浅谈线段树

浅谈线段树
 
要想检验一个程序员的数据结构能力，看看他的线段树水平就可以了。如果要给所有数据结构排名，线段树毫无疑问就是老大，“数据结构”是辅助线，线段树称得上是最优美的那条。线段树的应用太广了，可延展性太强了，它集合了运行速度高、应用方式多、编码相对简洁等优点，每一次发展都彰显着人类智慧。

如果把“分块”比作国家中划分省、市、县的管理方式，“线段树”就可比国家划南北，南北再划东西式的结构，它体现出分治思想，再加以tag技术，这是线段树实现的一个核心逻辑，以P3372 【模板】线段树 1为例，它的代码大概是这样的。

void buildtree(int k1,int l,int r){
	if(l==r){
		sum[k1]=a[l];
		return ;
	}
	int mid=l+r>>1;
	buildtree(k1*2,l,mid);
	buildtree(k1*2+1,mid+1,r);
	change(k1);
}void pushdown(int k1,int l,int mid,int r){
	sum[k1*2]+=(mid-l+1)*tag[k1]; //其实这里可以写的结构化一些，写一个函数tg(k1,x)实现标记对节点的作用
	sum[k1*2+1]+=(r-mid)*tag[k1];
	tag[k1*2+1]+=tag[k1];
	tag[k1*2]+=tag[k1];
	tag[k1]=0;
}long long find(int k1,int l,int r,int L,int R){
	if(l>R || r<L) return 0;
	if(l>=L && r<=R) return sum[k1];
	int mid=l+r>>1;
	pushdown(k1,l,mid,r);
	return find(k1*2,l,mid,L,R)+find(k1*2+1,mid+1,r,L,R);
}void addall(int k1,int l,int r,int L,int R,int gap){
	if(l>R || r<L) return ;
	if(l>=L && r<=R){
		sum[k1]+=gap*(r-l+1);
		tag[k1]+=gap;
		return ;
	}
	int mid=l+r>>1;
	pushdown(k1,l,mid,r);
	addall(k1*2,l,mid,L,R,gap);
	addall(k1*2+1,mid+1,r,L,R,gap);
	change(k1);
}

相信大家对这种写法并不陌生，但会写这道板子，远远不够。我们需要对线段树有个更本质的认识。
 
线段树是什么？
 
笔者认为可以从两个角度认识，结构与功能[ 这似乎与生物学观点“结构与功能相适应”不谋而合]。
 
从功能上看，这一类线段树实质维护了两个东西。 info[ Info:即信息(information）]  与  tag[ 即懒标记（延迟更新技术）] 。我们不妨以P3373 【模板】线段树 2为例，这题可能让许多初学者感到头疼。事实上，我们只需要想明白,信息是什么，标记是什么，如何合并，可否合并，标记如何作用
于信息，标记如何合并。即  info=? ， tag=?   info+info=?   tag+tag=?   info+tag=?  剩下就是套模板了。

struct info {
    int len, s;
} I, sum[4 * N]; 
//这里信息是区间和，为了更好的维护这一信息，我们引入了长度这一辅助信息
struct Tag {
    int mul = 1, add;
} E, tag[4 * N];
//标记如题述，加法与乘法，我们规定操作时先乘后加
//”元“（I,E）的引入一定程度上可以简化代码
info operator+(info x, info y) {
    info r;
    r.len = x.len + y.len;
    r.s = (x.s + y.s) % p;
    return r;
}
Tag operator+(Tag x, Tag y) {
    Tag r;
    r.mul = (x.mul * y.mul) % p;
    r.add = (x.add * y.mul + y.add) % p;
    return r;
}
info operator+(info x, Tag y) {
    info r;
    r.len = x.len;
    r.s = (x.len * y.add + x.s * y.mul) % p;
    return r;
}

//三个操作的维护，代码应该还是很清楚的

这里另给一道题P6373 「StOI-1」IOI计数。该题只需维护信息的合并即可，很多时候，线段树的这三种操作时是可以省略几个的，这就产生了所谓标记永久化等的概念。

这种解释实际反映了信息学底层的逻辑。值得一提的是，这种解释进一步发展，引入一些矩阵的理论元素，就可以获得大名鼎鼎的“吉司机线段树”[ 详见吉老师在 2016 年国家集训队论文 中提到的线段树处理历史区间最值的问题。本文篇幅有限，在此不做展开。]。洛谷线段树的3道模板题，很好地反映了对线段树功能角度认识的不断加深。

另一个角度是从结构上说的。线段树是一个不断向下划分的二叉树结构（当然，它也可以是k叉的），我们注意到，线段树这个东西，它的空间开销是很大的，但事实上它有很多开销是浪费的。由此我们想出一个方法：动态开点线段树。
 
动态开点线段树在说这样一件事：我凭什么一开始就要开这么大空间，我需要时再开不行吗？于是，它在修改时，用到一个没用过的点就开一个，实现了空间的节约，这常用作值域线段树，让1e9的线段树不再需要借助离散化。
现在来看，线段树似乎没有想象的那么大，那么好，既然没有那么大，何不合并一下呢？ 于是就有了线段树合并[ 可参考OIwiki对线段树合并分裂的介绍，十分详实https://oiwiki.org/ds/seg-merge-split/] ，进一步地，我们给线段树做个前缀和，用前缀和相减，得到“一段线段树”（这可能有些超出想象，但仔细想想，空间是可以重复利用的，线段树插入节点时形态其实并没有太大变化，所以复杂度没有问题，正确性也是显然的）， 我们就有了——主席树[ 主席树是可持久化线段树的一种,由黄嘉泰发明,因名字缩写而被称为主席树]。 
 
这便是从结构上对线段树的认识。
 
认识有了，那下一步自然是对其应用展开研究。
线段树的应用范围极广，几乎涵盖所有需要高效区间操作的场景。以下是几个典型的应用方向，结合经典例题帮助理解如何灵活运用线段树。

（一）二维数点与扫描线问题

二维数点问题（如统计矩形内的点数、计算矩形面积并等）是信息学竞赛中的经典问题，这类问题的核心难点在于处理二维区间的查询与更新。扫描线思想是解决这类问题的有效方法：通过 “离线一个维度，在线处理另一个维度”，将二维问题转化为一维问题，再用线段树高效求解。
经典例题：
 P1502 窗口的星星：在平面直角坐标系中，给定多个星星的坐标和亮度，求一个固定大小的矩形窗口内能容纳的最大亮度和。
解题思路：将星星按 x 坐标排序（离线 x 维度），用扫描线从左到右移动，动态添加 / 删除星星（y 坐标对应的区间），并通过线段树维护 y 轴方向的区间最大亮度和（在线处理 y 维度）。
P5490 【模板】扫描线 & 矩形面积并：给定多个矩形，求它们的面积并。
解题思路：将矩形的上下边分别视为 “入边” 和 “出边”，按 y 坐标排序（离线 y 维度），用扫描线从下到上移动，动态更新 x 轴方向的区间覆盖长度（在线处理 x 维度），线段树用于维护 x 轴上被覆盖的总长度，每次移动扫描线时，用覆盖长度乘以 y 轴方向的移动距离，累加得到总面积。

（二）线段树优化动态规划（DP）

动态规划（DP）是解决多阶段决策问题的有效方法，但很多 DP 方程的转移过程时间复杂度较高（如 O (n^2)），无法直接通过大数据测试。线段树可以通过维护 DP 转移所需的区间信息，将转移时间复杂度优化为 O (log n)，从而提高整体效率。
核心思想：
对于 DP 方程 dp[i] = max/min/sum{ dp[j] + w(j,i) }（j 属于某个区间），线段树可以维护区间内 dp[j] + w(j,i) 的最大值、最小值或和，从而快速查询 j 对应的最优值，完成 dp [i] 的计算。
典型例题：
最长上升子序列（LIS）的优化[ 这个例子些许不太合适，用线段树来优化有点大炮打蚊子了，树状数组就很好。选此例旨在用简单的问题反映线段树的应用]：传统 LIS 算法的时间复杂度为 O (n^2)，通过线段树维护区间最大值，可以将时间复杂度优化为 O (n log n)。
解题思路：将元素值离散化后，对于每个元素 a [i]，查询线段树中 [1, a [i]-1] 区间的最大 DP 值，dp [i] = 该最大值 + 1，再将 dp [i] 更新到线段树中 a [i] 对应的位置。

（三）树链剖分：树上问题的线段树求解

在树上进行路径查询、路径更新、子树查询等操作时，直接处理较为复杂。树链剖分的核心思想是将树映射为一个线性序列（通过重链剖分），将树上的路径操作转化为序列上的区间操作，再用线段树高效求解。
核心步骤：
重链剖分：将树划分为若干条不重叠的重链（重链是指包含节点数最多的路径），每个节点属于且仅属于一条重链；
序列映射：按重链的顺序对树节点进行编号，使每条重链对应的节点编号是连续的，从而将树上的路径转化为序列上的若干个连续区间；
线段树处理：用线段树维护该序列，树上的路径查询 / 更新操作转化为序列上的区间查询 / 更新操作，子树查询 / 更新操作则对应序列上的一个连续区间（因为子树的节点编号是连续的）。
典型例题：
树上路径求和与更新：给定一棵树，支持路径上所有节点值加 k，查询路径上所有节点值的和。
解题思路：通过树链剖分将路径转化为多个连续区间，用线段树维护区间和与加法延迟标记，完成路径更新和查询操作。

线段树作为数据结构中的 “全能选手”，其核心价值在于将分治思想与延迟标记技术完美结合，实现了高效的区间操作。从基础的区间求和、更新，到复杂的动态规划优化、树上问题求解，线段树的应用场景不断拓展，其拓展形式（动态开点、线段树合并、主席树等）也在不断丰富。线段树有关的知识还有很多，像树套树,k-D tree 等，一篇实在文章难以覆盖。
 
 
 
写在最后。笔者是一名尚不成熟的高一OIer，写这篇文章是为了总结一下对线段树的学习，其间必然有些问题及疏漏，希望批评指正，也希望多年后再读这篇文章得以感叹：这篇笔记还是差点火候。[2026.1.24记
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