10 2,10
2,12 2,12 4,10 4,10 6, 8 1,13 1,13 5, 9 5, 9
6,10 6,10 2,14 2,14 2,14 5,11 5,11 1,15 1,15
4,14 5,13 5,13 6,12 5,13 6,12 4,14 4,14 6,12
5,15 4,16 8,12 5,15 4,16 4,16 8,12 8,12 4,16
9,13 8,14 6,16 9,13 10,12 8,14 6,16 6,16 8,14
8,16 9,15 9,15 8,16 9,15 9,15 9,15 11,13 11,13
4)和值10的4,6组合
(1) (2) (3) (4) （5） (6)
4, 6 4, 6 4, 6 4, 6 4, 6 4, 6
1,11 1,11 3, 9 3, 9 5, 7 5, 7
5, 9 5, 9 1,13 1,13 1,13 3,11
2,14 3,13 5,11 2,14 2,14 1,15
3,15 2,16 2,16 7,11 3,15 2,16
7,13 8,12 8,12 5,15 9,11 8,12
10,12 7,15 7,15 10,12 10,12 9,13
8,16 10,14 10,14 8,16 8,16 10,14
3、差4组合
这类组合就一种即1,2、3,4、5,6、7,8、9,10、11,12、13,14、15,16。
上面所说的这几种组合可以直接用于8阶的外倍增幻方块（自排列），也可用于直接用于倍增法求解8阶以及4阶倍数的幻方求解（两两互相组合）。
对于上面的这一章节，未进行计算机验证，肯定有所疏漏，欢迎计算机编程爱好者将这些章节编程，和大家进行分享。
第四节
隔差排列的方法研究
实际上在幻方研究中，除了这些规规矩矩的等差排列，还有一种隔差方法，其就是将上面所论述的数字组合，之间的差值数字为2个与中值互补的数字，也可以有不同的差值，比方说在8阶幻方小幻方块抽取数字时，一个比中值小2，另一个比中值大2，剩余的两个为中值。在这里组合还有种，只要遍历而且排列大幻方中位置达到相互平衡即可。这里不再详细讲述。
第八章
小幻方块在大幻方位置不同达到和值相等的排列数量研究
在乘法求解幻方中由于对角线上有几个乘因子幻方与之发生联系，对于在奇数幻方中只需要将对角线上的乘因子幻方除重心的单条对角线，而两条对角线重心所在的乘因子幻方的所有边包括两条对角线都需要满足和值全相等。而对于偶数幻方由于其没有重心所以只要单条对角线满足要求即可以。
一、和值外对齐方法
对于这个方法的介绍以乘法求幻方3*3=9阶幻方为例子，如下图所示，重心所在乘因子幻方块为满足所有的边包括对角线只有8种组合，而对角线有两条共有4个边角乘因子幻方块，将对角线重新拆分组合，其中任意一条即得到对角线数字的排列3个再乘2（对角线镜像）一共12种，有两条即一共24种组合，其实就是多了2为边角的16个排列幻方图，而4个中间乘因子幻方块的排列为一个就是排列3的平方36种（即行数字3排列乘以列数字3排列）再乘以2共有72种，这样在乘法求解9阶幻方就不是上面章节所说的8的9次方个了，他的数字是8（重心）*24^4(边角)*72^4(中间)种排列图形,数字大家自己算.
可以借用6阶幻方倍增图的图形,只是倍增块简化成块,适合于乘3乘法求解幻方,块可以是倍增块、3阶及以上幻方块。同样对于其余的乘法求解奇数幻方中，其重心块只有一个，而边角块进一步变换为对角线块，中间块不变是指除了对角线和重心外所有的其余块的统称，其对角线没有和值的要求。同理对于偶数幻方没有重心，所以只包括两种类型的幻方块即对角线块与中间块。
这样9阶幻方位置示意图中的块即3阶幻方图，可以用下面形式表示：
{边角块} {中间块} {边角块}
{中间块} {重心块} {中间块}
{边角块} {中间块} {边角块}
同样可以借助于上面的求6阶倍增幻方图中的等差（包括差1、2、3、4等等）数列，再进行组合，可以快速求解出和值外对齐的幻方。
二、和值内对齐方法
除了外对齐外，还有一种很重要的对齐方法，即每一个块中的所有边包括对角线和值全相等，在这里每个块里行列和值都保持一致，对角线上的块则还需要保持其在大幻方中相应的对角线上的和值相同，这即是内对齐法，上面讲的８阶幻方就可以内对齐，就是单个数字的话用替换对角线（互补替换），2个或4个等，可以用4阶幻方求解出来的直接抽取数字组合每2个或4个。在这里不再详述。
第九章
乘法或倍增法求解幻方中数字的排列数量研究
在上面的章节中，我们知道了乘法或倍增法（包括外倍增）求解幻方时，每一个小幻方块中都可以看做一个单独的幻方，可以讲小幻方中数字排列，就可以将以前求解出的小幻方的个数以及排列方式，再次应用于大幻方的求解，而在大幻方中由于小幻方的位置不同，因为乘因子的不同对于其排列都有所影响。
以求解12阶幻方举例来说明一下，比方说3*4与4*3就不同，后面那个4*3中4阶的小幻方块一共有3种位置，有重心、对角线上、其余的中间位置，而前面那个3*4却只有两种位置，没有重心位置，在求出的大幻方排列中其排列数量各不相同。
在后一种4*3中，重心位置因为其每条对角线和行列对于大幻方来说全部有关系，所以其在快速求解时排列个数只有4阶幻方的个数7040个,而对于对角线上除重心外其余的位置,其只与单条对角线有关系,这样就将求出的排列7040个依单条对角线,在进行割裂重新排列，剔除掉重合的排列，可得出每个小幻方一共有排列４也就是２４除以４(其转动90度、180度、270度的变异)种再乘7040即42240种，而中间部分的小幻方块一共有排列4的平方除以4再乘7040种排列即1013760种排列，而12阶每个的4*3的快速求解就有7024*42240^4*1013760^4个，还需要乘以外面大幻方3阶幻方的排列个数8，以及抽取数字的排列个数，包括等差法各个组合中的每一个个数。这个数字不再详述。
对于前一种3*4来说，只有两种关系位置，即对角线上，以及中间部分，每一种小幻方的里面的对角线就分成两类，一类是一条对角线对角线与大幻方对角线发生联系，另一类是对角线无关大幻方，这样上面讲到的快速求解方法，就可以得到72^8*24^8还需要乘以外面大幻方3阶幻方的排列个数7024种，以及抽取数字的排列个数。
第十章
幻方研究应用此法中的一些问题
在这个方法求解中有几个很突出的问题，下面介绍一下：
第一个就是在4阶幻方的构造的时候，我们发现只有第二类第一种也就是两条对角线上有和值互补的两组牵涉进制的数字组合，那么在大于4阶的幻方中，可不可能存在其他的第二类第二种，也就是牵涉进制的行或者列不在对角线上的可能性。
第二个问题幻方的构造数量问题，可否有一个函数表达形式，就是说输入幻方的阶数，快速求解出其构造个数这是这个方法中的一个问题，也是所有幻方研究中的一个突出问题。
第三个问题是相较于１,２问题比较简单的一个，那就是所有可组成每条行列对角线的构造数量的快速求解在变进制二维方图模式下能不能建立一个函数表达式。这是在求解ｎ阶幻方的构造数量中的一个中间环节，只有求解出幻方的边的构造数量，才能进一步求解出幻方构造数量。求解出边的构造数量后，还得将ｎ阶乘２个进行抽取数字组合（在这里ｎ阶幻方在抽取数字组合时由于只要抽取到ｎ减１时，剩余的边就会自然和值相同，是为从变量可以忽略不计不作为研究对象，而在此期间需要进行对角线的验证和值，所以将两条对角线作为研究对象，同时对角线上的数字组合因其与行列同时发生关系，还得作为主要研究对象，然后再进行排列，可以得到幻方数量，这就是ｎ阶乘２个数字组合抽取的原因），是否能建立一个数字模型，在构造对角线的时候同时又考虑到行列的和值需要，这是一个问题。
以上就是需要解决的一些问题，希望和大家一起努力。
附录一
880个基本的4阶方图对应的前方方图
1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4
4 4 1 1 3 4 1 2 4 4 1 1 4 4 1 1 3 4 1 2 3 4 1 2 4 4 1 1 4 4 1 1
3 2 3 2 4 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 4 2 3 1 4 2 3 1 3 2 3 2 2 2 3 3
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 2
1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4
4 4 1 1 3 4 1 2 2 4 1 3 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 2 4 1 3
3 3 2 2 4 3 2 1 4 2 3 1 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 4 2 3 1
2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2
1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4
2 4 1 3 3 4 1 2 3 4 1 2 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 3 2 1
4 2 3 1 4 3 2 1 4 3 2 1 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 3 2 3 2
3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 2 4 1 3
1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4
4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 3 2 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1
2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3
3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 2 4 1 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2
1 1 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3
4 4 1 1 4 3 2 1 4 3 2 1 3 3 2 2 4 3 2 1 3 4 1 2 3 4 1 2 4 4 1 1
3 3 2 2 4 2 3 1 3 1 4 2 4 1 4 1 4 2 3 1 2 1 4 3 4 3 2 1 3 3 2 2
2 2 3 3 1 3 2 4 2 4 1 3 2 4 1 3 1 3 2 4 4 3 1 2 2 1 3 4 2 1 3 4
1 2 4 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
2 4 1 3 3 4 1 2 3 4 1 2 4 3 2 1 4 3 2 1 2 4 1 3 2 3 2 3 4 4 1 1
3 1 4 2 2 1 4 3 4 3 2 1 2 1 4 3 4 3 2 1 3 1 4 2 4 1 4 1 3 3 2 2
4 3 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3 3 4 1 2 1 2 3 4 4 3 2 1 3 4 1 2 2 1 4 3
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
4 3 2 1 3 3 2 2 2 4 1 3 4 4 1 1 4 3 2 1 3 4 1 2 3 4 1 2 4 3 2 1
4 3 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 1 4 3 3 1 4 2 2 1 4 3 4 3 2 1 2 1 4 3
1 2 3 4 2 4 1 3 3 3 2 2 3 3 2 2 2 4 1 3 4 3 2 1 2 1 4 3 3 4 1 2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3
4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 4 3 1 2 4 3 1 2 3 4 2 1
4 3 2 1 4 2 3 1 4 2 3 1 2 1 3 4 4 3 1 2 1 2 4 3 3 4 2 1 2 1 3 4
1 2 3 4 1 3 2 4 1 3 2 4 4 3 1 2 2 1 3 4 4 3 1 2 2 1 3 4 4 3 1 2
1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
3 4 2 1 4 3 1 2 4 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 3 2 1 4 3 2 1 2 4 1 3
4 3 1 2 1 2 4 3 3 4 2 1 2 1 4 3 4 3 2 1 2 1 4 3 4 3 2 1 3 1 4 2
2 1 3 4 4 3 1 2 2 1 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 3 4 1 2 1 2 3 4 4 3 2 1
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
2 3 2 3 4 4 1 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 3 3 2 2 4 3 2 1 3 4 1 2
4 1 4 1 3 3 2 2 4 3 2 1 4 2 3 1 3 1 4 2 4 1 4 1 4 2 3 1 2 1 4 3
3 4 1 2 2 1 4 3 1 2 3 4 1 3 2 4 2 4 1 3 2 4 1 3 1 3 2 4 4 3 2 1
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3
3 4 1 2 4 3 2 1 4 3 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 4 3 1 2 4 3 1 2 3 4 1 2
4 3 2 1 2 1 4 3 4 3 2 1 2 1 3 4 4 3 1 2 1 2 4 3 3 4 2 1 2 1 4 3
2 1 4 3 3 4 1 2 1 2 3 4 4 3 1 2 2 1 3 4 4 3 1 2 2 1 3 4 4 3 1 2
1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3
3 4 1 2 2 4 1 3 3 4 1 2 3 4 2 1 3 4 2 1 4 3 1 2 4 3 1 2 4 4 1 1
4 3 2 1 3 1 4 2 2 1 4 3 2 1 3 4 4 3 1 2 1 2 4 3 3 4 2 1 3 3 2 2
2 1 3 4 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 2 1 3 4 4 3 1 2 2 1 3 4 2 1 3 4
1 2 4 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
3 4 1 2 4 4 1 1 4 3 2 1 3 4 1 2 3 4 1 2 4 3 2 1 4 4 1 1 3 4 1 2
4 3 2 1 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 4 3 2 1 4 3 2 1 2 1 4 3 2 1 4 3
2 1 3 4 3 3 2 2 3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3 1 2 3 4 3 3 2 2 4 3 2 1
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 3
4 3 2 1 3 4 1 2 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 3 4 1 2 3 4 1 2 4 3 1 2
2 1 4 3 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 2 1 4 3 2 1 4 3 1 2 4 3
3 4 1 2 2 1 4 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 1 2
1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3
4 3 1 2 3 4 2 1 3 4 2 1 4 3 1 2 3 4 2 1 4 3 1 2 3 4 2 1 4 3 1 2
1 2 4 3 4 3 1 2 4 3 1 2 1 2 4 3 4 3 1 2 3 4 2 1 2 1 3 4 1 2 4 3
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3 4 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 1 4 2 3 1 4 2
2 4 3 1 2 4 1 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3
4 2 3 1 4 3 2 1 2 4 3 1 4 2 1 3 3 2 1 4 1 4 3 2 3 4 1 2 2 4 1 3
1 3 2 4 1 2 3 4 3 1 2 4 1 3 4 2 2 3 4 1 4 1 2 3 2 4 1 3 3 4 1 2
3 1 2 4 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 4 2 3 1 4 2
2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 3
4 2 3 1 2 4 1 3 3 4 1 2 4 4 1 1 4 1 1 4 4 1 1 4 4 4 1 1 4 1 1 4
3 3 2 2 3 4 1 2 2 4 1 3 1 3 2 4 1 4 4 1 1 4 4 1 1 3 2 4 1 4 4 1
1 4 1 4 3 1 4 2 3 1 4 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 1 4 2 3 2 3 2
2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 4 1 3 2 4 1 3
4 1 1 4 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1
1 4 4 1 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1 4 4 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
3 2 3 2 3 4 1 2 1 1 4 4 3 3 2 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 1 4 4 1 1 4 4
综上所述，在以上的880个基本的幻方图中的前方图，有224个是牵涉进制的第二类幻方，有656个第一类幻方其中第一种全均匀分布为144种，第二种为512种，篇幅和精力有限，大家有兴趣可以结合第一类前后方图图表和第二类前后方图图表自己研究。
880个基本的4阶方图对应的后方方图
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 4 2
1 2 3 4 4 2 3 1 1 2 4 3 3 1 4 2 2 1 4 3 4 1 4 1 3 1 4 2 1 3 2 4
4 3 2 1 1 3 2 4 4 3 1 2 2 2 3 3 3 2 3 2 3 4 1 2 4 4 1 1 4 2 3 1
4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 1 2 4 4 1 1 4 4 1 1 2 2 3 3 2 2 3 3 4 2 1 3
1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4
1 3 2 4 4 3 2 1 4 3 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 4 3 2 1
4 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 1 4 3
4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2
1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3
4 2 3 1 4 3 2 1 4 2 3 1 1 4 2 3 1 4 2 3 4 1 3 2 4 1 3 2 4 3 1 2
3 1 4 2 2 1 4 3 3 1 4 2 4 1 3 2 4 1 3 2 3 2 4 1 3 2 4 1 1 2 4 3
2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 4 1 3 2 4 1 3 2 2 3 1 4 2 3 1 4 4 1 3 2
1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1
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4 1 2 3 4 1 2 3 2 3 4 1 2 3 4 1 1 3 4 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 3 3 2
4 1 2 3 4 1 2 3 3 2 1 4 3 2 1 4 4 1 2 3 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4
1 4 4 1 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4
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2 3 3 2 3 4 1 2 2 4 1 3 3 4 1 2 2 4 1 3 4 4 1 1 3 3 2 2 2 3 2 3
4 1 1 4 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 3 3 2 2 4 4 1 1 4 4 1 1
1 1 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
4 2 3 1 4 3 2 1 4 3 2 1 3 4 1 2 3 4 1 2 4 3 2 1 4 4 1 1 2 3 2 3
2 4 1 3 4 3 2 1 2 1 4 3 4 3 2 1 2 1 4 3 4 3 2 1 3 3 2 2 4 1 4 1
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1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3
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1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 4 2
4 4 1 1 3 2 3 2 3 4 1 2 2 1 4 3 3 1 4 2 4 1 4 1 3 1 4 2 2 4 3 1
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1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4
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1 3 4 2 4 1 2 3 3 1 2 4 4 2 1 3 4 2 1 3 2 4 3 1 2 4 3 1 2 1 4 3
4 2 1 3 1 4 3 2 2 4 3 1 2 4 3 1 1 3 4 2 4 2 1 3 3 1 2 4 3 4 1 2
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2 3 4 1 4 1 2 3 4 1 2 3 3 2 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 4 1 4 1
4 1 2 3 3 2 1 4 4 1 2 3 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 3 2 3 2
1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3
3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 2 4 3 2 1 4 1 3 2 3 2 4 1 2 3 1 4 1 4 2 3
4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 3 2 3 2 3 2 4 1 4 1 3 2 3 2 4 1 4 1 3 2
2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 2 1 4 3 2 3 1 4 2 3 1 4 4 1 3 2 4 1 3 2
1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 1 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
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2 3 4 1 4 1 2 3 2 3 4 1 4 1 2 3 3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3 4 3 2 1
3 2 1 4 3 2 1 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 2 1 4 3 4 3 2 1 1 2 3 4
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4 4 1 1 2 3 2 3 2 4 1 3 4 1 4 1 2 3 2 3 3 1 4 2 3 3 2 2 4 3 1 2
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2 3 2 3 4 1 3 2 3 2 4 1 3 2 4 1 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 2 3 4 1 3 2
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综上所述，在以上的880个基本的幻方图后方图中，有224个是牵涉进制的第二类幻方，有656个是第一类幻方前后方图，其中第一种全均匀分布为144种，第二种为512种，篇幅和精力有限，大家有兴趣可以结合第一类图表和第二类图表自己研究。
880个基本的4阶幻方前后方图
其余的可以用左右镜像和旋转90度、180度、270度求得，
11 12 43 44 11 12 43 44 11 12 44 43 11 13 42 44 11 13 42 44 11 13 42 44 11 13 42 44 11 13 44 42
41 42 13 14 34 42 13 21 41 42 14 13 43 41 14 12 32 41 14 23 34 41 14 21 43 41 14 12 41 43 12 14
34 23 32 21 41 23 32 14 34 23 31 22 32 22 33 23 43 22 33 12 43 24 31 12 34 24 31 21 24 22 33 31
24 33 22 31 24 33 22 31 24 33 21 32 24 34 21 31 24 34 21 31 22 32 23 33 22 32 23 33 34 32 21 23
11 13 44 42 11 13 44 42 11 13 44 42 11 14 41 44 11 14 41 44 11 14 41 44 11 14 41 44 11 14 41 44
41 43 12 14 34 43 12 21 24 43 12 31 42 43 12 13 42 43 12 13 43 42 13 12 43 42 13 12 24 43 12 31
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24 22 31 33 24 22 31 33 34 32 21 23 33 32 23 22 23 22 33 32 32 33 22 23 22 23 32 33 33 32 23 22
11 14 41 44 11 14 41 44 11 14 41 44 11 14 42 43 11 14 42 43 11 14 42 43 11 14 42 43 11 14 42 43
24 42 13 31 34 43 12 21 34 42 13 21 41 44 12 13 41 44 12 13 44 41 13 12 44 41 13 12 44 33 21 12
43 21 34 12 42 31 24 13 43 31 24 12 24 21 33 32 34 31 23 22 23 22 34 31 33 32 24 21 31 22 34 23
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11 14 43 42 11 14 43 42 11 14 43 42 11 14 43 42 11 14 43 42 11 14 44 41 11 14 44 41 11 14 44 41
41 44 13 12 41 44 13 12 44 41 12 13 44 41 12 13 44 32 21 13 42 43 13 12 42 43 13 12 43 42 12 13
24 21 32 33 34 31 22 23 22 23 34 31 32 33 24 21 31 23 34 22 23 22 32 33 33 32 22 23 22 23 33 32
34 31 22 23 24 21 32 33 33 32 21 24 23 22 31 34 24 41 12 33 34 31 21 24 24 21 31 34 34 31 21 24
11 14 44 41 11 21 34 44 11 21 34 44 11 21 34 44 11 21 34 44 11 21 44 34 11 21 44 34 11 21 44 34
43 42 12 13 42 33 22 13 43 33 22 12 32 33 22 23 43 33 22 12 32 42 13 23 32 42 13 23 43 42 13 12
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44 21 32 13 43 14 11 42 42 14 11 43 43 11 14 42 41 13 12 44 44 13 12 41 43 34 21 12 43 23 12 32
11 14 43 42 12 41 44 13 13 41 44 12 13 41 44 12 14 42 43 11 11 42 43 14 13 24 31 42 14 34 41 21
33 41 12 24 33 21 32 24 33 21 32 24 32 24 21 33 33 21 24 32 33 21 24 32 32 11 44 23 31 11 44 24
22 42 33 13 22 43 13 32 23 11 44 32 23 11 44 32 23 12 43 32 23 12 43 32 23 12 44 31 23 12 44 31
43 23 32 12 44 31 21 14 22 42 33 13 42 22 13 33 34 21 14 41 14 41 34 21 34 43 11 22 22 43 11 34
14 34 21 41 11 24 34 41 34 14 21 41 14 34 41 21 22 33 42 13 42 13 22 33 21 42 14 33 33 42 14 21
31 11 24 44 33 12 42 23 31 43 12 24 31 43 12 24 31 44 11 24 31 44 11 24 32 13 41 24 32 13 41 24
23 14 42 31 23 14 42 31 23 14 42 31 23 14 42 31 23 21 34 32 23 22 33 32 23 22 34 31 23 33 22 32
43 22 34 11 21 44 12 33 33 44 12 21 44 41 13 12 44 14 11 41 42 13 12 43 43 42 14 11 44 14 11 41
32 33 21 24 34 41 13 22 22 41 13 34 11 34 22 43 12 42 43 13 14 41 44 11 12 33 21 44 12 42 43 13
12 41 13 44 32 11 43 24 32 11 43 24 32 21 33 24 31 33 22 24 31 34 21 24 32 13 41 24 31 21 34 24
23 34 21 32 23 34 22 31 23 42 14 31 23 42 14 31 24 12 41 33 24 13 41 32 24 41 12 33 24 41 13 32
42 13 12 43 44 21 33 12 43 22 34 11 43 22 34 11 44 21 32 13 44 21 33 12 44 21 32 13 44 21 33 12
14 41 44 11 11 14 42 43 32 33 21 24 12 13 41 44 31 34 23 22 31 34 22 23 31 34 23 22 31 34 22 23
31 22 33 24 32 41 13 24 12 13 41 44 32 33 21 24 11 43 14 42 11 42 14 43 11 14 43 42 11 14 42 43
综上所述，在以上的880个基本的4阶幻方图中，有224个是牵涉进制的第二类幻方，有656个是第一类幻方前后方图，其中第一种全均匀分布为144种，第二种为512种，篇幅和精力有限，大家有兴趣可以结合第一类图表和第二类图表自己研究。
880个基本的4阶十进制幻方图
其余的可以用左右镜像和旋转90度、180度、270度求得，
1 2 15 16 1 2 15 16 1 2 16 15 1 3 14 16 1 3 14 16 1 3 14 16 1 3 14 16 1 3 16 14
13 14 3 4 12 14 3 5 13 14 4 3 15 13 4 2 10 13 4 7 12 13 4 5 15 13 4 2 13 15 2 4
12 7 10 5 13 7 10 4 12 7 9 6 10 6 11 7 15 6 11 2 15 8 9 2 12 8 9 5 8 6 11 9
8 11 6 9 8 11 6 9 8 11 5 10 8 12 5 9 8 12 5 9 6 10 7 11 6 10 7 11 12 10 5 7
1 3 16 14 1 3 16 14 1 3 16 14 1 4 13 16 1 4 13 16 1 4 13 16 1 4 13 16 1 4 13 16
13 15 2 4 12 15 2 5 8 15 2 9 14 15 2 3 14 15 2 3 15 14 3 2 15 14 3 2 8 15 2 9
12 10 7 5 13 10 7 4 13 6 11 4 8 5 12 9 12 9 8 5 8 5 12 9 12 9 8 5 14 5 12 3
8 6 9 11 8 6 9 11 12 10 5 7 11 10 7 6 7 6 11 10 10 11 6 7 6 7 10 11 11 10 7 6
1 4 13 16 1 4 13 16 1 4 13 16 1 4 14 15 1 4 14 15 1 4 14 15 1 4 14 15 1 4 14 15
8 14 3 9 12 15 2 5 12 14 3 5 13 16 2 3 13 16 2 3 16 13 3 2 16 13 3 2 16 11 5 2
15 5 12 2 14 9 8 3 15 9 8 2 8 5 11 10 12 9 7 6 7 6 12 9 11 10 8 5 9 6 12 7
10 11 6 7 7 6 11 10 6 7 10 11 12 9 7 6 8 5 11 10 10 11 5 8 6 7 9 12 8 13 3 10
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13 16 3 2 13 16 3 2 16 13 2 3 16 13 2 3 16 10 5 3 14 15 3 2 14 15 3 2 15 14 2 3
8 5 10 11 12 9 6 7 6 7 12 9 10 11 8 5 9 7 12 6 7 6 10 11 11 10 6 7 6 7 11 10
12 9 6 7 8 5 10 11 11 10 5 8 7 6 9 12 8 13 2 11 12 9 5 8 8 5 9 12 12 9 5 8
1 4 16 13 1 5 12 16 1 5 12 16 1 5 12 16 1 5 12 16 1 5 16 12 1 5 16 12 1 5 16 12
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10 11 7 6 15 8 9 2 10 4 13 7 15 4 13 2 14 8 9 3 8 4 13 9 15 11 6 2 10 11 6 7
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8 14 3 9 12 15 2 5 12 15 2 5 15 12 5 2 15 12 5 2 8 15 2 9 8 12 5 9 14 15 2 3
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14 12 5 3 12 10 7 5 7 15 2 10 14 15 2 3 13 10 7 4 11 16 2 5 11 16 2 5 16 11 5 2
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4 7 10 13 8 15 2 9 12 9 8 5 12 9 8 5 8 15 2 9 14 9 7 4 8 3 13 10 10 13 3 8
1 6 12 15 1 6 12 15 1 6 12 15 1 6 15 12 1 6 15 12 1 6 15 12 1 6 15 12 1 6 16 11
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4 7 9 14 4 11 5 14 4 11 5 14 14 9 4 7 8 3 10 13 13 10 3 8 7 4 9 14 14 9 3 8
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12 15 5 2 15 12 2 5 15 12 2 5 12 14 3 5 12 14 3 5 14 12 5 3 14 12 5 3 8 14 3 9
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8 12 5 9 15 14 3 2 15 12 5 2 14 9 8 3 15 9 8 2 12 9 8 5 15 9 8 2 10 16 3 5
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15 9 6 4 6 4 15 9 13 11 8 2 8 2 11 13 15 9 4 6 4 6 15 9 11 13 8 2 8 2 13 11
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9 15 4 6 8 13 2 11 11 13 2 8 12 14 5 3 12 14 5 3 14 12 3 5 14 12 3 5 14 13 4 3
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8 2 11 13 16 10 3 5 16 10 3 5 15 9 2 8 8 2 9 15 15 9 2 8 8 2 9 15 8 2 9 15
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11 13 4 6 14 13 4 3 14 11 5 4 12 13 3 6 11 14 4 5 13 12 6 3 16 13 3 2 12 13 2 7
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8 2 9 15 12 11 6 5 12 13 3 6 14 11 5 4 6 3 13 12 4 5 11 14 12 9 7 6 15 10 5 4
1 8 11 14 1 8 11 14 1 8 11 14 1 8 12 13 1 8 12 13 1 8 12 13 1 8 12 13 1 8 13 12
15 10 5 4 10 15 4 5 13 12 7 2 14 11 7 2 15 10 6 3 10 15 3 6 11 14 2 7 14 11 2 7
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4 5 16 9 16 9 4 5 16 9 4 5 3 6 15 10 15 10 4 5 12 13 7 2 7 2 12 13 4 5 15 10
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15 8 2 9 14 8 9 3 14 8 9 3 12 14 3 5 12 8 9 5 15 14 3 2 15 8 9 2 14 13 4 3
6 13 11 4 12 2 15 5 15 5 12 2 8 2 15 9 14 2 15 3 8 5 12 9 14 5 12 3 7 2 15 10
12 3 5 14 7 13 4 10 4 10 7 13 13 7 10 4 7 13 4 10 10 4 13 7 4 10 7 13 12 8 9 5
1 11 6 16 1 11 6 16 1 11 8 14 1 11 8 14 1 11 14 8 1 11 14 8 1 11 14 8 1 11 16 6
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10 11 6 7 11 16 1 6 10 11 6 7 11 16 1 6 10 13 3 8 8 3 13 10 12 7 9 6 12 7 9 6
5 3 14 12 5 3 14 12 5 3 14 12 5 3 14 12 5 3 14 12 5 3 14 12 5 3 16 10 5 3 16 10
8 16 9 1 16 10 7 1 10 16 1 7 4 10 7 13 11 16 1 6 16 8 1 9 14 12 7 1 12 14 1 7
10 2 7 15 4 6 11 13 11 13 4 6 16 6 11 1 10 13 4 7 2 10 15 7 4 6 9 15 9 15 4 6
11 13 4 6 9 15 2 8 8 2 15 9 9 15 2 8 8 2 15 9 11 13 4 6 11 13 2 8 8 2 13 11
5 3 16 10 5 3 16 10 5 3 16 10 5 3 16 10 5 3 16 10 5 4 13 12 5 4 13 12 5 4 14 11
4 14 1 15 15 14 1 4 6 9 4 15 15 9 4 6 11 13 8 2 10 7 2 15 11 6 3 14 16 9 7 2
13 11 8 2 2 11 8 13 11 8 13 2 2 8 13 11 6 4 9 15 8 9 16 1 8 9 16 1 3 6 12 13
12 6 9 7 12 6 9 7 12 14 1 7 12 14 1 7 12 14 1 7 11 14 3 6 10 15 2 7 10 15 1 8
5 4 14 11 5 4 14 11 5 4 15 10 5 4 15 10 5 4 16 9 5 4 16 9 5 4 16 9 5 4 16 9
9 16 2 7 16 13 3 2 16 9 6 3 9 16 3 6 10 15 3 6 11 14 2 7 14 11 7 2 15 10 6 3
12 13 3 6 1 8 10 15 2 7 12 13 12 13 2 7 11 14 2 7 10 15 3 6 3 6 10 15 2 7 11 14
8 1 15 10 12 9 7 6 11 14 1 8 8 1 14 11 8 1 13 12 8 1 13 12 12 13 1 8 12 13 1 8
5 6 11 12 5 8 10 11 5 8 10 11 5 8 11 10 5 9 12 8 5 9 12 8 5 10 8 11 5 10 8 11
16 9 8 1 13 16 2 3 16 9 7 2 13 16 3 2 16 4 1 13 16 4 1 13 14 7 9 4 15 14 4 1
3 4 13 14 4 9 7 14 1 4 14 15 4 9 6 15 2 14 15 3 3 15 14 2 3 2 16 13 2 7 9 16
10 15 2 7 12 1 15 6 12 13 3 6 12 1 14 7 11 7 6 10 10 6 7 11 12 15 1 6 12 3 13 6
5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 11 6 12 5 11 8 10 5 11 10 8 5 11 10 8 5 11 10 8
16 3 2 13 15 4 1 14 14 4 1 15 16 13 4 1 15 6 9 4 16 2 3 13 14 4 1 15 15 4 1 14
4 15 14 1 2 13 16 3 3 13 16 2 3 8 9 14 2 3 16 13 4 14 15 1 3 13 16 2 2 13 16 3
9 6 7 12 12 7 6 9 12 7 6 9 10 2 15 7 12 14 1 7 9 7 6 12 12 6 7 9 12 6 7 9
5 12 9 8 5 12 9 8 5 13 4 12 5 13 4 12 5 14 3 12 5 14 4 11 5 15 2 12 5 15 2 12
15 2 3 14 14 3 2 15 16 8 1 9 16 8 1 9 16 11 6 1 15 10 8 1 16 10 7 1 16 9 8 1
4 13 16 1 4 13 16 1 2 10 15 7 3 11 14 6 4 7 10 13 2 3 13 16 4 6 11 13 3 4 13 14
10 7 6 11 11 6 7 10 11 3 14 6 10 2 15 7 9 2 15 8 12 7 9 6 9 3 14 8 10 6 11 7
6 1 15 12 6 1 15 12 6 1 16 11 6 1 16 11 6 1 16 11 6 1 16 11 6 1 16 11 6 1 16 11
16 11 5 2 11 16 2 5 7 15 10 2 15 12 5 2 12 15 2 5 3 12 5 14 9 15 2 8 15 7 2 10
3 8 10 13 10 13 3 8 12 4 5 13 3 8 9 14 9 14 3 8 15 8 9 2 12 14 3 5 4 12 13 5
9 14 4 7 7 4 14 9 9 14 3 8 10 13 4 7 7 4 13 10 10 13 4 7 7 4 13 10 9 14 3 8
6 2 15 11 6 2 15 11 6 3 13 12 6 3 13 12 6 3 14 11 6 3 14 11 6 3 14 11 6 3 14 11
12 16 1 5 7 16 1 10 15 10 8 1 10 15 1 8 12 5 4 13 4 13 12 5 12 16 1 5 7 16 1 10
7 13 4 10 12 13 4 5 4 5 11 14 11 14 4 5 7 10 15 2 15 2 7 10 7 13 4 10 12 13 4 5
9 3 14 8 9 3 14 8 9 16 2 7 7 2 16 9 9 16 1 8 9 16 1 8 9 2 15 8 9 2 15 8
6 3 15 10 6 3 15 10 6 3 15 10 6 3 15 10 6 3 15 10 6 3 16 9 6 3 16 9 6 4 13 11
9 16 4 5 12 13 1 8 13 12 8 1 16 9 5 4 4 9 5 16 15 10 5 4 10 15 4 5 15 9 8 2
12 13 1 8 9 16 4 5 4 5 9 16 1 8 12 13 13 8 12 1 1 8 11 14 11 14 1 8 3 5 12 14
7 2 14 11 7 2 14 11 11 14 2 7 11 14 2 7 11 14 2 7 12 13 2 7 7 2 13 12 10 16 1 7
6 4 13 11 6 4 13 11 6 4 15 9 6 4 15 9 6 4 15 9 6 4 15 9 6 7 12 9 6 7 12 9
9 15 2 8 12 15 2 5 14 7 12 1 13 11 8 2 11 13 2 8 16 13 2 3 14 15 4 1 15 4 1 14
12 14 3 5 9 14 3 8 11 10 5 8 3 5 10 16 10 16 3 5 1 12 7 14 3 10 5 16 2 13 16 3
7 1 16 10 7 1 16 10 3 13 2 16 12 14 1 7 7 1 14 12 11 5 10 8 11 2 13 8 11 10 5 8
6 7 12 9 6 9 12 7 6 9 12 7 6 9 12 7 6 10 11 7 6 10 11 7 6 11 10 7 6 11 10 7
14 4 1 15 15 4 1 14 16 3 2 13 13 3 2 16 15 3 2 14 15 3 2 14 16 1 4 13 13 4 1 16
3 13 16 2 3 16 13 2 1 14 15 4 4 14 15 1 1 13 16 4 4 16 13 1 3 14 15 2 3 14 15 2
11 10 5 8 10 5 8 11 11 8 5 10 11 8 5 10 12 8 5 9 9 5 8 12 9 8 5 12 12 5 8 9
6 12 7 9 6 12 7 9 6 12 7 9 6 12 9 7 6 12 9 7 6 12 9 7 6 13 4 11 6 14 3 11
16 5 10 3 15 4 1 14 14 4 1 15 15 1 4 14 13 3 2 16 16 3 2 13 15 12 5 2 15 7 2 10
1 4 15 14 2 13 16 3 3 13 16 2 3 13 16 2 4 14 15 1 1 14 15 4 3 8 9 14 4 12 13 5
11 13 2 8 11 5 10 8 11 5 10 8 10 8 5 11 11 5 8 10 11 5 8 10 10 1 16 7 9 1 16 8
6 14 11 3 6 15 3 10 7 1 16 10 7 1 16 10 7 2 15 10 7 2 15 10 7 2 16 9 7 2 16 9
15 7 10 2 16 9 5 4 6 14 11 3 14 6 3 11 12 5 4 13 4 13 12 5 12 15 1 6 6 15 1 12
4 12 5 13 1 8 12 13 12 4 5 13 4 12 13 5 6 11 14 3 14 3 6 11 5 14 4 11 11 14 4 5
9 1 8 16 11 2 14 7 9 15 2 8 9 15 2 8 9 16 1 8 9 16 1 8 10 3 13 8 10 3 13 8
7 4 14 9 7 4 14 9 7 4 14 9 7 4 14 9 7 5 12 10 7 6 11 10 7 6 12 9 7 11 6 10
15 6 12 1 5 16 2 11 11 16 2 5 16 13 3 2 16 4 1 13 14 3 2 15 15 14 4 1 16 4 1 13
10 11 5 8 12 13 3 6 6 13 3 12 1 12 6 15 2 14 15 3 4 13 16 1 2 11 5 16 2 14 15 3
2 13 3 16 10 1 15 8 10 1 15 8 10 5 11 8 9 11 6 8 9 12 5 8 10 3 13 8 9 5 12 8
7 12 5 10 7 12 6 9 7 14 4 9 7 14 4 9 8 2 13 11 8 3 13 10 8 13 2 11 8 13 3 10
14 3 2 15 16 5 11 2 15 6 12 1 15 6 12 1 16 5 10 3 16 5 11 2 16 5 10 3 16 5 11 2
4 13 16 1 1 4 14 15 10 11 5 8 2 3 13 16 9 12 7 6 9 12 6 7 9 12 7 6 9 12 6 7
9 6 11 8 10 13 3 8 2 3 13 16 10 11 5 8 1 15 4 14 1 14 4 15 1 4 15 14 1 4 14 15
我们在这里，就无法精准的进行幻方的分类了。
附录二
混沌关系理论在四色原理中心点外画圈法证明中的应用
其实要想解开四色原理，就是找到一个图片中的最复杂的一处，将其解开就可以解决难解部分，然后再研究剩余的图形，总结之后就可得到四色原理的证明。
首先介绍一下规则，规则１、区域着色使用最少色进行区分；规则２、需要添加一色时，此色的使用次数应该最少；规则３、利用混沌关系理论只研究相互间关系，与图形几何形状，尺寸，个数等无关，其相关关系只有相连、间隔、包围、半包围、无关5种关系以及点、归约等概念，将每个图形抽象为一点，作为研究对象，简称点；规则4、间隔和无关的话可以归约，例如在一条线条上，对于关系是间隔为1的点都可归约成一点，这样只要是首尾不相连的线条可以规约为2点；而对于首尾相连的封闭图形就有三种关系出现，第一种为一个点首尾相连，也就是环形图像，其内部研究的对象点的可2色即可区分，第二种点为2个（包含2个）以上的偶数个，其不论从何处着色都可2色间隔交替着色，换句话说间隔为1的点都可以规约为2点，第三种情况，点为大于2的奇数个，如3,5,7等等,在这里不论从何处着色,到最后一处时，其出现了最后一点与间隔为1的点都不能归约，与２点都出现联系，这一点只能再着一色，所以对于点大于２的奇数的首尾相连的线条，只能用第３色才能区分开，在这里3色足够。
规则3中的概念的具体描述，相连，研究的对象简称为点，两点紧紧相连的话叫做相连关系；两点之间隔了一个点的叫做间隔关系；以一点作为中心，对其相连的各个对象（点）进行线条连接，在连接线上如果首尾相连称为包围关系，如果没有做到首尾相连称为半包围关系；归约，间隔关系的点的着色可以用1色表示，即是间隔可归约为一点，简称归约；无关就是两个点之间没发生上述联系。
颜色用英语的color表示简化为C。研究对象点用英语point表示简化为P。
下面具体描述几种基本情况，用语言表述如下，其相应的数学模型尚待改进：
1)无点不需色彩，用数学表示记为：P０＝Ｃ０＊０，式中Ｐ０表示０个区域着色，Ｃ０表示０色，末尾０为线条数目０条。
2）一点时，只需一色，用数学表示记为：Ｐ１＝Ｃ１＊1，式中Ｐ０表示０个区域着色，Ｃ１表示１色，末尾1为点的数量。这个点可以是环形，环形的话内部将有其余的研究对象点
３）二点时可连接二点成一线，只需两色，包含首尾不相连和相连两种情况，用数学表示记为：Ｐ２＝Ｃ１＊１＋Ｃ２＊１，式中Ｐ１表示１个点着色，Ｃ１表示第１色，紧跟后面的１为需要着色的点，Ｃ２表示第２色，后面的１表示需要着色的点．
4）间隔可归约是解开四色原理的最基本也是最重要的原则，此原则需要不违反规则１，规则２，所以间隔只能为１，归约间隔距离只能为１的方法称之为规则４。
5）大于２首尾不相连的线条上的需要的颜色数为２个，用数学表示记为，Ｐ２＝Ｃ１＊Ｎ１＋Ｃ２＊Ｎ２＝Ｃ１*1+Ｃ２*1，式中Ｐ２表示２个点着色，Ｃ１表示第１色，随后Ｎ１为Ｃ１着色对象，Ｃ２表示第２色，随后Ｎ２为Ｃ２着色对象。Ｎ１＝｛１，２，３……｝，Ｎ２＝｛１，２，３……｝，最后一个式子中在这个里面我们应用了间隔可归约的规则４，其点的关系就是2点关系Ｐ2。可以看出３）式是４）的特例，即Ｎ１＝Ｎ２＝１。
６）当点的数量为偶数时不论其首尾相连与否或者首位不相连的奇数个时，用规则4,可归约为２点，归约为３)中情况。
７）当点的数量为奇数且首尾相连时，利用规则４归约，总会有一点与相邻的两个异色着色点发生联系，此点不可归约，此点介于归约二点之间用第三点表示，与其余二点首首尾连接，此时只能用第三色才可使区别开这３点，达到色彩不重合，用数学表示记为：Ｐ３＝Ｃ１＊Ｎ１＋Ｃ２＊Ｎ２＋Ｃ３＊１＝Ｃ１*1+Ｃ２*1＋Ｃ３*1，Ｎ１＝｛１，２，３……｝，Ｃ１代表第１色，Ｎ１代表可归约的着色Ｃ２的Ｎ２个点、Ｃ２代表第２色，Ｎ２代表可归约的着色２的Ｎ２个点，Ｃ３代表第三色，后面１代表介于着色为Ｃ３的与１、２都有联系的第3点。后面的式子为归约后的情况
８）将复杂处的一个点作为中心，外面包围的图形作为研究对象，围绕的图形画线，将出现上面所述的２）、３）、５）、６）、７）中的一个情况，其对应的p值加1，则最复杂的7)的情况为P4。
９）再将8）外的图形作为中心画线，必然分为二种情况，围绕8）又出现上面所述的２）、３）、５）、６）、７）中的一个情况，在这里我们将Ｃ４，Ｃ３作为主要着色颜色，Ｃ１或Ｃ２作为最后一色，则归约后，还是最多为４色，出现Ｐ３＝Ｃ４＊Ｎ４＋Ｃ３＊Ｎ３＋Ｃ２＊１（＋Ｃ１＊１）＝Ｃ４＊１＋Ｃ３＊１＋Ｃ２＊１（＋Ｃ２＊１），Ｎ４，Ｎ３＝｛１，２，３……｝，在这里可以看出，其外侧Ｐ３即可。
１０）重复上面的步骤，其结论与９）相同，每一个研究对象所构成的外围的包围或半包围都用上一层最少用的着色色彩进行填色。最多为Ｐ４关系。
１１）上面所述实质上，中心外包围方法是将无关的点剔除，其可归约为与外面相联系的一点，归约为1点，中心开花，步步剥开。
综上所述平面图中着色极限Ｐ４=Ｃ１＊Ｎ１＋Ｃ２＊Ｎ２＋Ｃ３＊Ｎ３+C4＊Ｎ４＝Ｃ１*1+Ｃ２*1＋Ｃ３*1＋Ｃ４＊１，得出四色足够。四色原理得证。
用下面的图可以抽象出四色原理之实质。
上图就是平面图形最复杂的相互关系图，A、B、C在这里并非与内三角ABC相切，实际上是Ａ、Ｂ、Ｃ三个研究对象即点，A-B连线表示其相邻关系，B-C连线表示其相邻关系，C-A连线表示其相邻关系，中心O为一个研究对象即点，圆O外面的圆弧表示Ａ、Ｂ、Ｃ三个研究对象首尾相连构成封闭的圆，在这里如果在试着再加一个研究对象，会发现如果在AC线加入图形的话因与B相隔断，此处与B无关，所以可染B图形色彩，而不论在那里加都可用添加上与其相隔断的点的颜色，在外侧再添加图形的话，因为与内部隔绝，所以将内部图形与外面图形无关可以归约为1点后。平面图形中染色数目四色足够，四色原理得证。
至于立体图形的可能，球形曲面展开后得到平面的图形，四色足够，中心点再加一个研究点，再着一色，像一个金字塔形状，5色即可足够，希望有兴趣的各位自己了解。
浙公网安备 33010602011771号